Polityka prywatności
§ 1. Postanowienia ogólne i rola DPA
Polityka opisuje zasady przetwarzania danych osobowych w serwisie LekcjeRazem.pl.
Należy rozróżnić dwie sytuacje przetwarzania danych:
- Dane Użytkownika (Ciebie): Gdy zakładasz konto lub korzystasz z Serwisu, my jesteśmy Administratorem Twoich danych. Zasady te opisuje niniejsza Polityka Prywatności.
- Dane uczniów (wprowadzane przez Ciebie): Jeśli jesteś Nauczycielem i wprowadzasz dane osób trzecich (uczniów), działasz jako ich Administrator. My przetwarzamy te dane wyłącznie w Twoim imieniu. Zasady tego powierzenia reguluje Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA), stanowiąca integralną część Regulaminu.
Przetwarzamy dane zgodnie z RODO oraz właściwymi przepisami prawa krajowego.
↑ Wróć na górę§ 2. Administrator danych i kontakt
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów.
Kontakt w sprawach prywatności: tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
W sprawach ochrony danych możesz kontaktować się ww. kanałami. Odpowiemy bez zbędnej zwłoki.
↑ Wróć na górę§ 3. Zakres przetwarzanych danych
- Dane konta (jeśli zakładasz Konto): imię, nazwisko (lub nick), adres e-mail, hasło (zahashowane), opcjonalnie telefon/awatar.
- Dane powierzone (uczniów): przetwarzane wyłącznie w celu realizacji usługi zgodnie z DPA zawartym w Regulaminie (nie są wykorzystywane do celów własnych Administratora).
- Dane sesji tablicy: ID pokoju/sesji, rola (właściciel/uczestnik), pseudonim, czas rozpoczęcia i zakończenia, zaproszenia, ustawienia.
- Treści tworzone na tablicy: pociągnięcia pióra, kształty, wklejone obrazy/plik(i), adnotacje, załączniki, historia zmian; czat tekstowy związany z sesją.
- Audio/Wideo (jeśli używasz): strumienie z kamery/mikrofonu przesyłane w czasie rzeczywistym (WebRTC). Nie utrwalamy ich, chyba że wyraźnie włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę lub wymaga tego funkcja.
- Dane techniczne i logi: adres IP, znacznik czasu, identyfikatory sesji/urządzenia, typ i wersja przeglądarki, system operacyjny, ustawienia języka, parametry wydajnościowe, zdarzenia błędów.
- Kontakt i wsparcie: treść zapytań, e-maile, zrzuty ekranu przesłane do pomocy technicznej.
- Rozliczenia (wyłącznie gdy korzystasz z płatnych funkcji): dane płatności przekazywane operatorowi płatności, identyfikatory transakcji, faktury (zakres zgodny z przepisami podatkowymi).
§ 4. Cele i podstawy prawne
- Świadczenie usług serwisu i tablicy (utworzenie/obsługa konta, prowadzenie sesji, udostępnienie funkcji, wsparcie) — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Bezpieczeństwo i nadużycia (zapewnienie integralności usług, wykrywanie nieprawidłowości, ochrona przed spamem i atakami) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Analityka i rozwój (statystyki użycia, poprawa wydajności i UX, diagnostyka błędów) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Komunikacja (odpowiedzi na zgłoszenia, powiadomienia o zmianach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Rozliczenia i księgowość (gdy używasz funkcji płatnych) — art. 6 ust. 1 lit. c RODO.
- Marketing własny (np. informacje o nowych funkcjach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO; gdy wymagane, na podstawie art. 6 ust. 1 lit. a RODO (zgoda).
- Zgody (np. na nagrywanie sesji A/V, cookies marketingowe) — art. 6 ust. 1 lit. a RODO; zgoda może być cofnięta w każdym czasie.
- Roszczenia i obrona praw — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
§ 5. Cookies i podobne technologie
- Niezbędne — działanie i bezpieczeństwo serwisu (sesja, autoryzacja, preferencje). Bez nich korzystanie z kluczowych funkcji może być niemożliwe.
- Funkcjonalne — zapamiętywanie ustawień (np. kamera/mikrofon, układ tablicy).
