Polityka prywatności
§ 1. Postanowienia ogólne i rola DPA
Polityka opisuje zasady przetwarzania danych osobowych w serwisie LekcjeRazem.pl.
Należy rozróżnić dwie sytuacje przetwarzania danych:
- Dane Użytkownika (Ciebie): Gdy zakładasz konto lub korzystasz z Serwisu, my jesteśmy Administratorem Twoich danych. Zasady te opisuje niniejsza Polityka Prywatności.
- Dane uczniów (wprowadzane przez Ciebie): Jeśli jesteś Nauczycielem i wprowadzasz dane osób trzecich (uczniów), działasz jako ich Administrator. My przetwarzamy te dane wyłącznie w Twoim imieniu. Zasady tego powierzenia reguluje Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA), stanowiąca integralną część Regulaminu.
Przetwarzamy dane zgodnie z RODO oraz właściwymi przepisami prawa krajowego.
↑ Wróć na górę§ 2. Administrator danych i kontakt
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów.
Kontakt w sprawach prywatności: tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
W sprawach ochrony danych możesz kontaktować się ww. kanałami. Odpowiemy bez zbędnej zwłoki.
↑ Wróć na górę§ 3. Zakres przetwarzanych danych
- Dane konta (jeśli zakładasz Konto): imię, nazwisko (lub nick), adres e-mail, hasło (zahashowane), opcjonalnie telefon/awatar.
- Dane powierzone (uczniów): przetwarzane wyłącznie w celu realizacji usługi zgodnie z DPA zawartym w Regulaminie (nie są wykorzystywane do celów własnych Administratora).
- Dane sesji tablicy: ID pokoju/sesji, rola (właściciel/uczestnik), pseudonim, czas rozpoczęcia i zakończenia, zaproszenia, ustawienia.
- Treści tworzone na tablicy: pociągnięcia pióra, kształty, wklejone obrazy/plik(i), adnotacje, załączniki, historia zmian; czat tekstowy związany z sesją.
- Audio/Wideo (jeśli używasz): strumienie z kamery/mikrofonu przesyłane w czasie rzeczywistym (WebRTC). Nie utrwalamy ich, chyba że wyraźnie włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę lub wymaga tego funkcja.
- Dane techniczne i logi: adres IP, znacznik czasu, identyfikatory sesji/urządzenia, typ i wersja przeglądarki, system operacyjny, ustawienia języka, parametry wydajnościowe, zdarzenia błędów.
- Kontakt i wsparcie: treść zapytań, e-maile, zrzuty ekranu przesłane do pomocy technicznej.
- Rozliczenia (wyłącznie gdy korzystasz z płatnych funkcji): dane płatności przekazywane operatorowi płatności, identyfikatory transakcji, faktury (zakres zgodny z przepisami podatkowymi).
§ 4. Cele i podstawy prawne
- Świadczenie usług serwisu i tablicy (utworzenie/obsługa konta, prowadzenie sesji, udostępnienie funkcji, wsparcie) — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Bezpieczeństwo i nadużycia (zapewnienie integralności usług, wykrywanie nieprawidłowości, ochrona przed spamem i atakami) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Analityka i rozwój (statystyki użycia, poprawa wydajności i UX, diagnostyka błędów) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Komunikacja (odpowiedzi na zgłoszenia, powiadomienia o zmianach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Rozliczenia i księgowość (gdy używasz funkcji płatnych) — art. 6 ust. 1 lit. c RODO.
- Marketing własny (np. informacje o nowych funkcjach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO; gdy wymagane, na podstawie art. 6 ust. 1 lit. a RODO (zgoda).
- Zgody (np. na nagrywanie sesji A/V, cookies marketingowe) — art. 6 ust. 1 lit. a RODO; zgoda może być cofnięta w każdym czasie.
- Roszczenia i obrona praw — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
§ 5. Cookies i podobne technologie
- Niezbędne — działanie i bezpieczeństwo serwisu (sesja, autoryzacja, preferencje). Bez nich korzystanie z kluczowych funkcji może być niemożliwe.
