Regulamin korzystania ze strony internetowej
§ 1. Postanowienia ogólne
Regulamin określa zasady korzystania ze strony internetowej prowadzonej przez AMKBIT Grzegorz Klekiel („Serwis") oraz zasady świadczenia usług elektronicznych (płatnych i bezpłatnych) dostępnych w Serwisie.
Akceptacja Regulaminu jest równoznaczna z zobowiązaniem do jego przestrzegania oraz do korzystania z Serwisu zgodnie z prawem.
Serwis nie prowadzi sprzedaży towarów. Warunki świadczenia usług płatnych określa niniejszy Regulamin, ewentualnie cennik/opis usługi lub odrębne warunki szczegółowe, jeżeli zostały udostępnione.
↑ Wróć na górę§ 2. Definicje
- Serwis – strona internetowa AMKBIT Grzegorz Klekiel wraz z podstronami.
- Usługi elektroniczne – nieodpłatne usługi świadczone drogą elektroniczną (np. formularz kontaktowy, chat, newsletter, konto użytkownika – jeżeli dostępne).
- Użytkownik – każdy podmiot korzystający z Serwisu.
- Treści Użytkownika – materiały publikowane przez Użytkownika (np. opinie, komentarze).
- Trwały nośnik – nośnik umożliwiający przechowywanie informacji (np. e-mail, PDF).
§ 3. Informacje o stronie
- Serwis ma charakter informacyjny i prezentuje ofertę, funkcje oraz aktualności związane z działalnością AMKBIT Grzegorz Klekiel.
- Informacje opublikowane w Serwisie mają charakter poglądowy i nie stanowią oferty w rozumieniu Kodeksu cywilnego.
- Prawa do elementów Serwisu (nazwa, domena, projekt, grafiki, znaki) przysługują AMKBIT Grzegorz Klekiel lub odpowiednim podmiotom trzecim.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel dokłada starań, by treści były aktualne i rzetelne; Serwis może być okresowo aktualizowany.
§ 4. Wymagania techniczne i cookies
- Wymagane jest urządzenie z dostępem do Internetu i aktualna przeglądarka z włączoną obsługą JavaScript i plików cookies.
- Serwis używa cookies i podobnych technologii w celach funkcjonalnych, analitycznych i bezpieczeństwa – szczegóły określa Polityka cookies.
§ 5. Usługi elektroniczne (płatne i bezpłatne)
- Zakres i dostępność. AMKBIT Grzegorz Klekiel może udostępniać w Serwisie usługi takie jak: Formularz kontaktowy, Chat, Newsletter, Konto/Panel użytkownika oraz inne funkcje. Część usług może być świadczona odpłatnie – informacja o odpłatności, cenie, czasie trwania oraz zakresie świadczenia podawana jest przy danej usłudze (np. w opisie funkcji lub cenniku).
- Zawarcie umowy i aktywacja. Umowa o usługę płatną zawierana jest online z chwilą potwierdzenia zamówienia/usługi przez AMKBIT Grzegorz Klekiel lub skutecznego opłacenia (w zależności od komunikatu przy usłudze). Aktywacja następuje niezwłocznie po zawarciu umowy, chyba że komunikat stanowi inaczej.
- Płatności i moment powstania przychodu. Zapłata za usługi płatne następuje z góry za wybrany przez Użytkownika czas dostępu (np. 1 miesiąc, 3 miesiące, rok). Usługa uznana jest za wykonaną w zakresie udzielenia (aktywowania) dostępu do pełnej funkcjonalności Konta/Panelu na opłacony czas niezwłocznie po otrzymaniu zapłaty. Przychód powstaje w dacie otrzymania płatności lub wystawienia faktury/rachunku (zależnie co nastąpi wcześniej). Płatności online mogą być realizowane za pośrednictwem Przelewy24 (PayPro S.A.).
- Odstąpienie od umowy (konsumenci). Konsument może odstąpić od umowy o usługę w terminie 14 dni, chyba że przed upływem tego terminu za wyraźną zgodą Konsumenta rozpoczęto świadczenie usługi (udzielenie dostępu do treści cyfrowych) i poinformowano o utracie prawa odstąpienia – w takim wypadku prawo odstąpienia nie przysługuje w zakresie już spełnionego świadczenia.
- Rezygnacja i rozwiązanie. Usługi bezpłatne można zakończyć w dowolnym momencie (np. wypis z Newslettera, usunięcie Konta). Zasady wypowiedzenia usług płatnych wynikają z ich charakteru (dostęp na czas oznaczony).
- Zmiany usług. AMKBIT Grzegorz Klekiel może modyfikować zakres, formę i sposób dostępu do usług (w tym płatnych) z ważnych przyczyn (np. bezpieczeństwo, zmiany prawa, rozwój funkcji). O zmianach dotyczących usług płatnych Użytkownicy zostaną poinformowani z wyprzedzeniem właściwym dla charakteru zmian.
- Charakter dostępu i odnowienia. Usługi płatne polegają na sprzedaży dostępu do funkcjonalności Serwisu na czas oznaczony. Użytkownik może w dowolnym momencie dokupić kolejny czas dostępu, który zostanie doliczony do obecnego terminu ważności Konta. Serwis nie stosuje domyślnie automatycznego odnawiania dostępu z pobieraniem środków z karty; ewentualne wprowadzenie takiej opcji wymaga odrębnej zgody Użytkownika.
- Fakturowanie. AMKBIT Grzegorz Klekiel wystawia faktury/rachunki w formie elektronicznej. Ceny podane w Serwisie są cenami brutto. Sprzedawca korzysta ze zwolnienia z VAT – podatek VAT nie jest doliczany.
- Reklamacje.
