Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Układ współrzędnych — punkty, odcinki i figury
Budowa układu
Dwie prostopadłe osie: pozioma $OX$ (odcięte) i pionowa $OY$ (rzędne). Przecinają się w początku układu $O=(0,\,0)$.
Punkt zapisujemy jako parę $(x,\,y)$ — zawsze najpierw odcięta.
Ćwiartki
- I — $(+,+)$, prawa górna
- II — $(-,+)$, lewa górna
- III — $(-,-)$, lewa dolna
- IV — $(+,-)$, prawa dolna
Punkty osi $OX$ mają postać $(x,\,0)$, a osi $OY$ — $(0,\,y)$.
Odcinki równoległe do osi
Gdy odcinek jest poziomy (równe rzędne), jego długość to różnica odciętych. Gdy pionowy — różnica rzędnych. Nie trzeba wtedy twierdzenia Pitagorasa.
Odcinek ukośny
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
To po prostu twierdzenie Pitagorasa: rysujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równoległych do osi.
Przykład: dla $A=(1,\,1)$ i $B=(5,\,4)$ mamy $\Delta x=4$, $\Delta y=3$, więc $|AB|=5$.
Środek odcinka
$$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$$
Zadanie odwrotne: znając środek i jeden koniec, drugi znajdujemy z $x_B=2x_S-x_A$.
Odległość od osi
Od osi $OX$ — wartość bezwzględna rzędnej. Od osi $OY$ — wartość bezwzględna odciętej. Odległość nigdy nie jest ujemna.
Symetrie
- względem osi $OX$: $(x,\,y)\to(x,\,-y)$
- względem osi $OY$: $(x,\,y)\to(-x,\,y)$
- względem początku układu: $(x,\,y)\to(-x,\,-y)$
Przesunięcie o wektor
$$(x,\,y)\ \xrightarrow{\ [p,\,q]\ }\ (x+p,\ y+q)$$
Przesunięcie nie zmienia kształtu ani rozmiaru figury — jej pole i obwód pozostają takie same. Zmieniają się tylko współrzędne.
Pola figur w układzie
Dla figur o bokach równoległych do osi wystarczą zwykłe wzory: różnice współrzędnych dają długości boków i wysokości. Trójkąt o wierzchołkach na obu osiach i w początku układu jest prostokątny, więc jego pole to połowa iloczynu przyprostokątnych.
Na co uważać
Kolejność współrzędnych — $(3,\,5)$ i $(5,\,3)$ to różne punkty. Przy odległości od osi nie zapominaj o wartości bezwzględnej.
Proporcjonalność, podział proporcjonalny i skala
Proporcja
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff a\cdot d=b\cdot c$$
Mnożenie na krzyż to podstawowe narzędzie — zamienia proporcję w zwykłe równanie.
Proporcjonalność prosta
Wzrost jednej wielkości powoduje wzrost drugiej w tym samym stosunku. Iloraz jest stały:
$$\frac{y}{x}=k \quad\Rightarrow\quad y=kx$$
Przykłady: liczba biletów i kwota, droga i zużycie paliwa, ilość składników i liczba porcji.
Proporcjonalność odwrotna
Wzrost jednej wielkości powoduje spadek drugiej. Stały jest iloczyn:
$$x\cdot y=k$$
Przykłady: liczba robotników i czas pracy, prędkość i czas przejazdu.
Jak rozpoznać: zadaj sobie pytanie „czy więcej znaczy więcej, czy mniej?”. Czterech malarzy pracuje $9$ dni, więc sześciu — krócej. Stała jest praca: $4\cdot9=36$ dniówek, stąd $36:6=6$ dni.
Podział proporcjonalny
Schemat jest zawsze ten sam:
- zsumuj liczby ze stosunku — dostajesz liczbę części
- podziel całość przez liczbę części — dostajesz wartość jednej części
- pomnóż przez odpowiednie liczby ze stosunku
Przykład: $120$ zł w stosunku $2:3$. Części jest $5$, jedna warta $24$ zł, więc podział to $48$ zł i $72$ zł.
Kontrola: suma otrzymanych wartości musi dać całość.