- Funkcjonalne — zapamiętywanie ustawień (np. kamera/mikrofon, układ tablicy).
- Statystyczne/wydajnościowe — anonimowe metryki użycia i diagnostyka.
- Marketingowe/personalizacyjne — wyłącznie za Twoją zgodą.
Możesz zarządzać zgodami w banerze cookies i ustawieniach przeglądarki. Szczegóły zawiera Polityka cookies.
↑ Wróć na górę§ 6. Odbiorcy danych i transfery
Możemy powierzać dane podmiotom przetwarzającym je w naszym imieniu: dostawcom hostingu i chmury, usług czasu rzeczywistego (np. infrastruktura WebRTC, STUN/TURN), systemom analitycznym, wsparciu IT, dostawcom komunikacji e-mail/push, operatorom płatności (dla funkcji płatnych). Takie podmioty przetwarzają dane na podstawie umów powierzenia i zgodnie z naszymi instrukcjami.
W przypadku przekazywania danych poza EOG stosujemy odpowiednie zabezpieczenia, takie jak standardowe klauzule umowne (SCC). Informacje o stosowanych zabezpieczeniach udostępnimy na żądanie.
↑ Wróć na górę§ 7. Okres przechowywania danych
- Konto i podstawowe dane: przez czas trwania umowy (posiadania konta) — do usunięcia konta lub skutecznego sprzeciwu, jeśli ma zastosowanie.
- Treści z tablicy i czat: przez czas utrzymania pokoju/sesji przez jego właściciela lub do ręcznego usunięcia; kopie zapasowe — przez okres niezbędny do zapewnienia ciągłości działania.
- Logi techniczne i bezpieczeństwa: przez okres niezbędny do bezpieczeństwa i dochodzenia roszczeń, zgodnie z uzasadnionym interesem.
- Rozliczenia/księgowość: przez czas wymagany przepisami prawa.
§ 8. Prawa osób, których dane dotyczą
- Dostęp do danych i uzyskanie kopii, w tym informacji o przetwarzaniu.
- Sprostowanie lub uzupełnienie danych.
- Usunięcie danych („prawo do bycia zapomnianym") w przypadkach przewidzianych prawem.
- Ograniczenie przetwarzania w przypadkach z art. 18 RODO.
- Przenoszenie danych (gdy podstawą jest umowa lub zgoda i przetwarzanie jest zautomatyzowane).
- Sprzeciw wobec przetwarzania opartego na uzasadnionym interesie (w tym wobec marketingu bezpośredniego — w dowolnym momencie).
- Cofnięcie zgody w każdym czasie (bez wpływu na zgodność z prawem przetwarzania sprzed cofnięcia).
- Skarga do organu nadzorczego: Prezes UODO (uodo.gov.pl).
Realizację praw ułatwiamy także w ustawieniach konta (jeśli dostępne) lub poprzez kontakt wskazany w § 13.
↑ Wróć na górę§ 9. Bezpieczeństwo informacji
- Stosujemy środki techniczne i organizacyjne odpowiednie do ryzyka (m.in. szyfrowanie transmisji, kontrola dostępu, logowanie zdarzeń, kopie zapasowe).
- Dbaj o bezpieczeństwo po swojej stronie: silne hasło, wylogowanie po sesji, aktualne oprogramowanie, ostrożność na współdzielonych urządzeniach.
- Incydenty bezpieczeństwa zgłaszaj kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie.
§ 10. Wideopołączenia i treści z tablicy
- Transmisja A/V: połączenia audio/wideo realizujemy w oparciu o technologię czasu rzeczywistego (np. WebRTC). Strumienie są przetwarzane ulotnie i co do zasady nie są utrwalane przez nas, chyba że włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę.
- Nagrywanie: jeśli funkcja jest dostępna i włączona, poinformujemy uczestników o nagraniu. Podstawą przetwarzania jest zgoda lub inna właściwa podstawa prawna.
- Udostępnione pliki i rysunki: treści na tablicy widzą uprawnieni uczestnicy pokoju. Możesz je usuwać lub eksportować, o ile pozwalają na to funkcje serwisu.