Reklamacje dotyczące działania Serwisu (np. dostęp do konta, funkcje, rozliczenia) prosimy składać na adres e-mail:
firma@amkbit.pl lub telefonicznie:
+48 455 405 228.
Czas rozpatrzenia: Reklamacje rozpatrujemy w terminie 14 dni kalendarzowych od dnia otrzymania kompletnego zgłoszenia. Odpowiedź przekazujemy na adres e-mail wskazany przez zgłaszającego (lub innym uzgodnionym kanałem).
Reklamacje dotyczące samego procesu płatności online (operator Przelewy24) można dodatkowo zgłaszać poprzez Centrum Pomocy Przelewy24: https://www.przelewy24.pl/centrum-pomocy.
§ 6. Rejestracja i Konto (jeżeli dostępne)
- Rejestracja jest dobrowolna i nieodpłatna; wymaga podania prawdziwych danych i akceptacji Regulaminu.
- Użytkownik odpowiada za poufność danych logowania oraz działania w Koncie.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel może zablokować lub usunąć Konto w przypadku rażącego naruszenia Regulaminu lub prawa.
§ 7. Zasady korzystania (AUP)
- Zabronione jest dostarczanie treści bezprawnych, naruszających prawa osób trzecich, dobre obyczaje lub bezpieczeństwo systemów.
- Zakazane jest wykorzystywanie Serwisu do działań reklamowych podmiotów trzecich, spamu oraz publikowania treści niezwiązanych z tematyką Serwisu.
- Użytkownik powinien stosować odpowiednie środki bezpieczeństwa (aktualne oprogramowanie, silne hasła). AMKBIT Grzegorz Klekiel nigdy nie prosi o podanie hasła.
§ 8. Treści Użytkownika i licencja
- Treści Użytkownika mają charakter subiektywny; AMKBIT Grzegorz Klekiel udostępnia infrastrukturę i nie jest ich dostawcą.
- Użytkownik oświadcza, że posiada prawa do publikowanych treści i wymagane zgody (w tym na wizerunek i dane osób trzecich).
- Użytkownik udziela AMKBIT Grzegorz Klekiel niewyłącznej, nieodpłatnej licencji na korzystanie z treści w zakresie niezbędnym do świadczenia usług i funkcjonowania Serwisu (w tym prawa zależne i sublicencję w ramach usług infrastrukturalnych).
- Po otrzymaniu wiarygodnego zawiadomienia o naruszeniu AMKBIT Grzegorz Klekiel może usunąć lub zmodyfikować treści (notice & takedown).
§ 9. Odpowiedzialność i dostępność
- AMKBIT Grzegorz Klekiel zapewnia działanie Serwisu z należytą starannością, jednak nie gwarantuje nieprzerwanej dostępności. Przerwy mogą wynikać z prac serwisowych, awarii lub siły wyższej.
- W najszerszym dopuszczalnym zakresie AMKBIT Grzegorz Klekiel nie ponosi odpowiedzialności za: (1) szkody wynikłe z korzystania niezgodnie z Regulaminem; (2) treści i funkcje serwisów zewnętrznych; (3) decyzje podjęte na podstawie treści Serwisu.
- Postanowienia nie wyłączają odpowiedzialności, której wyłączenie jest prawnie niedopuszczalne.
§ 10. Linki zewnętrzne
Serwis może zawierać odnośniki do stron zewnętrznych. AMKBIT Grzegorz Klekiel nie odpowiada za ich dostępność, zgodność z prawem ani jakość. Korzystanie z serwisów zewnętrznych podlega ich regulaminom i politykom.
↑ Wróć na górę§ 11. Zgłaszanie naruszeń
Naruszenia prawa lub dóbr osobistych można zgłaszać kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie. Po otrzymaniu zgłoszenia AMKBIT Grzegorz Klekiel niezwłocznie podejmie działania zmierzające do usunięcia skutków naruszenia.
↑ Wróć na górę§ 12. Prywatność i powierzenie danych
- Zasady przetwarzania danych osobowych określa Polityka Prywatności.
- W zakresie, w jakim Użytkownik (Nauczyciel) wprowadza do Serwisu dane osobowe swoich uczniów, Użytkownik działa jako Administrator tych danych, a AMKBIT Grzegorz Klekiel jako Podmiot Przetwarzający.
- Akceptacja niniejszego Regulaminu jest równoznaczna z zawarciem Umowy Powierzenia Przetwarzania Danych Osobowych (DPA), której pełna treść stanowi Załącznik nr 1 do Regulaminu.
§ 12a. Powierzenie przetwarzania danych
W zakresie, w jakim Użytkownik (np. nauczyciel) jest administratorem danych swoich uczniów, AMKBIT Grzegorz Klekiel działa jako podmiot przetwarzający. Zasady powierzenia określa odrębna Umowa powierzenia przetwarzania danych (DPA), udostępniana w Serwisie lub na żądanie. Zawarcie DPA może następować elektronicznie w panelu.
↑ Wróć na górę§ 13. Zmiany Regulaminu
- AMKBIT Grzegorz Klekiel może zmienić Regulamin z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój funkcji Serwisu).
- O zmianach AMKBIT Grzegorz Klekiel poinformuje poprzez publikację nowej treści w Serwisie (a w usługach wymagających rejestracji – także e-mailowo, o ile to zasadne).
- Dalsze korzystanie z Serwisu po wejściu w życie zmian oznacza ich akceptację.
§ 14. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekielul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl
nr konta: 48 1090 2112 0000 0001 5627 0937 (Santander Bank Polska S.A.) ↑ Wróć na górę
§ 15. Postanowienia końcowe
- Do umów o świadczenie usług elektronicznych stosuje się prawo polskie. W sprawach nieuregulowanych zastosowanie mają przepisy powszechnie obowiązujące.