- Statystyczne/wydajnościowe — anonimowe metryki użycia i diagnostyka.
- Marketingowe/personalizacyjne — wyłącznie za Twoją zgodą.
Możesz zarządzać zgodami w banerze cookies i ustawieniach przeglądarki. Szczegóły zawiera Polityka cookies.
↑ Wróć na górę§ 6. Odbiorcy danych i transfery
Możemy powierzać dane podmiotom przetwarzającym je w naszym imieniu: dostawcom hostingu i chmury, usług czasu rzeczywistego (np. infrastruktura WebRTC, STUN/TURN), systemom analitycznym, wsparciu IT, dostawcom komunikacji e-mail/push, operatorom płatności (dla funkcji płatnych). Takie podmioty przetwarzają dane na podstawie umów powierzenia i zgodnie z naszymi instrukcjami.
W przypadku przekazywania danych poza EOG stosujemy odpowiednie zabezpieczenia, takie jak standardowe klauzule umowne (SCC). Informacje o stosowanych zabezpieczeniach udostępnimy na żądanie.
↑ Wróć na górę§ 7. Okres przechowywania danych
- Konto i podstawowe dane: przez czas trwania umowy (posiadania konta) — do usunięcia konta lub skutecznego sprzeciwu, jeśli ma zastosowanie.
- Treści z tablicy i czat: przez czas utrzymania pokoju/sesji przez jego właściciela lub do ręcznego usunięcia; kopie zapasowe — przez okres niezbędny do zapewnienia ciągłości działania.
- Logi techniczne i bezpieczeństwa: przez okres niezbędny do bezpieczeństwa i dochodzenia roszczeń, zgodnie z uzasadnionym interesem.
- Rozliczenia/księgowość: przez czas wymagany przepisami prawa.
§ 8. Prawa osób, których dane dotyczą
- Dostęp do danych i uzyskanie kopii, w tym informacji o przetwarzaniu.
- Sprostowanie lub uzupełnienie danych.
- Usunięcie danych („prawo do bycia zapomnianym") w przypadkach przewidzianych prawem.
- Ograniczenie przetwarzania w przypadkach z art. 18 RODO.
- Przenoszenie danych (gdy podstawą jest umowa lub zgoda i przetwarzanie jest zautomatyzowane).
- Sprzeciw wobec przetwarzania opartego na uzasadnionym interesie (w tym wobec marketingu bezpośredniego — w dowolnym momencie).
- Cofnięcie zgody w każdym czasie (bez wpływu na zgodność z prawem przetwarzania sprzed cofnięcia).
- Skarga do organu nadzorczego: Prezes UODO (uodo.gov.pl).
Realizację praw ułatwiamy także w ustawieniach konta (jeśli dostępne) lub poprzez kontakt wskazany w § 13.
↑ Wróć na górę§ 9. Bezpieczeństwo informacji
- Stosujemy środki techniczne i organizacyjne odpowiednie do ryzyka (m.in. szyfrowanie transmisji, kontrola dostępu, logowanie zdarzeń, kopie zapasowe).
- Dbaj o bezpieczeństwo po swojej stronie: silne hasło, wylogowanie po sesji, aktualne oprogramowanie, ostrożność na współdzielonych urządzeniach.
- Incydenty bezpieczeństwa zgłaszaj kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie.
§ 10. Wideopołączenia i treści z tablicy
- Transmisja A/V: połączenia audio/wideo realizujemy w oparciu o technologię czasu rzeczywistego (np. WebRTC). Strumienie są przetwarzane ulotnie i co do zasady nie są utrwalane przez nas, chyba że włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę.
- Nagrywanie: jeśli funkcja jest dostępna i włączona, poinformujemy uczestników o nagraniu. Podstawą przetwarzania jest zgoda lub inna właściwa podstawa prawna.
- Udostępnione pliki i rysunki: treści na tablicy widzą uprawnieni uczestnicy pokoju. Możesz je usuwać lub eksportować, o ile pozwalają na to funkcje serwisu.