§ 11. Zautomatyzowane decyzje i profilowanie
Możemy stosować ograniczone profilowanie (np. segmentację według sposobu korzystania), aby dopasować komunikaty o nowych funkcjach lub usprawnić onboarding. Profilowanie nie wywołuje skutków prawnych ani w podobny sposób istotnie Cię nie dotyka. Możesz wnieść sprzeciw wobec marketingu bezpośredniego lub wycofać zgodę, jeśli jest podstawą przetwarzania.
↑ Wróć na górę§ 12. Zmiany Polityki
- Treść Polityki może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój serwisu).
- O zmianach poinformujemy z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie, poprzez publikację nowej wersji w Serwisie (a w razie potrzeby także komunikatem e-mail).
§ 13. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl)ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl ↑ Wróć na górę
§ 14. Integracja z Facebook / Messenger
Sekcja dotyczy Nauczycieli (korepetytorów), którzy w panelu LekcjeRazem łączą swoją stronę Facebook (fanpage) z naszym Serwisem w celu odbierania wiadomości od uczniów przez Messenger.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Meta Platforms Ireland Ltd. — administrator pierwotny danych użytkowników Facebook/Messenger (w zakresie kont, profili, wiadomości na platformie Meta).
- Nauczyciel — administrator danych swoich uczniów w zakresie korespondencji prowadzonej przez Messengera w jego panelu w LekcjeRazem.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor (podmiot przetwarzający) działający na zlecenie Nauczyciela. Powierzenie reguluje DPA będące częścią Regulaminu.
2. Zakres pobieranych danych z Messengera
W ramach integracji pobieramy z API Facebooka / Messengera następujące dane uczniów piszących do strony Nauczyciela:
- Identyfikator PSID (Page-Scoped ID) — unikalny numer w obrębie strony Nauczyciela, nie pozwala na identyfikację profilu poza Messengerem.
- Imię i nazwisko oraz zdjęcie profilowe — o ile uczeń ma je publiczne lub udostępnione stronie.
- Treść wiadomości tekstowych wysłanych do strony Nauczyciela.
- Załączniki (zdjęcia, pliki, naklejki, GIF-y, lokalizacja, wiadomości głosowe) wysyłane do strony.
- Metadane wiadomości: znacznik czasu, kierunek (od ucznia / od Nauczyciela), status doręczenia i odczytu, identyfikator wątku rozmowy.
- Reakcje i postbacks (kliknięcia w przyciski w wiadomościach), jeśli wystąpią.
Nie pobieramy danych ucznia spoza wątku rozmowy z Nauczycielem (nie czytamy listy znajomych, postów, prywatnych konwersacji z innymi osobami itp.).
3. Cele i podstawy prawne
- Umożliwienie prowadzenia komunikacji edukacyjnej (uczeń ↔ Nauczyciel) w panelu LekcjeRazem — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (wykonanie umowy z Nauczycielem) oraz art. 6 ust. 1 lit. f RODO (uzasadniony interes ucznia w kontakcie z korepetytorem).
- Archiwizacja historii rozmów i materiałów dydaktycznych (zdjęcia zadań przesyłane przez ucznia) na potrzeby procesu nauczania — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Wyświetlanie zdjęć z Messengera w innych modułach Serwisu (np. na tablicy interaktywnej) jako materiałów do omówienia podczas lekcji — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Bezpieczeństwo i zgodność z Platform Terms Mety (weryfikacja podpisu webhooka, logowanie zdarzeń) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
4. Sposób pobierania danych
Dane trafiają do Serwisu na dwa sposoby:
- Webhook Messenger Platform — Meta wysyła do naszego endpointu (
https://tablica.lekcjerazem.pl/moduly/facebook_messenger/webhook.php) zdarzenia w czasie rzeczywistym, gdy uczeń napisze do strony Nauczyciela. - Graph API Mety — okresowa synchronizacja (cron) pobiera listę rozmów i wiadomości aby uzupełnić ewentualne braki spowodowane czasowymi błędami webhooka.
5. Okres przechowywania
- Wiadomości, załączniki i informacje o uczniu przechowujemy tak długo, jak długo Nauczyciel zachowuje powiązanie strony FB ze swoim kontem w LekcjeRazem.