- Treść Regulaminu można pobrać, zapisać lub wydrukować ze Strony.
§ 16. Integracja z usługami Google
- Serwis umożliwia opcjonalne połączenie konta Użytkownika z kontem Google poprzez protokół OAuth 2.0. Połączenie jest dobrowolne i może być w każdej chwili cofnięte.
- W ramach integracji Serwis może uzyskać dostęp do następujących usług Google, wyłącznie po wyrażeniu zgody przez Użytkownika:
- Google Drive — przeglądanie i wstawianie plików z Dysku Google na tablicę interaktywną;
- Google Calendar — synchronizacja harmonogramu zajęć z kalendarzem Google Użytkownika;
- Google People API — pobranie podstawowych danych profilu (imię, e-mail, zdjęcie) w celu identyfikacji konta.
- Serwis przechowuje tokeny OAuth wyłącznie na serwerze w zaszyfrowanej bazie danych i nie udostępnia ich osobom trzecim. Dane pobierane z konta Google są wykorzystywane wyłącznie w zakresie opisanym w ust. 2.
- Użytkownik może cofnąć dostęp Serwisu do konta Google w dowolnym momencie poprzez panel Serwisu (zakładka „Integracje") lub bezpośrednio w ustawieniach konta Google pod adresem myaccount.google.com/permissions.
- Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy. Szczegółowe zasady przetwarzania danych Google określa § 15 Polityki Prywatności.
Załącznik nr 1 – Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA)
1. Przedmiot: Użytkownik powierza AMKBIT Grzegorz Klekiel przetwarzanie danych osobowych uczniów w celu realizacji usługi dostępu do platformy LekcjeRazem.pl.
2. Zakres: Dane identyfikacyjne uczniów (imię, nazwisko, e-mail) oraz informacje o ich postępach wprowadzane przez Nauczyciela.
3. Obowiązki: AMKBIT Grzegorz Klekiel zobowiązuje się do przetwarzania danych wyłącznie na polecenie Użytkownika (poprzez działanie systemu), zapewnienia poufności i stosowania zabezpieczeń technicznych (szyfrowanie SSL, kopie zapasowe).
4. Podpowierzenie: Użytkownik wyraża zgodę na korzystanie z usług zaufanych podwykonawców (hosting, system mailowy) gwarantujących standard RODO.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Koło i okrąg
Okrąg a koło
Okrąg to linia — zbiór punktów odległych od środka o promień $r$. Koło to okrąg wraz z całym wnętrzem.
Podstawowe wzory
$$l=2\pi r=\pi d,\qquad P=\pi r^2$$
gdzie $d=2r$ to średnica, a $\pi\approx3{,}14$ jest stosunkiem obwodu do średnicy — identycznym dla każdego okręgu.
Łuk i wycinek
Dla kąta środkowego $\alpha$ bierzemy odpowiednią część pełnego okręgu:
$$l_{\text{łuku}}=2\pi r\cdot\frac{\alpha}{360^\circ},\qquad P_{\text{wycinka}}=\pi r^2\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}$$
Symetrie
Koło ma nieskończenie wiele osi symetrii (każda prosta przez środek) oraz środek symetrii. Symetralna odcinka to prosta prostopadła przechodząca przez jego środek — jej punkty są równo oddalone od końców odcinka. Dwusieczna kąta dzieli kąt na połowy, a jej punkty są równo oddalone od ramion.
Najczęstszy błąd
W polu do kwadratu podnosimy promień, nie średnicę. Mając $d=10$, najpierw policz $r=5$, dopiero potem $P=\pi r^2$ — inaczej wynik będzie czterokrotnie za duży. Nie myl też łuku (długość, cm) z wycinkiem (pole, cm²).
Podstawowe figury geometryczne — definicje
- Punkt — element bez wymiarów, określa położenie
- Prosta — nieskończona linia, przez 2 punkty przechodzi dokładnie 1 prosta
- Odcinek — część prostej między dwoma punktami (ma długość)
- Kąt — część płaszczyzny między dwoma półprostymi o wspólnym początku (wierzchołku)
- Wielokąt — figura ograniczona odcinkami (bokami), np. trójkąt, czworokąt
- Ostry: $0° < \alpha < 90°$
- Prosty: $\alpha = 90°$
- Rozwarty: $90° < \alpha < 180°$
- Pełny: $\alpha = 360°$
- Suma kątów trójkąta: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$
- Trójkąt prostokątny: jeden kąt = 90°
- Równoboczny: wszystkie boki równe, kąty po 60°
- Równoramienny: dwa boki równe, dwa kąty przy podstawie równe
- $\alpha + \beta + \gamma = 180°$
- $\gamma = 180° - 50° - 70° = 60°$
Przekształcenia geometryczne — przesunięcie i obrót
- Przesunięcie (translacja): każdy punkt przesuwa się o ten sam wektor $\vec{v} = [p, q]$. Wzór: $P(x,y) \to P'(x+p, y+q)$.
- Obrót: każdy punkt obraca się o kąt $\varphi$ wokół środka $S$. Dla środka $(0,0)$: $x'=x\cos\varphi - y\sin\varphi$, $y'=x\sin\varphi + y\cos\varphi$.
- Odbicie (symetria osiowa): omówione wcześniej.
- $A'(1+2, 1-1) = A'(3, 0)$
- $B'(3+2, 1-1) = B'(5, 0)$
- $C'(2+2, 3-1) = C'(4, 2)$
Koło i okrąg — definicje
- Okrąg — zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych o dokładnie $r$ od środka $O$. To sam obwód (linia).