§ 11. Zautomatyzowane decyzje i profilowanie
Możemy stosować ograniczone profilowanie (np. segmentację według sposobu korzystania), aby dopasować komunikaty o nowych funkcjach lub usprawnić onboarding. Profilowanie nie wywołuje skutków prawnych ani w podobny sposób istotnie Cię nie dotyka. Możesz wnieść sprzeciw wobec marketingu bezpośredniego lub wycofać zgodę, jeśli jest podstawą przetwarzania.
↑ Wróć na górę§ 12. Zmiany Polityki
- Treść Polityki może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój serwisu).
- O zmianach poinformujemy z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie, poprzez publikację nowej wersji w Serwisie (a w razie potrzeby także komunikatem e-mail).
§ 13. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl)ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl ↑ Wróć na górę
§ 14. Integracja z Facebook / Messenger
Sekcja dotyczy Nauczycieli (korepetytorów), którzy w panelu LekcjeRazem łączą swoją stronę Facebook (fanpage) z naszym Serwisem w celu odbierania wiadomości od uczniów przez Messenger.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Meta Platforms Ireland Ltd. — administrator pierwotny danych użytkowników Facebook/Messenger (w zakresie kont, profili, wiadomości na platformie Meta).
- Nauczyciel — administrator danych swoich uczniów w zakresie korespondencji prowadzonej przez Messengera w jego panelu w LekcjeRazem.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor (podmiot przetwarzający) działający na zlecenie Nauczyciela. Powierzenie reguluje DPA będące częścią Regulaminu.
2. Zakres pobieranych danych z Messengera
W ramach integracji pobieramy z API Facebooka / Messengera następujące dane uczniów piszących do strony Nauczyciela:
- Identyfikator PSID (Page-Scoped ID) — unikalny numer w obrębie strony Nauczyciela, nie pozwala na identyfikację profilu poza Messengerem.
- Imię i nazwisko oraz zdjęcie profilowe — o ile uczeń ma je publiczne lub udostępnione stronie.
- Treść wiadomości tekstowych wysłanych do strony Nauczyciela.
- Załączniki (zdjęcia, pliki, naklejki, GIF-y, lokalizacja, wiadomości głosowe) wysyłane do strony.
- Metadane wiadomości: znacznik czasu, kierunek (od ucznia / od Nauczyciela), status doręczenia i odczytu, identyfikator wątku rozmowy.
- Reakcje i postbacks (kliknięcia w przyciski w wiadomościach), jeśli wystąpią.
Nie pobieramy danych ucznia spoza wątku rozmowy z Nauczycielem (nie czytamy listy znajomych, postów, prywatnych konwersacji z innymi osobami itp.).
3. Cele i podstawy prawne
- Umożliwienie prowadzenia komunikacji edukacyjnej (uczeń ↔ Nauczyciel) w panelu LekcjeRazem — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (wykonanie umowy z Nauczycielem) oraz art. 6 ust. 1 lit. f RODO (uzasadniony interes ucznia w kontakcie z korepetytorem).
- Archiwizacja historii rozmów i materiałów dydaktycznych (zdjęcia zadań przesyłane przez ucznia) na potrzeby procesu nauczania — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Wyświetlanie zdjęć z Messengera w innych modułach Serwisu (np. na tablicy interaktywnej) jako materiałów do omówienia podczas lekcji — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Bezpieczeństwo i zgodność z Platform Terms Mety (weryfikacja podpisu webhooka, logowanie zdarzeń) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
4. Sposób pobierania danych
Dane trafiają do Serwisu na dwa sposoby:
- Webhook Messenger Platform — Meta wysyła do naszego endpointu (
https://tablica.lekcjerazem.pl/moduly/facebook_messenger/webhook.php) zdarzenia w czasie rzeczywistym, gdy uczeń napisze do strony Nauczyciela. - Graph API Mety — okresowa synchronizacja (cron) pobiera listę rozmów i wiadomości aby uzupełnić ewentualne braki spowodowane czasowymi błędami webhooka.
5. Okres przechowywania
- Wiadomości, załączniki i informacje o uczniu przechowujemy tak długo, jak długo Nauczyciel zachowuje powiązanie strony FB ze swoim kontem w LekcjeRazem.