- Po odłączeniu strony FB przez Nauczyciela lub po usunięciu jego konta — dane zostają usunięte z naszych systemów w ciągu 30 dni (z wyłączeniem kopii zapasowych, których cykl rotacji może być dłuższy).
- Uczeń może w każdej chwili zażądać usunięcia swoich danych — patrz pkt 7 poniżej.
6. Odbiorcy danych
Dane z Messengera nie są udostępniane osobom trzecim poza:
- Meta Platforms — w zakresie wynikającym z obsługi platformy Messenger (komunikacja zwrotna, doręczenie odpowiedzi);
- dostawcami hostingu i infrastruktury, na których pracuje Serwis (w zakresie technicznym niezbędnym do działania);
- Nauczycielem, do którego uczeń pisze (jest naturalnym adresatem wiadomości).
7. Prawa ucznia i sposób usunięcia danych
Uczniowi przysługują wszystkie prawa z § 8 niniejszej Polityki. W szczególności, w celu usunięcia danych zgromadzonych przez integrację Messenger, uczeń może:
- Napisać do swojego Nauczyciela bezpośrednio przez Messengera z prośbą o usunięcie konwersacji — Nauczyciel ma narzędzie do usunięcia rozmowy w panelu.
- Wysłać żądanie usunięcia danych na adres firma@amkbit.pl z podaniem imienia, nazwiska i nazwy strony Nauczyciela, do której pisał. Dane zostaną usunięte w ciągu 30 dni.
- Skorzystać z formularza usunięcia danych Meta: facebook.com/help/contact/507739850846588.
8. Zgodność z politykami Mety
Integracja działa w zgodzie z Meta Platform Terms oraz Facebook Data Processing Terms. Nie wykorzystujemy danych z Messengera do celów marketingowych, sprzedaży, profilowania reklamowego ani odsprzedaży podmiotom trzecim.
↑ Wróć na górę§ 15. Integracja z Google (Drive, Calendar, People)
Sekcja dotyczy Nauczycieli, którzy w panelu LekcjeRazem.pl opcjonalnie łączą swoje konto Google w celu korzystania z funkcji tablicy interaktywnej i synchronizacji kalendarza.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Google LLC — administrator danych użytkowników Google (konta, pliki Drive, zdarzenia Calendar).
- Nauczyciel — decyduje o połączeniu konta Google z Serwisem oraz o zakresie udostępnianych danych.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor działający na zlecenie Nauczyciela w zakresie danych pobieranych z Google API.
2. Zakres pobieranych danych z konta Google
W ramach integracji, wyłącznie po udzieleniu zgody przez Nauczyciela, Serwis uzyskuje dostęp do:
- Google Drive API (
drive.file) — lista plików i folderów na Dysku Google Nauczyciela, treść wybranych plików (dokumenty, zdjęcia, PDF-y) w celu wyświetlenia ich na tablicy interaktywnej lub wstawienia jako elementu lekcji. Serwis odczytuje i tworzy wyłącznie pliki, do których Nauczyciel wyraźnie przyznał dostęp. - Google Calendar API (
calendar) — zdarzenia z kalendarza Google Nauczyciela (tytuł, data, godzina, opis) w celu dwukierunkowej synchronizacji z harmonogramem zajęć w Serwisie. - Google People API (
userinfo.profile,userinfo.email) — podstawowe dane profilu: imię, nazwisko, adres e-mail, zdjęcie profilowe — wyłącznie w celu identyfikacji konta i wyświetlenia danych w panelu Nauczyciela.
3. Cele i podstawy prawne
- Wyświetlanie plików z Dysku Google na tablicy interaktywnej — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (realizacja usługi).
- Synchronizacja harmonogramu zajęć z Google Calendar — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Identyfikacja użytkownika poprzez konto Google — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
4. Przechowywanie tokenów OAuth
Po wyrażeniu zgody przez Nauczyciela Serwis przechowuje token dostępu i token odświeżania OAuth 2.0 wyłącznie na serwerze, w zaszyfrowanej bazie danych. Tokeny nie są nigdy udostępniane osobom trzecim i służą jedynie do komunikacji z Google API w imieniu Nauczyciela. Serwis stosuje zasadę minimalnego zakresu danych — dostęp jest ograniczony do zasobów niezbędnych do świadczenia usług opisanych powyżej.