- Koło — okrąg wraz z wnętrzem (powierzchnia)
- Promień $r$ — odcinek od środka do okręgu
- Średnica $d = 2r$ — cięciwa przez środek
- Cięciwa — odcinek łączący dwa punkty okręgu
- Długość okręgu: $L = 2\pi r = \pi d$
- Pole koła: $P = \pi r^2$
- Łuk: $l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$
- Wycinek: $P_w = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$
- $L = 2\pi \cdot 7 = 14\pi \approx 43{,}98$ cm
- $P = \pi \cdot 49 = 49\pi \approx 153{,}94$ cm²
Prawdopodobieństwo i reguła mnożenia
Doświadczenie losowe
To doświadczenie, którego wyniku nie da się przewidzieć, np. rzut kostką. Zbiór wszystkich możliwych wyników oznaczamy $\Omega$, a interesujące nas wyniki tworzą zdarzenie $A$.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Gdy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe:
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$$
Wynik zawsze mieści się w przedziale od $0$ (zdarzenie niemożliwe) do $1$ (zdarzenie pewne).
Przykład: rzut kostką, zdarzenie „liczba parzysta”: $P=\frac{3}{6}=\frac12$.
Reguła mnożenia
Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych kroków, liczby możliwości mnożymy:
$$n=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Przykład: $3$ koszulki i $4$ spodnie dają $12$ zestawów.
Gdy elementy się nie powtarzają
Liczba możliwości maleje z każdym krokiem. Ustawienie $4$ osób w rzędzie to $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ sposoby, a nie $4^4$.
Na co uważać
Wzór klasyczny wymaga, by wyniki były równie prawdopodobne. Przy sumie oczek z dwóch kostek $|\Omega|=36$ (wszystkie pary), a nie $11$ (możliwe sumy) — bo suma $7$ wypada częściej niż $2$.
Prostopadłość i równoległość
- Proste równoległe — nie przecinają się (są w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktu wspólnego). Symbol: $a \parallel b$
- Proste prostopadłe — przecinają się pod kątem prostym (90°). Symbol: $a \perp b$
- Jeśli dwie proste są prostopadłe do tej samej prostej — są do siebie równoległe
- Kąty przy przecięciu równoległych przez prostą poprzeczną: naprzemianległe są równe, odpowiadające sobie są równe
- Prostokąt: cztery kąty proste, boki przeciwległe równoległe
- Kąty przy jednej prostej: 65° i 115° (uzupełniają się do 180°)
- Kąty naprzemianległe: 65° po obu stronach
- Kąty odpowiadające: 65° po tej samej stronie
Działania na liczbach naturalnych
Kolejność wykonywania działań
- Działania w nawiasach (od najbardziej wewnętrznego)
- Potęgowanie
- Mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej
- Dodawanie i odejmowanie — od lewej do prawej
Przykład: $2+3\cdot4^2=2+3\cdot16=2+48=50$.
Dzielenie z resztą
$$a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r gdzie $a$ — dzielna, $b$ — dzielnik, $q$ — iloraz, $r$ — reszta. Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika. Przykład: $47:5=9$ r. $2$, bo $47=5\cdot9+2$. O zaokrągleniu decyduje pierwsza cyfra odrzucana. Jeśli jest mniejsza niż $5$ — zaokrąglamy w dół, jeśli $5$ lub więcej — w górę. Przykład: $3\,748$ do setek → cyfra dziesiątek to $4$, więc $3\,700$. $I=1$, $V=5$, $X=10$, $L=50$, $C=100$, $D=500$, $M=1000$. Znak mniejszy przed większym oznacza odejmowanie: $IV=4$, $IX=9$, $XL=40$. Mnożenie i dzielenie mają równy priorytet — liczymy je po kolei od lewej: $24:4\cdot2=6\cdot2=12$, a nie $24:8=3$. Podobnie dodawanie i odejmowanie.Zaokrąglanie
Liczby rzymskie
Na co uważać
Kąty i podstawowe figury płaskie
Rodzaje kątów
$$\text{ostry}<90^\circ,\quad \text{prosty}=90^\circ,\quad 90^\circ<\text{rozwarty}<180^\circ$$
$$\text{półpełny}=180^\circ,\qquad \text{pełny}=360^\circ$$
Kąt prosty nie jest ani ostry, ani rozwarty — to granica między nimi.
Trójkąty
Ze względu na boki: równoboczny, równoramienny, różnoboczny. Ze względu na kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny.
Suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi $180^\circ$.
Prostokąt i kwadrat
$$P_{\square}=a\cdot b,\qquad Ob_{\square}=2(a+b)$$
$$P_{kw}=a^2,\qquad Ob_{kw}=4a$$
Kwadrat ma $4$ osie symetrii, prostokąt (niebędący kwadratem) — $2$.
Jednostki pola
$$1\ \text{m}^2=10\,000\ \text{cm}^2,\qquad 1\ \text{cm}^2=100\ \text{mm}^2$$
Przy zamianie jednostek pola przelicznik podnosimy do kwadratu.
Na co uważać
Przed obliczeniem pola sprowadź wszystkie boki do tej samej jednostki. Pole podajemy w jednostkach kwadratowych, obwód w zwykłych.
Podzielność liczb, NWD i NWW
Cechy podzielności
- przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
- przez 3 — suma cyfr dzieli się przez $3$
- przez 4 — liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez $4$
- przez 5 — ostatnia cyfra to $0$ lub $5$
- przez 9 — suma cyfr dzieli się przez $9$
- przez 10 — ostatnia cyfra to $0$
Podzielność przez $6$ to podzielność przez $2$ i przez $3$ jednocześnie.
Liczby pierwsze i złożone
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona.
Pierwsze liczby pierwsze: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$.
NWD i NWW
Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze, a następnie:
$$\mathrm{NWD}\ \text{— iloczyn wspólnych czynników w } \textbf{najniższych}\ \text{potęgach}$$
$$\mathrm{NWW}\ \text{— iloczyn wszystkich czynników w } \textbf{najwyższych}\ \text{potęgach}$$
Przykład: $24=2^3\cdot3$, $36=2^2\cdot3^2$, więc $\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$, $\mathrm{NWW}=2^3\cdot3^2=72$.