Skala
Zapis $1:n$ oznacza, że $1$ jednostka na mapie odpowiada $n$ jednostkom w rzeczywistości.
$$\text{odległość rzeczywista}=\text{odległość na mapie}\times n$$
Warto zapamiętać: przy skali $1:100\,000$ każdy centymetr mapy to dokładnie $1$ km.
Wyznaczanie skali
Obie odległości sprowadzamy do tych samych jednostek i tworzymy stosunek. Dla $8$ cm na mapie i $4$ km w terenie: $4$ km $=400\,000$ cm, więc skala to $\frac{8}{400\,000}=1:50\,000$.
Skala a pole
Długości zmieniają się jak skala, ale pola jak jej kwadrat. W skali $1:100$ pole rzeczywiste jest $10\,000$ razy większe niż na planie — nie $100$ razy.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to podanie wartości jednej części zamiast szukanej części podziału. Drugi — zastosowanie proporcji prostej tam, gdzie działa odwrotna; wtedy wynik wychodzi sprzeczny ze zdrowym rozsądkiem (więcej pracowników, a dłużej), co warto wychwycić.
Liczby całkowite na osi liczbowej
Czym są liczby całkowite
To liczby naturalne, ich liczby przeciwne i zero:
$$\dots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots$$
Na osi liczbowej rozmieszczone są w równych odstępach — ujemne po lewej od zera, dodatnie po prawej.
Porównywanie
Zasada jest prosta: większa jest ta liczba, która leży bardziej na prawo.
$$-7\lt -3\lt 0\lt 2\lt 5$$
Wśród liczb ujemnych działa to odwrotnie niż intuicja podpowiada: $-7$ jest mniejsze od $-3$, choć „siódemka jest większa od trójki”. Decyduje położenie na osi, a nie sama cyfra.
Wartość bezwzględna
To odległość liczby od zera — zawsze nieujemna:
$$|{-6}|=6,\qquad |6|=6,\qquad |0|=0$$
Dwie liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną, bo leżą w tej samej odległości od zera, tylko po przeciwnych stronach.
Liczba przeciwna
Liczbą przeciwną do $a$ jest $-a$. Ich suma zawsze wynosi zero:
$$a+(-a)=0$$
Nie myl z liczbą odwrotną — odwrotnością $5$ jest $\frac15$, a liczbą przeciwną $-5$.
Dodawanie i odejmowanie na osi
Dodawanie liczby dodatniej to ruch w prawo, odejmowanie — w lewo:
$$-3+5=2,\qquad -3-5=-8$$
Gdy znaki są różne, odejmujemy wartości bezwzględne, a wynik dostaje znak liczby o większym module: $-7+12=5$, bo $12>7$ i dwunastka jest dodatnia.
Odejmowanie liczby ujemnej
$$a-(-b)=a+b$$
Dwa minusy dają plus. Przykład: $3-(-5)=8$ — to właśnie odległość między $3$ a $-5$ na osi liczbowej.
Mnożenie i dzielenie — reguła znaków
$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$
Jednakowe znaki dają plus, różne — minus. Ta sama reguła obowiązuje przy dzieleniu.
Ile liczb leży między dwiema danymi
Liczb całkowitych ściśle między $a$ i $b$ jest $b-a-1$. Między $-4$ a $3$ mamy $3-(-4)-1=6$ liczb: $-3,-2,-1,0,1,2$. Zera nie wolno pominąć.
Zastosowania
Temperatury poniżej zera, poziomy w budynku, stan konta, wysokość względem poziomu morza. Dług $150$ zł zapisujemy jako $-150$ — i wtedy „większy dług” to mniejsza liczba.
Na co uważać
Trzy typowe błędy: uznanie $-5>-2$, pomylenie liczby przeciwnej z odwrotną oraz pominięcie zera przy zliczaniu liczb w przedziale.
Dzielniki, wielokrotności i liczby pierwsze
Dzielnik i wielokrotność
Liczba $d$ jest dzielnikiem $n$, gdy $n:d$ daje wynik całkowity bez reszty. Wtedy $n$ nazywamy wielokrotnością $d$.