5. Udostępnianie danych podmiotom trzecim
Dane pobrane z konta Google Nauczyciela (pliki, zdarzenia kalendarza, dane profilu) nie są udostępniane żadnym podmiotom trzecim poza dostawcami infrastruktury serwerowej działającymi na podstawie umów powierzenia i zobowiązanymi do zachowania poufności.
6. Cofnięcie dostępu i usunięcie danych
Nauczyciel może w dowolnym momencie cofnąć dostęp Serwisu do swojego konta Google:
- W panelu Serwisu — zakładka „Integracje" → przycisk „Rozłącz konto Google".
- Bezpośrednio w ustawieniach konta Google: myaccount.google.com/permissions → znajdź „LekcjeRazem.pl" i kliknij „Usuń dostęp".
Po cofnięciu dostępu tokeny OAuth są niezwłocznie usuwane z naszych serwerów. Dane wcześniej pobrane z Google (np. nazwy plików wyświetlone na tablicy) mogą być przechowywane do czasu usunięcia konta przez Nauczyciela lub do upływu okresu wskazanego w § 7.
7. Zgodność z zasadami Google API
Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy, w tym z zasadą ograniczonego wykorzystania danych. Dane uzyskane z Google API nie są wykorzystywane do celów marketingowych, profilowania reklamowego ani odsprzedaży.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Pole wielokąta ze współrzędnych — wzór Gaussa
- Obliczanie pól działek ze współrzędnych
- Geodezja i kartografia
- Grafika komputerowa (rasteryzacja)
Styczna do okręgu — warunki i równania
- Zadania maturalne z geometrii analitycznej
- Optyka (kąt padania = kąt odbicia)
- Mechanika (wektor prędkości styczny do toru)
Przekształcenia macierzowe — wyznacznik i interpretacja
- Reguła Cramera (układy równań)
- Pole równoległoboku ze współrzędnych
- Jacobian w rachunku całkowym
Krzywe stożkowe — klasyfikacja i własności
- Orbity planet (elipsy, Kepler)
- Soczewki i reflektory
- Architktura łuków (parabole)
Rzut prostokątny — cieniu figury
- Praca w fizyce: $W=\vec{F}\cdot\vec{d}=|F||d|\cos\theta$
- Ortogonalizacja Grama-Schmidta
- Metoda najmniejszych kwadratów
Definicja pochodnej — iloraz różnicowy
- Prędkość chwilowa (pochodna drogi po czasie)
- Natężenie prądu (pochodna ładunku)
- Marginalna analiza ekonomiczna
Wzory na pochodne — tabela podstawowych funkcji
$(x^n)\'=nx^{n-1}$, $(e^x)\'=e^x$, $(\ln x)\'=\tfrac{1}{x}$,
$(\sin x)\'=\cos x$, $(\cos x)\'=-\sin x$, $(\tan x)\'=\tfrac{1}{\cos^2x}$,
$(a^x)\'=a^x\ln a$, $(\log_a x)\'=\tfrac{1}{x\ln a}$
- Różniczkowanie dowolnych funkcji elementarnych
- Punkt wyjścia do reguł łańcuchowej, iloczynu
- Fizyka i inżynieria — modele matematyczne
Reguły różniczkowania — iloczyn, iloraz, łańcuchowa
• Iloczyn: $(fg)\'=f\'g+fg\'$
• Iloraz: $(\tfrac{f}{g})\'=\tfrac{f\'g-fg\'}{g^2}$
• Łańcuchowa: $(f\circ g)\'=f\'(g(x))\cdot g\'(x)$
- Różniczkowanie złożonych wyrażeń
- Optymalizacja funkcji kilku zmiennych
- Kinetyka chemiczna (szybkość reakcji)
Pochodna a styczna do wykresu
- Aproksymacja liniowa funkcji
- Metoda Newtona (numeryczne szukanie pierwiastków)
- Fizyka — chwilowa prędkość na wykresie drogi
Logarytmy
Definicja
$$\log_a b=c \iff a^c=b$$
przy założeniach $a>0$, $a\ne1$, $b>0$. Logarytm odpowiada na pytanie: do której potęgi podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę.