Zawsze zachodzi: $\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$.
Zastosowania
NWD służy do skracania ułamków, NWW — do sprowadzania do wspólnego mianownika.
Na co uważać
Do NWD wchodzą tylko czynniki wspólne. Dla $8=2^3$ i $9=3^2$ nie ma wspólnych czynników, więc $\mathrm{NWD}=1$ — liczby są względnie pierwsze.
Pola figur płaskich
Zestawienie wzorów
$$P_{\text{prostokąt}}=a\cdot b,\qquad P_{\text{kwadrat}}=a^2$$
$$P_{\text{równoległobok}}=a\cdot h,\qquad P_{\text{trójkąt}}=\frac{1}{2}a\cdot h$$
$$P_{\text{trapez}}=\frac{a+b}{2}\cdot h,\qquad P_{\text{romb}}=\frac{e\cdot f}{2}$$
Oznaczenia
- $a$, $b$ — boki (w trapezie: podstawy równoległe)
- $h$ — wysokość, czyli odcinek prostopadły do podstawy
- $e$, $f$ — przekątne rombu
Kluczowa zasada
Wysokość musi odpowiadać tej samej podstawie, którą wybraliśmy. W jednym trójkącie są trzy pary podstawa–wysokość i każda daje ten sam wynik pola.
Przykłady
Trójkąt o podstawie $8$ i wysokości $5$: $P=\frac12\cdot8\cdot5=20$.
Trapez o podstawach $10$ i $6$ oraz wysokości $4$: $P=\frac{16}{2}\cdot4=32$.
Romb o przekątnych $6$ i $8$: $P=\frac{48}{2}=24$.
Na co uważać
W równoległoboku $h$ to wysokość, a nie długość drugiego boku. W trójkącie rozwartokątnym wysokość może padać poza trójkąt — to nadal poprawna wysokość, opuszczamy ją wtedy na przedłużenie boku.
Równania z jedną niewiadomą
Przekształcenia równoważne
Równanie nie zmienia zbioru rozwiązań, gdy do obu stron dodamy (lub od obu odejmiemy) tę samą liczbę albo pomnożymy (podzielimy) obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.
Schemat rozwiązywania
- Usuwamy nawiasy
- Przenosimy niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą (zmieniając znak)
- Redukujemy wyrazy podobne
- Dzielimy przez współczynnik przy niewiadomej
- Sprawdzamy wynik przez podstawienie
Przykład: $2(x-3)=x+5 \Rightarrow 2x-6=x+5 \Rightarrow x=11$. Sprawdzenie: $2\cdot8=16$ i $11+5=16$. ✔
Trzy możliwe wyniki
- Jedno rozwiązanie — np. $3x=15$, czyli $x=5$
- Równanie sprzeczne — np. $2x+3=2x+5$ prowadzi do $3=5$; brak rozwiązań
- Równanie tożsamościowe — np. $2x+4=2(x+2)$; spełnia je każda liczba
Przekształcanie wzorów
Ten sam mechanizm stosujemy do wzorów. Z $P=a\cdot b$ otrzymujemy $b=\frac{P}{a}$ (przy $a\ne0$).
Na co uważać
Przenosząc wyraz na drugą stronę, zmieniamy jego znak. Mnożąc równanie przez nawias, mnóż każdy składnik: $3(2x-5)=6x-15$, a nie $6x-5$.
Kąty, przystawanie i wielokąty
Kąty przy przecinających się prostych
Przyległe — mają wspólne ramię i dopełniają się do $180^\circ$.
Wierzchołkowe — leżą naprzeciw siebie i są równe.
Kąty przy prostych równoległych
Gdy dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, kąty odpowiadające oraz naprzemianległe są równe, a kąty jednostronne dopełniają się do $180^\circ$.
Nierówność trójkąta
$$|b-c| Trójkąt istnieje, gdy każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Wystarczy sprawdzić warunek dla najdłuższego boku. Trójkąty przystające mają identyczny kształt i rozmiar. Cechy przystawania: Uwaga: trzy równe kąty (kkk) dają jedynie podobieństwo, nie przystawanie. $$\text{suma kątów}=(n-2)\cdot180^\circ$$ W wielokącie foremnym (wszystkie boki i kąty równe) jeden kąt wynosi: $$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$$ Przykład: sześciokąt foremny ma kąt $\frac{720^\circ}{6}=120^\circ$. Dzielenie sumy kątów przez $n$ wolno stosować tylko dla wielokąta foremnego. Równość kątów odpowiadających wymaga, by proste rzeczywiście były równoległe — musi to wynikać z treści zadania, a nie z wyglądu rysunku.Przystawanie trójkątów
Wielokąty
Na co uważać
Ułamki zwykłe i dziesiętne
Budowa ułamka
W ułamku $\frac{a}{b}$ liczba $a$ to licznik (ile części bierzemy), a $b$ to mianownik (na ile części podzielono całość). Mianownik nigdy nie może być zerem.
Rodzaje ułamków
- Właściwy — licznik mniejszy od mianownika, np. $\frac38$ (wartość mniejsza od $1$)
- Niewłaściwy — licznik większy lub równy mianownikowi, np. $\frac74$
- Liczba mieszana — całość i ułamek, np. $2\frac35$
Zamiana liczby mieszanej na ułamek
$$a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$$
Przykład: $2\frac35=\frac{2\cdot5+3}{5}=\frac{13}{5}$.
