Naszym zadaniem jest wyłączenie wspólnego czynnika przed znak pierwiastka. Całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$

Jedyną prawidłową zależnością jest ta, która znalazła się w drugiej odpowiedzi, bowiem podnoszenie liczby do potęgi ujemnej jest związane z potęgowaniem liczby odwrotnej. Tak też będzie i w tym przypadku:
$$\left(\frac{x}{y}\right)^{-5}=\left(\frac{y}{x}\right)^{5}$$

Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie - do jakiej liczby trzeba podnieść liczbę \(3\), aby otrzymać \(\frac{1}{27}\). Jeśli dobrze orientujemy się w działaniach na potęgach to dobrze wiemy, że skoro wynik jest w formie ułamka to na pewno będzie to liczba ujemna, a dokładnie tą liczbą będzie \(-3\), bo:
$$3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$$

Aby rozwiązać to zadanie odpowiedzmy sobie na pytanie ile jest równa wartość bezwzględna z np. \(5\) oraz \(-5\). Oczywiście w obydwu przypadkach wynik będzie równy \(5\), ale jak to będzie wyglądać w zapisie matematycznym?
$$|5|=5 \           ,\
|-5|=-(-5)=5$$

A jak będą wyglądać wartości bezwzględne z \(x\) oraz \(-x\)?
$$|x|=x \           ,\
|-x|=-(-x)=x$$

Z definicji wartości bezwzględnej oraz z tego naszego małego eksperymentu wynika, że wyciągając wartość bezwzględną z liczby ujemnej musimy postawić przed nią znak minusa (tak aby finalnie wyszła nam liczba dodatnia). Jeśli więc mamy liczbę \(-5\), to jej wartość bezwzględna jest równa \(-(-5)=5\).

Krok 1. Opuszczenie wewnętrznej wartości bezwzględnej.
Z treści zadania wiemy, że nasz \(x\lt0\), czyli opuszczając wewnętrzną wartość bezwzględną musimy dostawić minus przed \(x\), tak więc:
$$||x|+1|=|-x+1|$$

Krok 2. Opuszczenie drugiej wartości bezwzględnej.
Musimy teraz ustalić, czy liczba \(-x+1\) jest dodatnia czy ujemna. Gdyby była ujemna, to znowu musielibyśmy postawić przed nią znak minusa. Ta liczba jest jednak na pewno dodatnia, bo skoro \(x\) jest ujemny, to \(-x\) jest dodatni, a tym bardziej \(-x+1\) będzie dodatnia. Opuszczając więc drugą wartość bezwzględną nie musimy zmieniać znaków, stąd też:
$$|-x+1|=-x+1$$

Niezależnie od tego ile płyt kupimy to tak czy inaczej zapłacimy po prostu \(20\%\) mniej. Prawidłowa jest więc odpowiedź druga.

W tym zadaniu wykorzystamy następujący wzór skróconego mnożenia: \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).

Krok 1. Zapisanie wielomianu w formie \(a^2-b^2\).
Spróbujmy doprowadzić nasz wielomian do postaci \(a^2-b^2\), co pozwoli nam później zastosować wzór skróconego mnożenia, a więc:
$$4x^2-100=(2x)^2-10^2$$

Krok 2. Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia.
Zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia:
$$(2x)^2-10^2=(2x-10)(2x+10)$$

A to oznacza, że prawidłowa jest druga odpowiedź.

Jeśli nie jesteśmy w stanie dostrzec tych wszystkich zależności to mogliśmy też po prostu wymnożyć każdy z wariantów znajdujących się w odpowiedziach \(ABCD\) i sprawdzić, która wartość byłaby równa \(4x^2-100\).

Krok 1. Zapisanie odpowiednich założeń do zadania.
Wartość w mianowniku nie może być równa zero, bo dzielenie przez zero w matematyce nie występuje. Stąd też pierwszym krokiem jaki należy uczynić jest zapisanie założenia, że \(x-6\neq0\), czyli \(x\neq6\).
Zapisanie założeń jest ważne, bo czasem zachodzi konieczność odrzucenia jakiegoś rozwiązania ze względu na to założenie.