Wartości podstawowe
$$\log_a1=0,\qquad \log_aa=1,\qquad a^{\log_ab}=b$$
Własności
$$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$$
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay$$
$$\log_ax^k=k\log_ax$$
Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie, dzielenie na odejmowanie, a potęgowanie na mnożenie — to czyni go głównym narzędziem przy równaniach wykładniczych.
Zmiana podstawy
$$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca},\qquad \log_ab=\frac{1}{\log_ba}$$
Przykład: $\log_832=\frac{\log_232}{\log_28}=\frac{5}{3}$.
Oznaczenia skrócone
$\log x$ to logarytm dziesiętny (podstawa $10$), a $\ln x$ — naturalny (podstawa $e\approx2{,}718$).
Na co uważać
Nie istnieje wzór na $\log_a(x+y)$. W równaniach logarytmicznych zawsze zaczynaj od wyznaczenia dziedziny — argument musi być dodatni, co zwykle eliminuje część formalnie otrzymanych rozwiązań.
Pochodna wyższych rzędów — wklęsłość i punkty przegięcia
• $f\'\'(x)>0$: wykres wklęsły (otwiera się w górę)
• $f\'\'(x)<0$: wykres wypukły (otwiera się w dół)
Punkt przegięcia: zmiana znaku $f\'\'$.
- Warunek dostateczny na ekstremum: $f\'\'(x_0)>0$ → min., $f\'\'(x_0)<0$ → maks.
- Analiza przyspieszenia (pochodna prędkości)
- Ekonomia — malejąca/rosnąca krańcowa użyteczność
Całka nieoznaczona — interpretacja i wzory
- Wyznaczanie funkcji z jej szybkości zmian
- Równania różniczkowe
- Kinematyka (droga z prędkości)
Całka oznaczona — pole pod krzywą i interpretacja
- Droga z prędkości: $s=\int_0^t v(t)\,dt$
- Praca siły: $W=\int_{x_1}^{x_2}F(x)\,dx$
- Wartość średnia funkcji: $\bar{f}=\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$
Całkowanie przez podstawienie
- Całkowanie złożonych wyrażeń trygonometrycznych
- Całkowanie wykładniczych i logarytmicznych
- Punkt wyjścia do całkowania przez części
Całkowanie przez części
- Całkowanie $x^n e^x$, $x^n \sin x$, $x^n \cos x$
- Całkowanie $\ln x$, $\arcsin x$
- Redukcja stopnia wielomianu w podcałkowej
Całkowanie ułamków prostych — metoda rozkładu
Warunek wstępny: stopień licznika < stopień mianownika. Jeśli nie — podziel wielomiany.