- Po odłączeniu strony FB przez Nauczyciela lub po usunięciu jego konta — dane zostają usunięte z naszych systemów w ciągu 30 dni (z wyłączeniem kopii zapasowych, których cykl rotacji może być dłuższy).
- Uczeń może w każdej chwili zażądać usunięcia swoich danych — patrz pkt 7 poniżej.
6. Odbiorcy danych
Dane z Messengera nie są udostępniane osobom trzecim poza:
- Meta Platforms — w zakresie wynikającym z obsługi platformy Messenger (komunikacja zwrotna, doręczenie odpowiedzi);
- dostawcami hostingu i infrastruktury, na których pracuje Serwis (w zakresie technicznym niezbędnym do działania);
- Nauczycielem, do którego uczeń pisze (jest naturalnym adresatem wiadomości).
7. Prawa ucznia i sposób usunięcia danych
Uczniowi przysługują wszystkie prawa z § 8 niniejszej Polityki. W szczególności, w celu usunięcia danych zgromadzonych przez integrację Messenger, uczeń może:
- Napisać do swojego Nauczyciela bezpośrednio przez Messengera z prośbą o usunięcie konwersacji — Nauczyciel ma narzędzie do usunięcia rozmowy w panelu.
- Wysłać żądanie usunięcia danych na adres firma@amkbit.pl z podaniem imienia, nazwiska i nazwy strony Nauczyciela, do której pisał. Dane zostaną usunięte w ciągu 30 dni.
- Skorzystać z formularza usunięcia danych Meta: facebook.com/help/contact/507739850846588.
8. Zgodność z politykami Mety
Integracja działa w zgodzie z Meta Platform Terms oraz Facebook Data Processing Terms. Nie wykorzystujemy danych z Messengera do celów marketingowych, sprzedaży, profilowania reklamowego ani odsprzedaży podmiotom trzecim.
↑ Wróć na górę§ 15. Integracja z Google (Drive, Calendar, People)
Sekcja dotyczy Nauczycieli, którzy w panelu LekcjeRazem.pl opcjonalnie łączą swoje konto Google w celu korzystania z funkcji tablicy interaktywnej i synchronizacji kalendarza.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Google LLC — administrator danych użytkowników Google (konta, pliki Drive, zdarzenia Calendar).
- Nauczyciel — decyduje o połączeniu konta Google z Serwisem oraz o zakresie udostępnianych danych.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor działający na zlecenie Nauczyciela w zakresie danych pobieranych z Google API.
2. Zakres pobieranych danych z konta Google
W ramach integracji, wyłącznie po udzieleniu zgody przez Nauczyciela, Serwis uzyskuje dostęp do:
- Google Drive API (
drive.file) — lista plików i folderów na Dysku Google Nauczyciela, treść wybranych plików (dokumenty, zdjęcia, PDF-y) w celu wyświetlenia ich na tablicy interaktywnej lub wstawienia jako elementu lekcji. Serwis odczytuje i tworzy wyłącznie pliki, do których Nauczyciel wyraźnie przyznał dostęp. - Google Calendar API (
calendar) — zdarzenia z kalendarza Google Nauczyciela (tytuł, data, godzina, opis) w celu dwukierunkowej synchronizacji z harmonogramem zajęć w Serwisie. - Google People API (
userinfo.profile,userinfo.email) — podstawowe dane profilu: imię, nazwisko, adres e-mail, zdjęcie profilowe — wyłącznie w celu identyfikacji konta i wyświetlenia danych w panelu Nauczyciela.
3. Cele i podstawy prawne
- Wyświetlanie plików z Dysku Google na tablicy interaktywnej — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (realizacja usługi).
- Synchronizacja harmonogramu zajęć z Google Calendar — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Identyfikacja użytkownika poprzez konto Google — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
4. Przechowywanie tokenów OAuth
Po wyrażeniu zgody przez Nauczyciela Serwis przechowuje token dostępu i token odświeżania OAuth 2.0 wyłącznie na serwerze, w zaszyfrowanej bazie danych. Tokeny nie są nigdy udostępniane osobom trzecim i służą jedynie do komunikacji z Google API w imieniu Nauczyciela. Serwis stosuje zasadę minimalnego zakresu danych — dostęp jest ograniczony do zasobów niezbędnych do świadczenia usług opisanych powyżej.