Skracanie i rozszerzanie
Dzieląc lub mnożąc licznik i mianownik przez tę samą liczbę, otrzymujemy ułamek równy wyjściowemu:
$$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3},\qquad \frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12}$$
Ułamek jest nieskracalny, gdy $\mathrm{NWD}$ licznika i mianownika wynosi $1$.
Porównywanie
Ułamki o różnych mianownikach sprowadzamy do wspólnego mianownika i porównujemy liczniki. Przykład: $\frac34=\frac68$, a $\frac68>\frac58$.
Ułamki dziesiętne
Mianownik $10$, $100$, $1000$ zapisujemy przecinkiem:
$$\frac{3}{10}=0{,}3,\qquad \frac{25}{100}=0{,}25=\frac14$$
Na co uważać
Skracać wolno tylko przez wspólny dzielnik licznika i mianownika — nie wolno skreślać pojedynczych cyfr. W $\frac{16}{64}$ przypadkowe skreślenie szóstek daje poprawny wynik $\frac14$, ale to zbieg okoliczności, a nie metoda.
Działania na ułamkach zwykłych
Dodawanie i odejmowanie
Przy jednakowych mianownikach działamy tylko na licznikach:
$$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$$
Przy różnych mianownikach najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika (najwygodniej do $\mathrm{NWW}$):
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$
Mnożenie
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$
Warto skracać przed mnożeniem — rachunki są prostsze.
Dzielenie
Mnożymy przez odwrotność dzielnika:
$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$
Przykład: $\frac34:\frac25=\frac34\cdot\frac52=\frac{15}{8}=1\frac78$.
Potęgowanie
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
Ułamek liczby
Zwrot „$\frac25$ z $45$” oznacza mnożenie: $\frac25\cdot45=18$.
Na co uważać
Przy dodawaniu nie sumujemy mianowników — $\frac12+\frac13\ne\frac25$. Liczby mieszane przed mnożeniem i dzieleniem zamieniamy na ułamki niewłaściwe. W wyrażeniach z kilkoma działaniami obowiązuje zwykła kolejność: najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie.
Liczby całkowite
Czym są liczby całkowite
To liczby naturalne, ich liczby przeciwne oraz zero:
$$\ldots,-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots$$
Na osi liczbowej im dalej w prawo, tym liczba większa. Każda liczba ujemna jest mniejsza od zera.
Dodawanie i odejmowanie
Dodawanie liczby dodatniej przesuwa nas w prawo, ujemnej — w lewo:
$$-8+12=4,\qquad -5-3=-8$$
Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej:
$$7-(-3)=7+3=10$$
Mnożenie i dzielenie — reguła znaków
$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$
Przykłady: $-4\cdot(-6)=24$; $-20:4=-5$.
Potęgowanie liczb ujemnych
Potęga o wykładniku parzystym daje wynik dodatni, o nieparzystym — ujemny:
$$(-2)^2=4,\qquad (-2)^3=-8$$
Wartość bezwzględna
$|a|$ to odległość liczby od zera, zawsze nieujemna: $|-7|=7$, $|7|=7$.
Na co uważać
Rozróżniaj $-2^2$ i $(-2)^2$. W pierwszym przypadku potęgujemy tylko dwójkę, a minus zostaje: $-2^2=-4$. W drugim potęgujemy całą liczbę ujemną: $(-2)^2=4$.
Graniastosłupy — siatki, pole i objętość
Budowa graniastosłupa
Graniastosłup prosty ma dwie identyczne, równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami. Nazwa pochodzi od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.
Liczba elementów
Dla podstawy o $n$ bokach: ścian $n+2$, krawędzi $3n$, wierzchołków $2n$. Prostopadłościan ($n=4$): $6$ ścian, $12$ krawędzi, $8$ wierzchołków.
Objętość
$$V=P_p\cdot H$$
Szczególne przypadki:
$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c,\qquad V_{\text{sześcian}}=a^3$$
Pole powierzchni
$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=Ob_p\cdot H$$
Dla sześcianu: $P_c=6a^2$.
Siatka bryły
To rozłożona na płaszczyźnie powierzchnia bryły. Siatka sześcianu składa się z sześciu jednakowych kwadratów; siatka graniastosłupa — z dwóch podstaw i prostokąta o długości równej obwodowi podstawy.
Jednostki objętości
$$1\ \text{l}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1000\ \text{dm}^3$$
Na co uważać
Nie myl objętości z polem powierzchni — dla sześcianu o krawędzi $4$ objętość wynosi $64$, a pole $96$. Przy zamianie jednostek objętości przelicznik podnosimy do trzeciej potęgi: $1\ \text{dm}=10\ \text{cm}$, ale $1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$.
Budowanie wyrażeń algebraicznych i proste równania
Wyrażenie algebraiczne
To zapis, w którym obok liczb występują litery oznaczające liczby nieznane. Litera zastępuje wartość, której jeszcze nie znamy albo która może się zmieniać.
Zapisywanie treści symbolami
- liczba $x$ powiększona o $5$ → $x+5$
- liczba $x$ dwa razy większa → $2x$
- liczba $x$ powiększona o $5$ i pomnożona przez $2$ → $2(x+5)$
- o $3$ mniej niż $x$ → $x-3$
Nawias jest istotny — $2(x+5)$ i $2x+5$ to różne wyrażenia.
Wartość liczbowa wyrażenia
Podstawiamy liczby w miejsce liter. Dla $a=2$, $b=5$: $3a+2b=6+10=16$.
Upraszczanie
Łączymy wyrazy z tą samą literą:
$$4x+3-2x+5=2x+8$$
Równanie
To równość dwóch wyrażeń z niewiadomą. Rozwiązać równanie to znaleźć wartość niewiadomej, dla której równość jest prawdziwa.