Przykład: $3$ jest dzielnikiem $12$, a $12$ jest wielokrotnością $3$. To dwie strony tej samej relacji.
Jak wypisać wszystkie dzielniki
Szukamy parami, zaczynając od $1$:
$$24=1\cdot24=2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6$$
$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$
Kończymy, gdy czynniki zaczynają się mijać. Ta metoda gwarantuje, że nic nie zostanie pominięte.
Cechy podzielności
- przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
- przez 3 — suma cyfr dzieli się przez $3$
- przez 4 — dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $4$
- przez 5 — ostatnia cyfra to $0$ lub $5$
- przez 9 — suma cyfr dzieli się przez $9$
- przez 10 — ostatnia cyfra to $0$
Przykład: $6543$ — suma cyfr to $18$, więc liczba dzieli się przez $9$ (a tym samym przez $3$).
Liczby pierwsze i złożone
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Pierwsze z nich to $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$.
Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona — ma tylko jeden dzielnik. Liczba $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Rozkład na czynniki pierwsze
Dzielimy przez kolejne liczby pierwsze, aż dojdziemy do $1$:
$$60=2\cdot2\cdot3\cdot5=2^2\cdot3\cdot5$$
W rozkładzie wszystkie czynniki muszą być pierwsze — zapis $60=4\cdot15$ to jeszcze nie rozkład na czynniki pierwsze.
NWD i NWW
NWD to największy wspólny dzielnik, NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność.
Dla $12$ i $18$: wspólne dzielniki to $1,2,3,6$, więc NWD$=6$. Wspólne wielokrotności to $36,72,\dots$, więc NWW$=36$.
Praktyczna zależność:
$$\text{NWD}(a,b)\cdot\text{NWW}(a,b)=a\cdot b$$
Sprawdzenie: $6\cdot36=216=12\cdot18$ ✔ Znając jedno, łatwo obliczyć drugie.
Gdzie się to przydaje
NWD skraca ułamki do postaci nieskracalnej. NWW służy do sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i do zadań o „spotykających się” cyklach — np. dwa autobusy odjeżdżające co $12$ i co $18$ minut spotkają się po $36$ minutach.
Na co uważać
Nie myl dzielnika z wielokrotnością (dzielników jest skończenie wiele, wielokrotności nieskończenie). Nie zaliczaj $1$ do liczb pierwszych. I pamiętaj, że każda liczba jest dzielnikiem samej siebie.
Podwyżki i obniżki — procenty w praktyce
Mnożnik — najważniejsze narzędzie
Zamiast liczyć rabat i odejmować, mnożymy od razu przez jedną liczbę:
$$\text{podwyżka o } p\%:\ \times\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{obniżka o } p\%:\ \times\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Podwyżka o $20\%$ to mnożenie przez $1{,}2$, obniżka o $30\%$ — przez $0{,}7$.
Trzy podstawowe typy zadań
1. Znamy cenę wyjściową, szukamy końcowej. Mnożymy: $200\cdot1{,}15=230$ zł.
2. Znamy cenę końcową, szukamy wyjściowej. Dzielimy: $\frac{850}{0{,}85}=1000$ zł.
3. Znamy obie ceny, szukamy procentu. Dzielimy zmianę przez cenę wyjściową: $\frac{15}{60}=25\%$.
Podstawa procentu — źródło większości błędów
Procent zawsze liczymy od czegoś. To „coś” nazywamy podstawą i stanowi ono $100\%$.
Przy obniżce podstawą jest cena sprzed obniżki. Gdy cena wzrosła z $18$ do $27$ zł, wzrost wynosi $\frac{9}{18}=50\%$ — dzielimy przez $18$, a nie przez $27$.
Zmiany złożone
Kolejne zmiany procentowe mnożymy, nie dodajemy:
$$1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$$
Podwyżka o $10\%$, a potem obniżka o $10\%$ nie wraca do punktu wyjścia — daje spadek o $1\%$. Powód: obniżkę liczymy od większej kwoty.
Ogólnie $(1+p)(1-p)=1-p^2\lt 1$ — końcowa cena jest zawsze niższa od wyjściowej.
