Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Pochodna funkcji złożonej i działania na pochodnych
Działania na pochodnych
$$(f+g)'=f'+g',\qquad (cf)'=cf'$$
$$(fg)'=f'g+fg' \quad\text{(iloczyn)}$$
Pochodna sumy to suma pochodnych, ale pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych — trzeba użyć pełnego wzoru.
Reguła łańcuchowa
$$\bigl[f(g(x))\bigr]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Pochodna funkcji zewnętrznej (w punkcie funkcji wewnętrznej) razy pochodna funkcji wewnętrznej. Najczęstszy błąd to pominięcie tego drugiego czynnika.
Typowe przykłady
$$\bigl[(2x+1)^3\bigr]'=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2$$
$$\bigl[\sin(3x)\bigr]'=\cos(3x)\cdot3=3\cos(3x)$$
$$\bigl[(x^2+1)^5\bigr]'=5(x^2+1)^4\cdot2x=10x(x^2+1)^4$$
Potęga funkcji
$\left(\sin^2 x\right)'=2\sin x\cos x$ — to funkcja złożona ($u^2$ z $u=\sin x$), nie mylić z pochodną iloczynu.
Wybór metody
Dla prostych iloczynów (np. $(x+1)(x-3)$) często szybciej wymnożyć i różniczkować wyraz po wyrazie niż stosować wzór na iloczyn.
Na co uważać
W regule łańcuchowej nie zapomnij o pochodnej „wnętrza". Rozróżniaj $\cos(x^2)$ (funkcja złożona) od $\cos^2 x$ (kwadrat funkcji).
Reguła mnożenia, dodawania i wariacje z powtórzeniami
Reguła mnożenia
Gdy wybór składa się z niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:
$$N=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Stosujemy ją, gdy wybieramy jedno i drugie.
Reguła dodawania
Gdy wybieramy jedną z rozłącznych grup możliwości (jedno albo drugie), liczby dodajemy. Np. książka fantasy albo kryminał: $6+4=10$.
Wariacje z powtórzeniami
Liczba $k$-elementowych ciągów ze zbioru $n$-elementowego (kolejność istotna, elementy mogą się powtarzać):
$$n^k$$
Podstawa to liczba dostępnych elementów, wykładnik — liczba pozycji.
Typowe zastosowania
Kody i PIN-y ($10^k$), ciągi binarne ($2^k$), tablice rejestracyjne, liczba funkcji ze zbioru $k$-elementowego w $n$-elementowy ($n^k$), liczba podzbiorów zbioru $n$-elementowego ($2^n$).
Zero na pierwszej pozycji
W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem — trzeba to uwzględnić. Zaczynaj zliczanie od pozycji z najostrzejszym warunkiem.
Na co uważać
Mnożymy przy „i", dodajemy przy „albo". W $n^k$ nie zamień podstawy z wykładnikiem.
Liczby naturalne (klasa 1 LO)
Liczby pierwsze i złożone
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki. Każdą liczbę naturalną większą od $1$ można jednoznacznie rozłożyć na czynniki pierwsze.
NWD i NWW
Wyznaczamy je z rozkładu na czynniki. Zachodzi $\operatorname{NWD}(a,b)\cdot\operatorname{NWW}(a,b)=a\cdot b$.
Cechy podzielności
Przez $2$, $5$, $10$ — z ostatniej cyfry; przez $3$ i $9$ — z sumy cyfr.
Zastosowania
Skracanie ułamków, wspólny mianownik, zadania o okresowości.
Liczby całkowite i wymierne (klasa 1 LO)
Zbiory liczbowe
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. Liczby wymierne to ułamki $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych, gdzie $q\neq0$.
Rozwinięcie dziesiętne
Liczby wymierne mają rozwinięcie skończone albo nieskończone okresowe.
Działania
W zbiorze $\mathbb{Q}$ wykonalne są cztery działania (poza dzieleniem przez $0$).
Na osi liczbowej
Każdej liczbie wymiernej odpowiada punkt osi, lecz nie każdemu punktowi — liczba wymierna.
Liczby niewymierne (klasa 1 LO)
Definicja
Liczby niewymiernej nie da się zapisać jako $\frac{p}{q}$; jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.
Przykłady
$\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$. Niewymierność $\sqrt{2}$ dowodzimy nie wprost.
Działania
Suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna, ale suma dwóch niewymiernych bywa wymierna, np. $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$.
Liczby rzeczywiste
Wymierne i niewymierne razem tworzą zbiór $\mathbb{R}$.