Wolno: dodać lub odjąć tę samą liczbę do obu stron, pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.
$$3x-5=16 \;\Rightarrow\; 3x=21 \;\Rightarrow\; x=7$$
Na co uważać
Zawsze sprawdzaj wynik przez podstawienie do pierwotnego równania — to wychwytuje błędy rachunkowe. Przenosząc wyraz na drugą stronę, pamiętaj o zmianie znaku.
Kąty w trójkącie i czworokącie
Suma kątów
$$\text{trójkąt: }180^\circ,\qquad \text{czworokąt: }360^\circ$$
Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty — stąd podwojona suma.
Rodzaje trójkątów
Ze względu na boki: równoboczny (wszystkie kąty po $60^\circ$), równoramienny (kąty przy podstawie równe), różnoboczny. Ze względu na kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny.
W trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do $90^\circ$.
Czworokąty
- Kwadrat — wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste
- Prostokąt — kąty proste, boki równe parami
- Romb — wszystkie boki równe, kąty niekoniecznie proste
- Równoległobok — boki przeciwległe równoległe i równe
- Trapez — co najmniej jedna para boków równoległych
Koło i okrąg
$$l=2\pi r,\qquad P=\pi r^2$$
Okrąg to linia, koło — okrąg wraz z wnętrzem.
Skala
Skala $1:100$ oznacza, że $1$ cm na planie to $100$ cm w rzeczywistości. Odcinek $3$ cm odpowiada więc $300$ cm, czyli $3$ m.
Na co uważać
Kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem — to nie są rozłączne kategorie. Przy skali zawsze sprawdź, czy pytanie dotyczy planu, czy rzeczywistości, i pilnuj jednostek.
Prędkość, droga, czas
Podstawowa zależność
$$s=v\cdot t,\qquad v=\frac{s}{t},\qquad t=\frac{s}{v}$$
gdzie $s$ — droga, $v$ — prędkość, $t$ — czas. Znając dwie wielkości, zawsze wyznaczymy trzecią.
Jednostki
$$1\ \frac{\text{km}}{\text{h}}=\frac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}}$$
Zamiana: z km/h na m/s dzielimy przez $3{,}6$, w drugą stronę mnożymy.
Przykład: $36\ \text{km/h}=10\ \text{m/s}$.
Czas w postaci dziesiętnej
Przed obliczeniami minuty zamieniamy na ułamek godziny:
$$30\ \text{min}=0{,}5\ \text{h},\qquad 15\ \text{min}=0{,}25\ \text{h},\qquad 2\ \text{h }30\ \text{min}=2{,}5\ \text{h}$$
Prędkość średnia
To całkowita droga podzielona przez całkowity czas — nie średnia arytmetyczna prędkości na poszczególnych odcinkach.
Zależności
Przy stałej drodze prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne: dwukrotny wzrost prędkości skraca czas o połowę.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to mieszanie jednostek — prędkość w km/h przy czasie podanym w minutach. Zawsze najpierw sprowadź wszystko do zgodnych jednostek, a dopiero potem podstawiaj do wzoru.
Proporcje i proporcjonalność
Proporcja
To równość dwóch ilorazów:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$
Podstawowa własność — iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi środkowych:
$$a\cdot d=b\cdot c$$
Przykład: z $\frac{x}{6}=\frac{10}{4}$ otrzymujemy $4x=60$, więc $x=15$.
Proporcjonalność prosta
$$y=ax,\qquad \frac{y}{x}=a\ (\text{stałe})$$
Obie wielkości rosną w tym samym tempie. Dwa razy więcej towaru to dwa razy większa zapłata.
Proporcjonalność odwrotna
$$y=\frac{a}{x},\qquad x\cdot y=a\ (\text{stałe})$$
Gdy jedna wielkość rośnie, druga maleje. Przykład: dwa razy więcej robotników to dwa razy krótszy czas pracy.
Podział proporcjonalny
Aby podzielić $600$ zł w stosunku $2:3$: sumujemy części ($2+3=5$), wyznaczamy jedną część ($600:5=120$) i mnożymy ($2\cdot120=240$ oraz $3\cdot120=360$).
Skala mapy
Skala $1:50\,000$ oznacza, że $1$ cm na mapie to $50\,000$ cm w terenie, czyli $500$ m. Odcinek $4$ cm odpowiada więc $2$ km.
Na co uważać
Przed użyciem proporcji ustal typ zależności. Test: podwój jedną wielkość — jeśli druga też się podwaja, to proporcjonalność prosta; jeśli maleje o połowę — odwrotna. Zależność z opłatą stałą (np. $y=4x+10$) nie jest proporcjonalnością.
Statystyka — odczyt danych i średnia
Średnia arytmetyczna
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$$
Sumujemy wszystkie dane i dzielimy przez ich liczbę. Każde wystąpienie liczy się osobno — dla ocen $5,5,5,2$ mamy $n=4$, więc $\bar{x}=\frac{17}{4}=4{,}25$.
Zależność odwrotna
$$\text{suma}=\bar{x}\cdot n$$
Jeśli średnia trzech liczb wynosi $10$, ich suma to $30$. To bardzo częsty krok w zadaniach.
Diagramy
Słupkowy — porównywanie wielkości. Kołowy — udział części w całości; pełne koło to $360^\circ$, więc:
$$\text{procent}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot100\%$$
Wycinek o kącie $90^\circ$ odpowiada $25\%$ całości.
Jak zmienia się średnia
Dołożenie liczby większej od dotychczasowej średniej podnosi ją, mniejszej — obniża. Liczba równa średniej nic nie zmienia.
Doświadczenia losowe
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad 0\le P(A)\le 1$$
Zdarzenie niemożliwe ma $P=0$ (np. wyrzucenie $7$ na kostce), pewne $P=1$.