Rabaty łączone
Dwa rabaty $30\%$ i $10\%$ dają mnożnik $0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$, czyli łączny rabat $37\%$ — mniej niż $40\%$. Sprzedawcy chętnie eksponują sumę procentów, ale liczy się iloczyn mnożników.
Powroty nie są symetryczne
Spadek o $50\%$ wymaga wzrostu o $100\%$, by wrócić do punktu wyjścia. Wzrost o $50\%$ odwraca spadek o $33\tfrac13\%$.
Dzieje się tak, bo za każdym razem procent liczymy od innej podstawy.
Narzut a marża
Narzut liczymy od ceny zakupu, a rabat — od ceny sprzedaży. Towar kupiony za $80$ zł z narzutem $50\%$ kosztuje $120$ zł; po rabacie $30\%$ sprzedamy go za $84$ zł, wciąż z zyskiem $4$ zł. Odejmowanie tych procentów od siebie nie ma sensu.
Na co uważać
Nie odejmuj $20\%$ od ceny po podwyżce, gdy szukasz ceny sprzed niej. Nie dodawaj procentów kolejnych rabatów. I zawsze sprawdzaj, od czego liczony jest dany procent.
Działania na potęgach i pierwiastek sześcienny
Cztery reguły potęgowania
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$
$$a^m:a^n=a^{m-n}$$
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$
$$(ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
Kluczowy warunek: dwie pierwsze reguły działają tylko dla tej samej podstawy. Podstawa nigdy się nie zmienia — $2^3\cdot2^4=2^7$, a nie $4^7$.
Najczęstsza pomyłka
Przy iloczynie wykładniki dodajemy, przy potędze potęgi — mnożymy:
$$2^3\cdot2^2=2^5=32,\qquad \left(2^3\right)^2=2^6=64$$
Te dwa zapisy wyglądają podobnie, a dają różne wyniki.
Wykładnik zerowy
$$a^0=1 \quad \text{dla } a\neq0$$
Wynika to wprost z reguły dzielenia: $\frac{a^n}{a^n}=a^0$, a przecież liczba podzielona przez samą siebie daje $1$.
Potęga liczby ujemnej
Wykładnik parzysty daje wynik dodatni, nieparzysty — ujemny:
$$(-3)^4=81,\qquad (-3)^3=-27$$
Uwaga na nawias: $-3^4$ oznacza $-(3^4)=-81$, a $(-3)^4=81$. Bez nawiasu minus nie wchodzi pod potęgę.
Sprowadzanie do wspólnej podstawy
To niemal zawsze pierwszy krok w trudniejszych zadaniach:
$$\frac{9^3\cdot3^2}{27^2}=\frac{\left(3^2\right)^3\cdot3^2}{\left(3^3\right)^2}=\frac{3^8}{3^6}=3^2=9$$
Dopiero po zapisaniu wszystkiego jako potęgi trójki reguły stają się użyteczne.
Pierwiastek sześcienny
$$\sqrt[3]{a}=b \iff b^3=a$$
$$\sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[3]{64}=4,\qquad \sqrt[3]{125}=5,\qquad \sqrt[3]{1000}=10$$
Istotna różnica względem pierwiastka kwadratowego: pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje, bo trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna:
$$\sqrt[3]{-8}=-2$$
Własności pierwiastków
$$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab},\qquad \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$$
Przykład: $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot3=6$ oraz $\sqrt[3]{216}=6$ ✔
Gdzie się to przydaje
Objętość sześcianu to $V=a^3$, więc krawędź odzyskujemy pierwiastkiem sześciennym: $a=\sqrt[3]{V}$. Dla $V=1000$ cm³ krawędź wynosi $10$ cm, a pole powierzchni $6\cdot100=600$ cm².
Na co uważać
Nie mnóż podstaw przy mnożeniu potęg. Nie myl $-a^n$ z $(-a)^n$. I pamiętaj, że $(2x)^2=4x^2$ — do kwadratu podnosimy również współczynnik.