5. Udostępnianie danych podmiotom trzecim
Dane pobrane z konta Google Nauczyciela (pliki, zdarzenia kalendarza, dane profilu) nie są udostępniane żadnym podmiotom trzecim poza dostawcami infrastruktury serwerowej działającymi na podstawie umów powierzenia i zobowiązanymi do zachowania poufności.
6. Cofnięcie dostępu i usunięcie danych
Nauczyciel może w dowolnym momencie cofnąć dostęp Serwisu do swojego konta Google:
- W panelu Serwisu — zakładka „Integracje" → przycisk „Rozłącz konto Google".
- Bezpośrednio w ustawieniach konta Google: myaccount.google.com/permissions → znajdź „LekcjeRazem.pl" i kliknij „Usuń dostęp".
Po cofnięciu dostępu tokeny OAuth są niezwłocznie usuwane z naszych serwerów. Dane wcześniej pobrane z Google (np. nazwy plików wyświetlone na tablicy) mogą być przechowywane do czasu usunięcia konta przez Nauczyciela lub do upływu okresu wskazanego w § 7.
7. Zgodność z zasadami Google API
Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy, w tym z zasadą ograniczonego wykorzystania danych. Dane uzyskane z Google API nie są wykorzystywane do celów marketingowych, profilowania reklamowego ani odsprzedaży.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Symetria osiowa i środkowa
Symetria środkowa: Przekształcenie — obrót o 180° wokół punktu $S$ (środka symetrii). Punkt $P$ przechodzi w $P'$, gdzie $S$ jest środkiem odcinka $PP'$.
- Prostokąt — 2 osie symetrii, 1 środek symetrii
- Kwadrat — 4 osie symetrii, 1 środek
- Koło — nieskończenie wiele osi (każda średnica), 1 środek
- Równoboczny trójkąt — 3 osie symetrii, brak środka symetrii
- Osi $OX$: $A'(2, -3)$ — zmień znak współrzędnej $y$
- Osi $OY$: $A'(-2, 3)$ — zmień znak współrzędnej $x$
- Środka $O(0,0)$: $A'(-2, -3)$ — zmień znaki obu
Wykresy kołowe — interpretacja procentowa
- Budżet domowy — gdzie idą pieniądze
- Skład produktu (białko, tłuszcz, cukier)
- Wyniki wyborów
Tabele danych — jak poprawnie odczytywać
- Rozkłady jazdy, cenniki, tabele kursów walut
- Wyniki sportowe, tabele ligowe
- Porównanie kilku cech naraz
Wykresy liniowe — odczytywanie trendu
- Temperatura dzienna lub roczna
- Postępy w nauce (wyniki testów)
- Zmiana masy lub wzrostu
Średnia arytmetyczna — obliczanie krok po kroku
- Średnia ocen w szkole
- Średnia temperatura miesiąca
- Średnia prędkość w podróży
Mediana — środkowy wynik w zbiorze danych
- Mediana zarobków (odporna na skrajne wartości)
- Mediana cen nieruchomości
- Lepiej niż średnia gdy są duże skoki w danych
Moda — najczęstszy wynik w danych
- Najpopularniejszy rozmiar butów w sklepie
- Najczęstsza odpowiedź w ankiecie
- Typowy czas przejazdu autobusem
NWD i NWW — największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność
NWW(a, b) — najmniejsza liczba naturalna, która jest wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.
Związek: $\text{NWD}(a,b) \cdot \text{NWW}(a,b) = a \cdot b$
NWW przez rozkład: Weź każdy czynnik pierwszy z najwyższą potęgą z obu rozkładów.