Cechy podzielności liczb (klasa 1 LO)
Podstawowe cechy
Przez $2$ (ostatnia cyfra parzysta), $5$ (cyfra $0$ lub $5$), $10$ (cyfra $0$).
Przez 3 i 9
Gdy suma cyfr jest podzielna przez $3$ (odpowiednio przez $9$).
Przez 4 i 25
Gdy liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez $4$ (odpowiednio $25$).
Zastosowanie
Ułatwia rozkład na czynniki i skracanie ułamków.
Co to jest układ równań (klasa 1 LO)
Pojęcie
Układ to zbiór równań z tymi samymi niewiadomymi, rozwiązywany wspólnie.
Rozwiązanie
Para $(x,y)$ spełniająca jednocześnie wszystkie równania.
Rodzaje
Oznaczony (jedno rozwiązanie), sprzeczny (brak), nieoznaczony (nieskończenie wiele).
Metody
Podstawiania, przeciwnych współczynników oraz metoda graficzna.
Interpretacja geometryczna układu równań liniowych (klasa 1 LO)
Prosta
Każde równanie liniowe $ax+by=c$ przedstawia prostą.
Punkt przecięcia
Rozwiązanie układu to współrzędne punktu wspólnego prostych.
Trzy przypadki
Proste przecinają się (oznaczony), są równoległe różne (sprzeczny) albo pokrywają się (nieoznaczony).
Rozpoznanie
Równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne oznaczają układ sprzeczny.
Funkcja liniowa — zastosowania (klasa 1 LO)
Model liniowy
$y=ax+b$ opisuje stałe tempo zmian $a$ oraz wartość początkową $b$.
Przykłady
Koszt = opłata stała + cena za sztukę razy ilość; droga = prędkość razy czas.
Miejsce zerowe
$x=-\frac{b}{a}$ — argument, dla którego wielkość osiąga zero.
Interpretacja współczynnika
Dodatnie $a$ oznacza wzrost, ujemne — spadek, a $|a|$ to tempo zmian.
Funkcja liniowa — zagadnienia uzupełniające (klasa 1 LO)
Postacie prostej
Kierunkowa $y=ax+b$ oraz ogólna $Ax+By+C=0$.
Równoległość i prostopadłość
Proste równoległe: $a_1=a_2$. Prostopadłe: $a_1\cdot a_2=-1$.
Wyznaczanie wzoru
Z dwóch punktów: $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, a $b$ z podstawienia.
Monotoniczność
$a>0$ — rosnąca, $a<0$ — malejąca, $a=0$ — stała.
Długość okręgu i liczba pi (klasa 1 LO)
Wzory
$L=2\pi r=\pi d$, gdzie $r$ to promień, a $d$ średnica.
Liczba pi
$\pi=\frac{L}{d}$ — stały stosunek obwodu do średnicy; liczba niewymierna, $\pi\approx3{,}14159$.
Długość łuku
Dla kąta środkowego $\alpha$ (w stopniach): $\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r$.
Zastosowanie
Obwody kół, długości łuków oraz miara łukowa kąta.
Liczby rzeczywiste — zagadnienia uzupełniające (klasa 1 LO)
Zbiór liczb rzeczywistych
$\mathbb{R}$ obejmuje liczby wymierne i niewymierne — wypełniają całą oś liczbową.
Przedziały
Zbiory liczb zapisujemy jako przedziały, np. $\langle 2,5)$ oznacza $2\le x<5$.
Wartość bezwzględna
$|x|$ to odległość od zera; nierówność $|x| Zaokrąglenie liczby wiąże się z błędem bezwzględnym i względnym.Przybliżenia
Dodawanie i odejmowanie wielomianów (klasa 2 LO)
Wielomian
Wyrażenie postaci $a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$. Stopień to najwyższy wykładnik zmiennej o niezerowym współczynniku.
Dodawanie
Redukujemy wyrazy podobne — o tej samej potędze $x$.
Odejmowanie
Zmieniamy znaki wszystkich wyrazów odjemnika, a potem dodajemy.
Stopień sumy
Nie przekracza większego ze stopni; może się obniżyć, gdy skasują się wyrazy najwyższego stopnia.
Mnożenie wielomianów (klasa 2 LO)
Zasada
Każdy wyraz pierwszego wielomianu mnożymy przez każdy wyraz drugiego, a następnie redukujemy wyrazy podobne.
Stopień iloczynu
Równy sumie stopni czynników.
Wzory skróconego mnożenia
$(a\pm b)^2$, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $(a\pm b)^3$, $a^3\pm b^3$.