Lokaty bankowe, VAT i podatki
Odsetki od lokaty
Oprocentowanie zawsze podaje się w skali roku, nawet gdy lokata trwa krócej:
$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}\cdot\frac{\text{liczba miesięcy}}{12}$$
Lokata półroczna na $6\%$ daje faktycznie $3\%$, kwartalna na $8\%$ — $2\%$.
Podatek od zysków kapitałowych
Bank pobiera $19\%$ od odsetek — nigdy od wpłaconego kapitału.
$$\text{odsetki netto}=\text{odsetki brutto}\cdot0{,}81$$
Przykład: $2000$ zł na $5\%$ daje $100$ zł odsetek, podatek to $19$ zł, więc na konto trafia $2081$ zł.
Cena netto i brutto
$$\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\tfrac{\text{VAT}}{100}\right)$$
Przy stawce $23\%$ mnożnikiem jest $1{,}23$:
$$\text{netto}=\frac{\text{brutto}}{1{,}23}$$
Najczęstszy błąd przy VAT
Aby z ceny brutto $123$ zł otrzymać netto, dzielimy przez $1{,}23$ i dostajemy $100$ zł. Odjęcie $23\%$ od $123$ zł daje błędne $94{,}71$ zł — bo podatek liczony jest od netto, a nie od brutto.
Stawki VAT w Polsce
Podstawowa $23\%$, obniżone $8\%$ (m.in. usługi budowlane) i $5\%$ (książki, część żywności), a niektóre towary są zwolnione.
Porównywanie ofert
Oferty sprowadzamy do wspólnego okresu — zwykle do roku. Bank dający $1{,}2\%$ kwartalnie daje w roku $4{,}8\%$, czyli więcej niż konkurent z $4\%$ rocznie.
Przy porównaniach z podatkiem liczy się kwota po opodatkowaniu. Lokata $5\%$ obciążona podatkiem $19\%$ daje efektywnie $4{,}05\%$ — mniej niż zwolniona z podatku obligacja na $4{,}2\%$.
Zadania odwrotne
Gdy znamy odsetki po opodatkowaniu, cofamy się o dwa kroki. Kwota $81$ zł to $81\%$ odsetek brutto, więc brutto wynosiło $100$ zł, a przy kapitale $2000$ zł daje to oprocentowanie $5\%$.
Podatek od podatku
Przy paliwie VAT nalicza się od kwoty zawierającej już akcyzę. Dla ceny netto $4$ zł i akcyzy $1{,}50$ zł podstawą jest $5{,}50$ zł, a VAT wynosi $1{,}265$ zł — cena końcowa to około $6{,}77$ zł.
Na co uważać
Nie zapomnij przeliczyć stopy rocznej na faktyczny okres. Nie obciążaj podatkiem kapitału. I nie odejmuj procentu VAT od ceny brutto.
Reguła mnożenia i zliczanie możliwości
Reguła mnożenia
Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:
$$n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Mając $3$ koszulki i $4$ pary spodni, ubierzemy się na $3\cdot4=12$ sposobów.
Mnożyć czy dodawać
Mnożymy, gdy wybieramy jedno i drugie (koszulkę i spodnie).
Dodajemy, gdy wybieramy jedno albo drugie — na przykład deser: albo jedno z $3$ ciast, albo jeden z $2$ lodów, czyli $3+2=5$ możliwości.
Wystarczy przeczytać treść i znaleźć spójnik.
Z powtórzeniami i bez
Kody trzycyfrowe z cyfr $1$–$9$ z powtórzeniami: $9\cdot9\cdot9=729$.
Liczby dwucyfrowe z cyfr $1,2,3,4$ bez powtórzeń: $4\cdot3=12$ — na drugiej pozycji zostaje o jedną możliwość mniej.
Zero na pierwszej pozycji
W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem. Liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach jest więc:
$$9\cdot9\cdot8=648$$
Pierwsza pozycja: $9$ możliwości (bez zera). Druga: znowu $9$, bo zero wraca do gry, ale jedna cyfra jest zużyta. Trzecia: $8$.