- $36 = 2^2 \cdot 3^2$; $48 = 2^4 \cdot 3$
- NWD: najmniejsze potęgi wspólnych czynników: $2^2 \cdot 3 = 12$
- NWW: największe potęgi wszystkich czynników: $2^4 \cdot 3^2 = 144$
- Sprawdzenie: $12 \cdot 144 = 1728 = 36 \cdot 48$ ✓
Procenty — pojęcie i obliczenia
- Ile to $p\%$ z $W$? → $x = \frac{p}{100} \cdot W$
- Jaki procent $x$ stanowi z $W$? → $p = \frac{x}{W} \cdot 100\%$
- Jaka jest całość $W$, jeśli $x$ to $p\%$? → $W = \frac{x \cdot 100}{p}$
- Wzrost o $p\%$: pomnóż przez $(1 + \frac{p}{100})$, np. +20% → ×1,20
- Spadek o $p\%$: pomnóż przez $(1 - \frac{p}{100})$, np. –15% → ×0,85
- Zniżka: $\frac{30}{100} \cdot 200 = 60$ zł
- Cena po: $200 - 60 = 140$ zł (lub $200 \cdot 0{,}70 = 140$ zł)
Trójkąty — rodzaje i pola
- Wg boków: równoboczny ($a=b=c$), równoramienny ($a=b \neq c$), różnoboczny
- Wg kątów: ostrokątny (wszystkie $< 90°$), prostokątny (jeden $= 90°$), rozwartokątny (jeden $> 90°$)
- Podstawowy: $P = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ (podstawa × wysokość / 2)
- Wzór Herona: $P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, gdzie $s = \frac{a+b+c}{2}$
- Przez sin: $P = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$
- Sprawdź $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ → trójkąt prostokątny (tw. Pitagorasa)
- Pole: $P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$
Wyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożenia
Podstawowe pojęcia
Jednomian to iloczyn liczby i zmiennych, np. $3x^2y$. Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $2x^2-5x+1$. Jednomiany różniące się tylko współczynnikiem nazywamy podobnymi — można je redukować: $3x+5x=8x$.
Mnożenie sum algebraicznych
Każdy składnik pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy składnik drugiego:
$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$
Przykład: $(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6$.
Wzory skróconego mnożenia
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
Środkowy wyraz $2ab$ to podwojony iloczyn — o nim najczęściej się zapomina.
Zastosowania praktyczne
- Szybkie rachunki: $102^2=(100+2)^2=10000+400+4=10404$
- Rozkład na czynniki: $x^2-49=(x-7)(x+7)$
- Upraszczanie: $(x+4)^2-(x-4)^2=16x$
Najczęstszy błąd
$(a+b)^2\ne a^2+b^2$. Łatwo to sprawdzić na liczbach: $(2+3)^2=25$, ale $2^2+3^2=13$. Suma kwadratów $a^2+b^2$ nie rozkłada się na czynniki.
Doświadczenie losowe — rzut monetą i kostką
- Gry planszowe i losowania
- Prognozowanie wyników sportowych
- Ubezpieczenia i ryzyko
Drzewko możliwości — metoda zliczania wyników
- Wyznaczanie przestrzeni zdarzeń
- Liczenie kombinacji (ubrania, menu)
- Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń złożonych
Zdarzenie pewne, niemożliwe i losowe
• Zdarzenie niemożliwe: nigdy nie zachodzi, $P = 0$
• Zdarzenie losowe: może zajść lub nie, $0 < P < 1$
- Ocena prawdopodobieństwa zdarzeń
- Analiza ryzyka w decyzjach
- Gry i losowania
Dane statystyczne — zbieranie i porządkowanie
- Ankiety szkolne i badania opinii
- Pomiary naukowe
- Analiza wyników sportowych
Diagram Venna — zaznaczanie zbiorów
- Klasyfikacja zwierząt (ssaki, zwierzęta wodne)
- Hobby uczniów (kto gra w piłkę I pływa)
- Logika i teoria zbiorów
Równania liniowe z jedną niewiadomą
Ogólniej: $ax + b = cx + d$ — przenosimy wyrazy z $x$ na lewą, stałe na prawą stronę.