- Pierwiastki proste rzeczywiste: $\dfrac{P}{(x-a)(x-b)} = \dfrac{A}{x-a} + \dfrac{B}{x-b}$
- Pierwiastek wielokrotny: $\dfrac{P}{(x-a)^2} = \dfrac{A}{x-a} + \dfrac{B}{(x-a)^2}$
- Trójmian nierozkładalny: $\dfrac{P}{x^2+px+q} = \dfrac{Ax+B}{x^2+px+q}$ → całkuje się przez arctg
- Rozkład: $\dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}$
- Mnożąc: $1 = A(x+1)+B(x-1)$; $x=1: A=\tfrac{1}{2}$; $x=-1: B=-\tfrac{1}{2}$
- $\displaystyle\int = \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$
Reguła de l'Hôpitala — granice nieoznaczone
- Obliczanie trudnych granic (definicja $e$, $\sin x/x$)
- Inne formy: $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $0^0$, $1^\infty$ (sprowadzić do $\tfrac{0}{0}$)
- Analiza zachowania funkcji przy asymptotach
Pole obszaru między krzywymi
- Surplus konsumenta i producenta (ekonomia)
- Pole figur ograniczonych przez krzywe
- Obliczanie objętości brył obrotowych
Pochodna cząstkowa — wprowadzenie
- Optymalizacja funkcji wielu zmiennych
- Prawa fizyki (równanie ciepła, fal)
- Uczenie maszynowe (gradient descent)
Całka podwójna — pole i objętość
- Objętość brył ograniczonych przez powierzchnie
- Masa o zmiennej gęstości
- Środek ciężkości płaskich figur
Objętość bryły obrotowej — metoda dysków i walcowa
Metoda dysków (obrót wokół osi $OX$): $$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\, dx$$ Metoda walcowa (powłokowa) (obrót wokół osi $OY$): $$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x)\, dx$$
- Walec: $f(x) = r$, $V = \pi r^2 h$ ✓
- Stożek: $f(x) = \tfrac{r}{h}x$, $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$ ✓
- Kula: $f(x) = \sqrt{R^2-x^2}$, $V = \tfrac{4}{3}\pi R^3$ ✓
Funkcja liniowa
Postać i wykres
$$f(x)=ax+b$$
Wykresem jest prosta. Współczynnik $a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ to wyraz wolny — rzędna punktu przecięcia z osią $OY$.
Monotoniczność
- $a>0$ — funkcja rosnąca
- $a<0$ — funkcja malejąca
- $a=0$ — funkcja stała (prosta pozioma)
Miejsce zerowe
$$ax+b=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{b}{a}\qquad(a\ne0)$$
Wyznaczanie równania prostej
Z dwóch punktów $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$:
$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad y-y_1=a(x-x_1)$$
Wzajemne położenie prostych
$$l_1\parallel l_2 \iff a_1=a_2,\qquad l_1\perp l_2 \iff a_1a_2=-1$$
Układy równań liniowych
Interpretacja geometryczna liczby rozwiązań:
- oznaczony — proste przecinają się (jedno rozwiązanie)
- nieoznaczony — proste się pokrywają (nieskończenie wiele)
- sprzeczny — proste równoległe rozłączne (brak rozwiązań)
Na co uważać
Prosta pionowa $x=c$ nie jest funkcją i nie ma współczynnika kierunkowego — nie da się jej zapisać w postaci $y=ax+b$. Warunek prostopadłości zawodzi też dla pary prosta pozioma–pionowa; ten przypadek rozpatruj osobno.
Asymptota ukośna — wyznaczanie i interpretacja
- Funkcje wymierne: stopień licznika o 1 większy niż mianownika
- $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$: podziel wielomiany — iloraz (liniowy) to asymptota
- Inne funkcje: $\sqrt{x^2+x} \sim x + \tfrac{1}{2}$ dla $x\to+\infty$
- $m = \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+2x+3}{x(x+1)} = \lim \dfrac{x^2+2x+3}{x^2+x} = 1$
- $b = \lim[f(x)-x] = \lim \dfrac{x^2+2x+3 - x(x+1)}{x+1} = \lim \dfrac{x+3}{x+1} = 1$
- Asymptota: $y = x+1$ (co widać też po dzieleniu wielomianów: $\frac{x^2+2x+3}{x+1} = x+1 + \frac{2}{x+1}$)
Metoda bisekcji i stycznych — numeryczne pierwiastki funkcji
Metoda Newtona (stycznych): $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
- Bisekcja: liniowa — po $n$ krokach błąd $\leq \dfrac{b-a}{2^n}$; potrzeba $n \approx 3{,}32\log_{10}\!\left(\dfrac{b-a}{\varepsilon}\right)$ kroków
- Newton: kwadratowa — liczba poprawnych cyfr podwaja się w każdej iteracji (gdy startujemy blisko pierwiastka)
- $x_1 = 1 - \dfrac{1-2}{2} = 1{,}5$
- $x_2 = 1{,}5 - \dfrac{1{,}25}{3} = 1{,}4\overline{16}$
- $x_3 \approx 1{,}41421356$ — już 8 cyfr po 3 iteracjach!
Strona 5 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.