Zaczynaj od najostrzejszego warunku
Szukając liczb trzycyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach, zaczynamy od końca:
$$5\cdot8\cdot8=320$$
Ostatnia cyfra: $5$ możliwości (nieparzyste). Pierwsza: $8$ (bez zera i bez cyfry użytej na końcu). Środkowa: $8$. Gdybyśmy zaczęli od przodu, trzeba by rozbijać zadanie na przypadki.
Ustawienia w rzędzie
$$n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1$$
Cztery książki ustawimy na $4!=24$ sposoby.
Prawdopodobieństwo klasyczne
$$P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}$$
Wzór działa tylko wtedy, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.
Przy dwóch kostkach wszystkich wyników jest $6\cdot6=36$. Suma większa od $9$ zdarza się w $6$ przypadkach, więc $P=\frac{6}{36}=\frac16$.
Kostki są rozróżnialne
Wyniki $(1,6)$ i $(6,1)$ liczymy osobno — inaczej nie wszystkie zdarzenia byłyby jednakowo prawdopodobne i wzór klasyczny przestałby działać.
Na co uważać
Nie dodawaj, gdy trzeba mnożyć. Pilnuj zakazu zera na pierwszej pozycji. I sprawdzaj, czy w zadaniu elementy mogą się powtarzać.
Długość okręgu i pole koła
Dwa różne wzory
$$L=2\pi r=\pi d \qquad\text{(długość okręgu)}$$
$$P=\pi r^2 \qquad\text{(pole koła)}$$
Nie myl ich. Długość zależy od promienia liniowo, a pole od jego kwadratu. To najczęstsza pomyłka w tym dziale.
Okrąg a koło
Okrąg to sama linia (brzeg), koło to linia wraz z wnętrzem. Długość mierzymy dla okręgu, pole — dla koła.
Liczba pi
$$\pi\approx3{,}14\approx\frac{22}{7}$$
To liczba niewymierna — stosunek długości okręgu do jego średnicy, jednakowy dla każdego okręgu.
Zadania odwrotne
$$r=\frac{L}{2\pi},\qquad r=\sqrt{\frac{P}{\pi}}$$
Z pola $49\pi$ odczytujemy $r^2=49$, więc $r=7$ — pierwiastkowanie bywa zbędne, gdy wynik podano z $\pi$.
Jak zmienia się pole
Podwojenie promienia zwiększa długość okręgu dwukrotnie, ale pole czterokrotnie, bo $\pi(2r)^2=4\pi r^2$.
Figury złożone
Półkole ma pole $\frac{\pi r^2}{2}$, ćwiartka $\frac{\pi r^2}{4}$. Pierścień to różnica pól dwóch kół współśrodkowych. Koło wpisane w kwadrat ma promień równy połowie boku.
Na co uważać
Sprawdzaj, czy dana jest średnica, czy promień. W obliczeniach z bieżnią czy kołem rowerowym „jeden obrót” to długość okręgu.
Zapis dziesiątkowy liczb naturalnych (klasa 4 SP)
System dziesiątkowy
Liczby zapisujemy dziesięcioma cyframi: $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Wartość cyfry zależy od miejsca (pozycji), na którym stoi.
Wartość miejsca
Kolejne pozycje od prawej to jedności, dziesiątki, setki, tysiące. W liczbie $3572$ mamy $3$ tysiące, $5$ setek, $7$ dziesiątek i $2$ jedności.
Rozwinięcie liczby
$$3572=3\cdot1000+5\cdot100+7\cdot10+2$$
Na co uważać
Zero „trzyma" puste miejsce i zmienia wartość: $50$ to inna liczba niż $5$.
Oś liczbowa (klasa 4 SP)
Co to jest oś liczbowa
Oś liczbowa to prosta z zaznaczonym punktem $0$, obraną jednostką i zwrotem. Każdej liczbie odpowiada dokładnie jeden punkt osi.
Jednostka
Odcinek między $0$ a $1$ to jednostka. Kolejne liczby $2,3,4,\ldots$ odkładamy co jednostkę, idąc w prawo.
Porównywanie na osi
Im dalej w prawo, tym większa liczba. Punkt liczby $5$ leży na prawo od punktu liczby $3$, dlatego $5>3$.