- Usuń nawiasy (reguła rozdzielności)
- Przenieś wyrazy z $x$ na lewą, stałe na prawą stronę (zmień znaki)
- Połącz wyrazy podobne
- Podziel obie strony przez współczynnik przy $x$
- $3x - 6 + 5 = 2x - 1$
- $3x - 1 = 2x - 1$
- $3x - 2x = -1 + 1$
- $x = 0$
Twierdzenie Pitagorasa
- 3, 4, 5 (i wielokrotności: 6-8-10, 9-12-15…)
- 5, 12, 13
- 8, 15, 17
- 7, 24, 25
Figury podobne — skala i warunki podobieństwa
- KKK — odpowiadające kąty są równe ($\alpha=\alpha'$, $\beta=\beta'$, $\gamma=\gamma'$)
- BBB — odpowiadające boki proporcjonalne ($\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$)
- BKB — dwa boki proporcjonalne i zawarty między nimi kąt równy
Graniastosłupy i ostrosłupy
Graniastosłup
Ma dwie identyczne, równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami (w graniastosłupie prostym).
$$V=P_p\cdot H,\qquad P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=Ob_p\cdot H$$
Ostrosłup
Ma jedną podstawę, a ściany boczne są trójkątami zbiegającymi się w jednym wierzchołku.
$$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H,\qquad P_c=P_p+P_b$$
Ostrosłup ma trzykrotnie mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Oznaczenia
- $P_p$ — pole podstawy
- $H$ — wysokość bryły (odcinek prostopadły do podstawy)
- $h$ — wysokość ściany bocznej ostrosłupa (apotema)
- $P_b$ — pole powierzchni bocznej, $P_c$ — pole całkowite
Bryły prawidłowe
Określenie prawidłowy oznacza, że podstawą jest wielokąt foremny: w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym podstawą jest kwadrat, w trójkątnym — trójkąt równoboczny.
Na co uważać
Nie myl wysokości bryły $H$ z wysokością ściany bocznej $h$. Do objętości wchodzi $H$, do pola bocznego $h$. Wiąże je twierdzenie Pitagorasa. Pamiętaj też o jednostkach: $1\ \text{l}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$.
Nierówności liniowe z jedną niewiadomą
Rozwiązaniem jest przedział liczb (nie pojedyncza wartość).
Kluczowa reguła: Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną — odwróć znak nierówności!
- $x > 3$: przedział $(3, +\infty)$, na osi — strzałka w prawo od otwartego punktu
- $x \leq -2$: przedział $(-\infty, -2\rangle$, strzałka w lewo od zamkniętego punktu
- $-2x \geq 7 - 3 = 4$
- $x \leq \dfrac{4}{-2} = -2$ (dzielenie przez $-2$ — odwróć $\geq$ na $\leq$!)
- Rozwiązanie: $x \in (-\infty, -2\rangle$
Wyrażenia algebraiczne i zmienne
- Dodawaj podobne wyrazy: $3x + 5x = 8x$ (ale $3x + 5y$ nie upraszcza się)
- Równanie: co robisz z jedną stroną, rób z drugą
- Przenoszenie: zmień znak! $x + 3 = 7 \Rightarrow x = 7 - 3$
- Dodaj 4 do obu stron: $3x = 15$
- Podziel przez 3: $x = 5$
- Sprawdzenie: $3 \cdot 5 - 4 = 11$ ✓
Bryły — graniastosłupy i ostrosłupy
Ostrosłup — bryła o podstawie (wielokącie) i trójkątnych ścianach bocznych zbiegających się w wierzchołku (apex).
- Objętość: $V = P_{podst} \cdot h$ (pole podstawy × wysokość)
- Pole powierzchni: $P_{pp} = 2P_{podst} + P_{boczna}$
- Sześcian ($a$): $V = a^3$; $P_{pp} = 6a^2$
- Prostopadłościan ($a,b,c$): $V = abc$; $P_{pp} = 2(ab+bc+ca)$
- Objętość: $V = \dfrac{1}{3} P_{podst} \cdot h$
- Stożek: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$; Walec: $V = \pi r^2 h$
- Kula: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$; $P_{pp} = 4\pi r^2$
Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi
- Podstawiania: Wyraź jedną niewiadomą z jednego równania i podstaw do drugiego.
- Przeciwnych współczynników: Pomnóż równania tak, by jeden ze współczynników miał wartości przeciwne — dodaj stronami.
- Graficzna: Narysuj obie proste — punkt przecięcia to rozwiązanie.
- Dodaj oba: $6x = 18 \Rightarrow x = 3$
- Podstaw: $2\cdot3 + 3y = 12 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$
- Rozwiązanie: $(3, 2)$
Strona 9 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.