Krok 2. Sprawdzenie dla jakich liczb wartość licznika jest równa \(0\).
Aby wynik działania był równy \(0\) to wartość licznika musi być równa \(0\) (i jest to jedyna możliwość, bo wartość mianownika na pewno musi być różna od zera). Stąd też:
$$x^2+36=0 \           ,\
x^2=-36$$

Niestety nie istnieje jakakolwiek liczba, która byłaby rozwiązaniem tego równania, bo nie ma takiej liczby rzeczywistej, która podniesiona do kwadratu da nam ujemny wynik. To oznacza, że równanie nie ma rozwiązań.

Krok 1. Wymnożenie wszystkich wyrazów przy wykorzystaniu wzorów skróconego mnożenia i rozwiązanie nierówności.
Po lewej stronie nierówności skorzystamy ze wzoru: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
Po prawej stronie nierówności skorzystamy ze wzoru: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
Zatem:
$$(4+x)^2\lt(x-4)(x+4) \           ,\
4^2+2\cdot4\cdot x+x^2\lt x^2-4^2 \           ,\
16+8x+x^2\lt x^2-16 \           ,\
16+8x\lt-16 \           ,\
8x\lt-32 \           ,\
x\lt-4$$

Krok 2. Interpretacja wyniku.
Rozwiązaniem naszego równania jest przedział \(x\in(-\infty;-4)\). Musimy teraz sobie odpowiedzieć na pytanie jaka jest największa liczba całkowita, która mieści się w tym przedziale. Nie może to być \(-4\), bo ta liczba nie mieści się w naszym przedziale (nawias jest otwarty). Największą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest więc \(-5\) i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

Krok 1. Ustalenie, czy funkcja \(f(x)\) jest rosnąca czy malejąca.
O tym, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca decyduje współczynnik \(a\) stojący przed \(x\). W naszym przypadku współczynnik ten jest dodatni i wynosi \(\frac{1}{2}\), a więc już wiemy, że funkcja jest rosnąca.

Krok 2. Ustalenie przez jaki punkt przechodzi wykres funkcji.
W tym przypadku pomocny będzie współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-6\). Mówi on o tym, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;-6)\).

To oznacza, że prawidłowa jest ostatnia odpowiedź.

Krok 1. Obliczenie rozwiązań równania kwadratowego.
W treści zadania mamy tak naprawdę podane równanie kwadratowe w postaci iloczynowej. To oznacza, że wystarczy przyrównać wartości z poszczególnych nawiasów do zera i dzięki temu poznamy rozwiązania tego równania, tak więc:
$$x+2=0 \quad\lor\quad x-6=0 \           ,\
x=-2 \quad\lor\quad x=6$$

Równanie ma więc dwa rozwiązania: \(x_{1}=-2\) oraz \(x_{2}=6\).

Krok 2. Obliczenie wartości \({x_{1}}^2+{x_{2}}^2\).
$${x_{1}}^2+{x_{2}}^2=(-2)^2+6^2=4+36=40$$

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(Y\). Widzimy wyraźnie, że nasz wykres składa się tak jakby z dwóch części, które są ciągłe:
- w pierwszej części ("górnej") funkcja przyjmuje wartości \((1;3\rangle\)
- w drugiej ("dolnej") przyjmuje wartości \(\langle-4;-1\rangle\).

Zbiór wartości tej funkcji jest więc sumą przedziałów: \(\langle-4;-1\rangle\bigcup(1;3\rangle\)

PS. Zwróć uwagę na nawiasy - punkt \((0,1)\) jest na rysunku przedstawiony w formie niezamalowanej kropki, dlatego nawias przy "jedynce" mamy otwarty.