Przykład
$(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$.
Koło (klasa 2 LO)
Koło i okrąg
Okrąg to zbiór punktów odległych od środka o promień $r$; koło to okrąg wraz z wnętrzem.
Długość i pole
$L=2\pi r$ oraz $P=\pi r^2$.
Równanie okręgu
W układzie współrzędnych: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Wycinek koła
Pole wycinka o kącie środkowym $\alpha$: $\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2$.
Czworokąty wypukłe (klasa 2 LO)
Definicja
Czworokąt wypukły ma wszystkie kąty wewnętrzne mniejsze od $180^\circ$, a jego przekątne leżą wewnątrz figury.
Suma kątów
Wynosi $360^\circ$.
Szczególne przypadki
Równoległobok, prostokąt, romb, kwadrat i trapez — każdy ma własne własności boków i przekątnych.
Pole
Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty i zsumować ich pola.
Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego (klasa 2 LO)
Zakres
Dla kątów od $0^\circ$ do $180^\circ$ definiujemy sinus, cosinus i tangens.
Wzory redukcyjne
$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ oraz $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$.
Znaki
W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, a cosinus ujemny.
Jedynka trygonometryczna
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
Funkcja kwadratowa — zastosowania (1) (klasa 2 LO)
Model
$y=ax^2+bx+c$ opisuje zależności z ekstremum, np. lot ciała lub pole figury.
Wierzchołek
$p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$, gdzie $\Delta=b^2-4ac$.
Wartość ekstremalna
Dla $a>0$ najmniejsza wartość to $q$, dla $a<0$ największa to $q$.
Przykład
Prostokąt o danym obwodzie ma największe pole, gdy jest kwadratem.
Funkcja kwadratowa — zastosowania (2) (klasa 2 LO)
Postacie funkcji
Ogólna $ax^2+bx+c$, kanoniczna $a(x-p)^2+q$, iloczynowa $a(x-x_1)(x-x_2)$.
Miejsca zerowe
$\Delta=b^2-4ac$, a pierwiastki $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.
Optymalizacja
Wartość największą lub najmniejszą znajdujemy w wierzchołku paraboli.
Nierówności kwadratowe
Znak trójmianu zależy od znaku $a$ oraz od wyróżnika $\Delta$.
Funkcja kwadratowa — zagadnienia uzupełniające (klasa 2 LO)
Wyróżnik
$\Delta=b^2-4ac$ decyduje o liczbie pierwiastków: $\Delta>0$ dwa, $\Delta=0$ jeden, $\Delta<0$ brak pierwiastków rzeczywistych.
Wzory Viète’a
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ oraz $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$.
Postać iloczynowa
$a(x-x_1)(x-x_2)$ istnieje, gdy $\Delta\ge0$.
Zastosowanie
Równania i nierówności kwadratowe oraz zadania optymalizacyjne.
Funkcje wykładnicza i logarytmiczna — zastosowania (klasa 2 LO)
Funkcja wykładnicza
$y=a\cdot b^x$ modeluje wzrost lub rozpad (np. procent składany, rozpad promieniotwórczy).
Logarytm
$\log_a b=c$ oznacza $a^c=b$. Skale logarytmiczne to m.in. pH i decybele.
Procent składany
$K_n=K_0(1+p)^n$, gdzie $p$ to oprocentowanie, a $n$ liczba okresów.
Zastosowania
Wzrost populacji, odsetki bankowe, natężenie dźwięku.
Konstrukcja wspólnej stycznej do dwóch okręgów (klasa 2 LO)
Styczna do okręgu
Prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny; jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
Styczne wspólne
Dwa okręgi mają do czterech wspólnych stycznych — zewnętrznych i wewnętrznych.
Liczba stycznych
Zależy od odległości środków $d$ oraz sumy i różnicy promieni.
Zastosowanie
Przekładnie pasowe, koła zębate, konstrukcje geometryczne.
Okrąg (klasa 2 LO)
Definicja
Okrąg to zbiór punktów płaszczyzny odległych od środka o promień $r$.
Długość
$L=2\pi r=\pi d$.
Równanie
W układzie współrzędnych: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Styczna
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
Pole czworokąta (klasa 2 LO)
Prostokąt i kwadrat
Pole prostokąta $a\cdot b$, kwadratu $a^2$.
Równoległobok i romb
Równoległobok $a\cdot h$; romb $\frac{1}{2}d_1 d_2$.
Trapez
$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$.
Dowolny czworokąt
Dzielimy przekątną na dwa trójkąty i sumujemy ich pola.
Strona 17 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.