Na co uważać
Średnia bywa myląca przy wartościach skrajnych — jedna bardzo duża liczba potrafi ją znacząco zawyżyć. Przy odczycie z diagramu zawsze sprawdź, czy oś zaczyna się od zera; przesunięta skala wyolbrzymia różnice.
Działania pisemne i liczby rzymskie
Mnożenie pisemne
Mnożymy od prawej strony, cyfra po cyfrze, przenosząc nadmiar do następnej kolumny.
Przykład: $234\cdot6$
- $4\cdot6=24$ — piszemy $4$, przenosimy $2$
- $3\cdot6=18$, plus przeniesione $2$ daje $20$ — piszemy $0$, przenosimy $2$
- $2\cdot6=12$, plus przeniesione $2$ daje $14$ — piszemy $14$
$$234\cdot6=1404$$
Dzielenie pisemne
Dzielimy od lewej strony, zabierając kolejne cyfry dzielnej.
Przykład: $852:4$
- $8:4=2$ — zapisujemy $2$
- $5:4=1$ reszty $1$ — zapisujemy $1$, resztę dopisujemy do następnej cyfry
- $12:4=3$ — zapisujemy $3$
$$852:4=213$$
Wynik zawsze warto sprawdzić mnożeniem: $213\cdot4=852$.
Znaki rzymskie
Siedem podstawowych znaków:
$$I=1,\quad V=5,\quad X=10,\quad L=50,\quad C=100,\quad D=500,\quad M=1000$$
Zasady zapisu rzymskiego
- Znaki ustawione od największego dodajemy: $XVI=10+5+1=16$
- Mniejszy znak przed większym oznacza odejmowanie: $IV=5-1=4$, $XL=50-10=40$, $CM=1000-100=900$
- Tego samego znaku nie powtarzamy więcej niż trzy razy — dlatego piszemy $IV$, a nie $IIII$
- Odejmować wolno tylko znakami $I$, $X$ i $C$
Przykład: $MMXXVI=1000+1000+10+10+5+1=2026$.
Na co uważać
Przy mnożeniu pisemnym najczęstszym błędem jest zgubienie przeniesienia — warto zapisywać je drobną cyfrą nad kolumną. Przy zapisie rzymskim uważaj na kolejność: $XL$ to $40$, ale $LX$ to już $60$.
Proste, kąty i rodzaje trójkątów
Wzajemne położenie prostych
- Prostopadłe ($k\perp l$) — przecinają się pod kątem $90^\circ$
- Równoległe ($k\parallel l$) — nie mają punktu wspólnego, odległość między nimi jest stała
- Przecinające się — mają dokładnie jeden punkt wspólny
Rodzaje kątów
- Ostry — mniejszy niż $90^\circ$
- Prosty — dokładnie $90^\circ$
- Rozwarty — większy niż $90^\circ$, ale mniejszy niż $180^\circ$
- Półpełny — dokładnie $180^\circ$
- Pełny — dokładnie $360^\circ$
Suma kątów w trójkącie
W każdym trójkącie zachodzi:
$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$
Dlatego znając dwa kąty, trzeci zawsze obliczymy odejmowaniem. Przykład: gdy $\alpha=50^\circ$ i $\beta=60^\circ$, to $\gamma=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$.
Podział trójkątów ze względu na boki
- Równoboczny — trzy równe boki, każdy kąt ma $60^\circ$
- Równoramienny — dwa równe boki (ramiona), kąty przy podstawie są równe
- Różnoboczny — wszystkie boki różnej długości
Podział trójkątów ze względu na kąty
- Ostrokątny — wszystkie kąty ostre
- Prostokątny — jeden kąt prosty
- Rozwartokątny — jeden kąt rozwarty
Trójkąt może mieć najwyżej jeden kąt prosty lub rozwarty — dwa takie kąty przekroczyłyby już sumę $180^\circ$.
Na co uważać
W trójkącie równoramiennym równe są kąty przy podstawie, a nie dowolne dwa. Jeśli kąt między ramionami ma $40^\circ$, to na dwa pozostałe zostaje $140^\circ$, czyli po $70^\circ$ każdy.
Skala, plan i mapa
Co oznacza skala
Skala mówi, ile razy rysunek różni się od rzeczywistości. Zapis $1:n$ czytamy tak: jedna jednostka na rysunku odpowiada $n$ jednostkom w rzeczywistości.
- Pomniejszenie — np. $1:100\,000$ (mapy, plany budynków)
- Powiększenie — np. $2:1$ (rysunki drobnych części)
- Wielkość naturalna — $1:1$
Dwa kierunki przeliczania
$$\text{rzeczywistość}=\text{rysunek}\cdot n,\qquad \text{rysunek}=\frac{\text{rzeczywistość}}{n}$$
Przykład — z mapy w teren
Na mapie $1:100\,000$ odcinek ma $3$ cm. Ile to w rzeczywistości?
$$3\cdot100\,000=300\,000\ \text{cm}=3000\ \text{m}=3\ \text{km}$$
Przykład — z terenu na plan
Odległość $8$ km na mapie $1:200\,000$:
$$8\ \text{km}=800\,000\ \text{cm},\qquad 800\,000:200\,000=4\ \text{cm}$$
Zamiana jednostek długości
$$1\ \text{m}=100\ \text{cm},\qquad 1\ \text{km}=1000\ \text{m}=100\,000\ \text{cm}$$
Na co uważać
Najczęstszy błąd to pominięcie zamiany jednostek. Skala nie ma jednostki — jeśli mnożysz centymetry, wynik też jest w centymetrach i dopiero potem zamieniasz go na metry lub kilometry. Druga pułapka: im większa druga liczba skali, tym mniejszy rysunek — mapa $1:100\,000$ pomniejsza bardziej niż $1:1000$.
Strona 10 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.