Zastosowanie
Oś liczbowa pomaga porównywać liczby oraz zaznaczać i odczytywać wyniki.
Porównywanie liczb naturalnych (klasa 4 SP)
Znaki porównania
Używamy znaków: $\lt $ (mniejsze), $>$ (większe) oraz $=$ (równe). Na przykład $7>4$ oraz $3\lt 9$.
Jak porównywać
Większa jest liczba, która ma więcej cyfr. Przy tej samej liczbie cyfr porównujemy od lewej pierwszą różniącą się cyfrę.
Przykład
$$253\lt 261$$ bo setki są równe ($2=2$), a wśród dziesiątek $5\lt 6$.
Na osi liczbowej
Liczba większa leży dalej w prawo na osi liczbowej.
Zaokrąglanie liczb naturalnych (klasa 4 SP)
Po co zaokrąglamy
Zaokrąglenie zastępuje liczbę bliską wartością „okrągłą", wygodniejszą w szacowaniu i szybkich rachunkach.
Reguła zaokrąglania
Patrzymy na cyfrę na pozycji niższej niż zaokrąglana. Cyfry $0,1,2,3,4$ zaokrąglają w dół, a $5,6,7,8,9$ — w górę.
Przykłady
$$47\approx50\ (\text{do dziesiątek}),\qquad 430\approx400\ (\text{do setek})$$
Uwaga
Zawsze zaokrąglamy do wskazanego rzędu: dziesiątek, setek, tysięcy.
Dodawanie i odejmowanie pisemne (klasa 4 SP)
Jak podpisujemy liczby
Zapisujemy liczby jedną pod drugą: jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami. Działanie wykonujemy od prawej strony.
Przeniesienie
Gdy suma cyfr w kolumnie jest równa co najmniej $10$, przenosimy jedną dziesiątkę do następnej kolumny w lewo.
Pożyczka
Przy odejmowaniu, gdy cyfra u góry jest za mała, pożyczamy dziesiątkę z sąsiedniej kolumny.
Sprawdzenie
Odejmowanie sprawdzamy dodawaniem: jeśli $a-b=c$, to $c+b=a$.
Pojęcie ułamka zwykłego (klasa 4 SP)
Czym jest ułamek
Ułamek $\frac{a}{b}$ opisuje część całości. Licznik $a$ mówi, ile części bierzemy, a mianownik $b$ — na ile równych części podzielono całość.
Przykład
$\frac{3}{4}$ to trzy z czterech równych części — tort pokrojony na $4$ kawałki, z których bierzemy $3$.
Mianownik
Mianownik nie może być zerem. Im większy mianownik, tym drobniejsze części.
Cała całość
Ułamek $\frac{b}{b}=1$, na przykład $\frac{4}{4}$ to jedna cała.
Zapis ułamka dziesiętnego (klasa 4 SP)
Co to jest ułamek dziesiętny
Ułamek dziesiętny zapisujemy z przecinkiem, np. $0{,}7$ lub $3{,}25$. Cyfry po przecinku oznaczają części dziesiąte, setne, tysięczne.
Związek z ułamkiem zwykłym
$$0{,}7=\frac{7}{10},\qquad 0{,}25=\frac{25}{100}$$
Pozycje po przecinku
Pierwsza cyfra po przecinku to części dziesiąte, druga — setne. W liczbie $3{,}25$ są $2$ dziesiąte i $5$ setnych.
Zastosowanie
Ułamki dziesiętne spotykamy w cenach i pomiarach, np. $2{,}50$ zł.
Porównywanie ułamków zwykłych (klasa 4 SP)
Ten sam mianownik
Gdy mianowniki są równe, większy jest ułamek o większym liczniku: $\frac{3}{5}>\frac{2}{5}$.
Ten sam licznik
Gdy liczniki są równe, większy jest ułamek o mniejszym mianowniku, bo części są większe: $\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$.
Różne mianowniki
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a potem porównujemy liczniki.
Odniesienie do całości
$\frac{b}{b}=1$. Ułamek mniejszy od $1$ ma licznik mniejszy od mianownika.