Skorzystamy ze wzorów redukcyjnych, które znajdziemy w tablicach maturalnych. Z nich możemy odczytać, że:
$$cosα=sin(90°-α)$$

To znaczy, że:
$$cos27°=sin(90°-27°)=sin63°$$

Okazuje się, że wartości które mamy w liczniku, czyli \(cos27°\) oraz \(sin63°\) są sobie równe. Skoro tak, to możemy całość zapisać jako:
$$\require{cancel}\frac{cos27°+sin63°}{cos27°}=\frac{cos27°+cos27°}{cos27°}=\frac{2\cdot \cancel{cos27°}}{\cancel{cos27°}}=2$$

PS. W działaniu \(\frac{cosα+sinβ}{cosα}\) nie mogliśmy sobie ot tak skrócić \(cosα\) w liczniku i mianowniku, bo w liczniku mamy dodawanie, a nie mnożenie, więc musielibyśmy każdy wyraz z licznika podzielić oddzielnie przez \(cosα\), a to nam nic nie da.

Aby obliczyć różnicę tego ciągu wystarczy obliczyć różnicę między wartościami dwóch wyrazów sąsiednich.
Krok 1. Obliczenie wartości ciągu dla \(n=1\) oraz \(n=2\).
$$a_{1}=-2\cdot1+1=-2+1=-1 \           ,\
a_{2}=-2\cdot2+1=-4+1=-3$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
$$r=a_{2}-a_{1}=-3-(-1)=-2$$

Tak na marginesie, to wyliczona ujemna różnica \(r=-2\) świadczy o tym, że jest to ciąg malejący.

Znając wartości drugiego i trzeciego wyrazu ciągu możemy bez problemu obliczyć wartość ilorazu \(q\), a następnie każdy dowolny wyraz tego ciągu. My w tym zadaniu jednak skorzystamy z dużo prostszej metody, która mówi o tym, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi równość: \({a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}\). Dzięki temu unikniemy trudnych obliczeń na pierwiastkach i liczbach ujemnych.

Korzystając z opisanej zależności otrzymujemy równanie:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \           ,\
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=a_{1}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \           ,\
\frac{3}{4}=-\frac{3}{2}a_{1} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) \           ,\
a_{1}=-\frac{2}{4} \           ,\
a_{1}=-\frac{1}{2}$$

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przed dwa punkty \(A=(x_{1};y_{1})\) oraz \(B=(x_{2};y_{2})\) wyraża się wzorem:
$$a=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

Mamy wszystkie dane, więc wystarczy podstawić odpowiednie liczby i w ten sposób obliczymy współczynnik \(a\):
$$a=\frac{3-1}{3-6}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$$

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(x\) - długość krótszego boku
\(y\) - długość dłuższego boku
\(\frac{x}{y}=\frac{2}{5}\), bo stosunek boków jest równy \(2:5\)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Wiedząc jaki jest stosunek boków i że pole figury jest równe \(40\) bez problemów ułożymy następujący układ równań:
\begin{cases}
xy=40 \           ,\
\frac{x}{y}=\frac{2}{5}
\end{cases}

W pierwszym równaniu dzielimy obie strony przez \(40\), a w drugim mnożymy wartości z ułamków na krzyż otrzymując:
\begin{cases}
x=\frac{40}{y} \           ,\
5x=2y
\end{cases}

Podstawiamy wartość \(x=\frac{40}{y}\) z pierwszego równania do drugiego i otrzymujemy:
$$5\cdot\frac{40}{y}=2y \           ,\
\frac{200}{y}=2y \quad\bigg/\cdot y \           ,\
200=2y^2 \quad\bigg/:2 \           ,\
y^2=100 \           ,\
y=10 \quad\lor\quad y=-10$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo odcinek nie może mieć ujemnej długości. To oznacza, że \(y=10\), a skoro jest to dłuższy bok naszego prostokąta (tak wynika z oznaczeń), to prawidłowa jest pierwsza odpowiedź.