Punkt, prosta, półprosta i odcinek (klasa 4 SP)
Punkt i prosta
Punkt oznaczamy wielką literą, np. $A$. Prosta jest nieograniczona w obie strony i nie ma końców.
Półprosta
Półprosta ma początek (jeden koniec) i biegnie nieskończenie w jedną stronę.
Odcinek
Odcinek $AB$ ma dwa końce i określoną długość, którą można zmierzyć linijką.
Wzajemne położenie prostych
Dwie proste mogą być równoległe (nie przecinają się) albo przecinać się w jednym punkcie.
Prostokąt i kwadrat (klasa 4 SP)
Prostokąt
Prostokąt ma cztery kąty proste. Przeciwległe boki są równe i równoległe.
Kwadrat
Kwadrat to prostokąt, którego wszystkie boki są równe — ma $4$ równe boki i $4$ kąty proste.
Obwód
Obwód prostokąta o bokach $a$ i $b$: $2\cdot(a+b)$. Obwód kwadratu o boku $a$: $4\cdot a$.
Pole
Pole prostokąta: $P=a\cdot b$. Pole kwadratu: $P=a\cdot a=a^2$.
Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych (klasa 4 SP)
Zasada
Ułamki dziesiętne dodajemy i odejmujemy pisemnie, podpisując przecinek pod przecinkiem. Wtedy jedności stoją pod jednościami, a części dziesiąte pod dziesiątymi.
Wyrównanie miejsc
Gdy liczby mają różną liczbę cyfr po przecinku, dopisujemy zera na końcu, np. $3{,}5=3{,}50$.
Przykład
$$3{,}50+1{,}25=4{,}75$$
Na co uważać
Przecinek w wyniku stawiamy dokładnie pod przecinkami składników.
Koło i okrąg (klasa 4 SP)
Okrąg
Okrąg to linia zamknięta — zbiór punktów jednakowo odległych od środka. Ta odległość to promień $r$.
Koło
Koło to okrąg wraz z jego wnętrzem. Brzegiem koła jest okrąg.
Promień i średnica
Promień $r$ łączy środek z okręgiem, a średnica $d$ przechodzi przez środek. Zachodzi $d=2r$.
Cięciwa
Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty okręgu; najdłuższą cięciwą jest średnica.
Mierzenie kątów (klasa 4 SP)
Miara kąta
Kąty mierzymy w stopniach. Pełny obrót to $360^\circ$, kąt półpełny $180^\circ$, a kąt prosty $90^\circ$.
Kątomierz
Do mierzenia używamy kątomierza: środek przykładamy do wierzchołka kąta, a podstawę do jednego z ramion.
Rodzaje kątów
Kąt ostry ma mniej niż $90^\circ$, prosty równo $90^\circ$, a rozwarty od $90^\circ$ do $180^\circ$.
Przykład
Kąt $45^\circ$ to połowa kąta prostego.
Porównywanie ułamków dziesiętnych (klasa 4 SP)
Jak porównywać
Porównujemy cyfry na tych samych miejscach, zaczynając od najważniejszego: części całkowite, potem dziesiąte, setne.
Wyrównanie
Możemy dopisać zera, aby ułamki miały tyle samo cyfr po przecinku: $0{,}5$ i $0{,}50$ to ta sama liczba.
Przykład
$$0{,}7>0{,}65$$ bo wśród części dziesiątych $7>6$.
Uwaga
Więcej cyfr po przecinku nie oznacza większej liczby: $0{,}5>0{,}45$.
Potęgowanie liczb naturalnych (klasa 4 SP)
Czym jest potęga
Potęga to skrócony zapis mnożenia jednakowych czynników: $a^n=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a$ ($n$ czynników).
Nazwy
W zapisie $a^n$ liczba $a$ to podstawa, a $n$ to wykładnik. $a^2$ czytamy „a do kwadratu", $a^3$ „a do sześcianu".
Przykłady
$$2^3=2\cdot2\cdot2=8,\qquad 5^2=25$$
Przypadki szczególne
Każda liczba do potęgi pierwszej równa się sobie: $a^1=a$.
Strona 17 z 21 · 489 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.