Informator maturalny CKE 2023 — zadania z rozwiązaniami — zadania i rozwiązania

1

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie nierówności

▼

🔗

Wartość wyrażenia $2021:\left(1-\frac{1}{2022}\right)-\left(1-\frac{2022}{2021}\right):\frac{1}{2021}$ jest równa:

A $0$

B $1$

C $2021$

D $2023$

2

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie nierówności Wartość bezwzględna

▼

🔗

Dana jest nierówność:

$$|x-3|\ge5$$

Na którym rysunku prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb spełniających powyższą nierówność?

A

B

C

D

3

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Procenty Rozwiązywanie nierówności

▼

🔗

Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi $3\%$ w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.

Po $10$ latach oszczędzania w tym banku (i bez wypłacania kapitału ani odsetek w tym okresie) kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na samym początku o (w zaokrągleniu do $1\%$):

A $30\%$

B $34\%$

C $36\%$

D $43\%$

4

Otwarte 2 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie nierówności

▼

🔗

Dane są dwie liczby $x$ i $y$, takie, że iloraz $\frac{x}{y}$ jest równy $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\frac{x+y}{x}$. Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.

5

Otwarte 2 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie nierówności

▼

🔗

Dane są liczby 𝑎$a=\sqrt{5}-2$ oraz $b=\sqrt{5}+2$. Oblicz wartość wyrażenia $\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}:\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$ dla podanych $a$ i $b$.

6

Otwarte 2 pkt ✓ rozwiązanie

Pierwiastek kwadratowy Rozwiązywanie nierówności

▼

🔗

Dana jest liczba $x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$, gdzie $a$ należy do zbioru $\mathbb{R}$ liczb rzeczywistych. W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby $\sqrt{3}$ oraz $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$ są niewymierne. Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe. Liczba $x$ jest wymierna dla:

A. $a=5$

B. $a=-\sqrt{3}+\sqrt{2}$

C. $a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3$

D. $a=6$

E. $a=-2\sqrt{6}+12,5$

F. $a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6}$

G. $a=-\sqrt{6}$

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Obliczenie wartości liczby $x$.
Spróbujmy obliczyć wartość liczby $x$ wykonując występujące w niej potęgowanie. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że:
$$x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 \           ,\
x=a-(\sqrt{3})^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2 \           ,\
x=a-(3-2\sqrt{6}+2) \           ,\
x=a-(5-2\sqrt{6}) \           ,\
x=a-5+2\sqrt{6}$$

Krok 2. Ustalenie, kiedy liczba $x$ jest wymierna.
Musimy się teraz zastanowić, kiedy $a-5+2\sqrt{6}$ da wynik wymierny. Aby tak się stało, to w wartości liczby $a$ musi się pojawić $-2\sqrt{6}$ (wtedy te pierwiastki się "zniosą") i w zapisie tej liczby nie mogą nam oczywiście pojawić się inne nowe pierwiastki.

Od razu możemy stwierdzić, że poprawna jest odpowiedź E, czyli $a=-2\sqrt{6}+12,5$, bowiem to jest dokładnie to, czego szukamy. Musimy jeszcze wybrać drugą odpowiedź. Na pewno nie będzie to A, B, D oraz G (bo brakuje tu wartości $-2\sqrt{6}$). Do rozpatrzenia zostaje nam C oraz F. Rozpiszmy sobie każdy z tych wariantów:

Odp. C. $(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3=2-2\sqrt{6}+3+0,3=5,3-2\sqrt{6}$
Ta odpowiedź nam pasuje.

Odp. F. $(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6}=2-2\sqrt{6}+3-2\sqrt{6}=5-4\sqrt{6}$
Ta odpowiedź nam nie pasuje, bo jest tutaj $-4\sqrt{6}$.

Podsumowując, pasującymi odpowiedziami będą C oraz E.

7

Otwarte 2 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie równań Rozwiązywanie nierówności

▼

🔗

Rozwiąż równanie:

$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0$$

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Zapisanie założeń.
Mamy równanie, w którym niewiadoma $x$ pojawia się w mianowniku ułamka. Zanim więc zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać stosowne założenia, ponieważ wartość mianownika nie może być równa $0$ (gdyż na matematyce nie istnieje dzielenie przez $0$). Skoro tak, to:
$$(2x-10)(x+3)\neq0$$

Mamy postać iloczynową równania kwadratowego, zatem każdy z nawiasów musi być różny od zera, czyli:
$$2x-10\neq0 \quad\lor\quad x+3\neq0 \           ,\
2x\neq10 \quad\lor\quad x\neq-3 \           ,\
x\neq5 \quad\lor\quad x\neq-3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać podane równanie, musimy obydwie strony pomnożyć przez wartość w mianowniku, zatem:
$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0 \quad\bigg/\cdot(2x-10)(x+3) \           ,\
(4x+1)(x-5)=0$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera:
$$4x+1=0 \quad\lor\quad x-5=0 \           ,\
4x=-1 \quad\lor\quad x=5 \           ,\
x=-\frac{1}{4} \quad\lor\quad x=5$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na koniec musimy zweryfikować otrzymane wyniki z zapisanymi założeniami. Widzimy, że rozwiązanie $x=5$ musimy odrzucić, bo dla tej wartości mianownik był równy $0$. Skoro tak, to jedynym rozwiązaniem tego zadania będzie $x=-\frac{1}{4}$.

8

Otwarte 2 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie nierówności

▼

🔗

Pensja pana $X$ jest o $50\%$ wyższa od średniej krajowej, a pensja pana $Y$ jest o $40\%$ niższa od średniej krajowej.

Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.

1. Pensja pana $X$ jest wyższa od pensji pana $Y$:

A. o $40\%$ pensji pana $Y$.

B. o $90\%$ pensji pana $Y$.

C. o $150\%$ pensji pana $Y$.

D. o $275\%$ pensji pana $Y$.

2. Pensja pana $Y$ jest niższa od pensji pana $X$:

E. o $60\%$ pensji pana $X$.

F. o $73\%$ pensji pana $X$.

G. o $90\%$ pensji pana $X$.

H. o $150\%$ pensji pana $X$.

9

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie nierówności Logarytm

▼

🔗

Na wykresie przedstawiono zależność $log\;K(t)$, gdzie $K(t)$ jest liczbą bakterii w próbce po czasie $t$ wyrażonym w godzinach, jaki upłynął od chwili$t=0$ rozpoczęcia obserwacji. Gdy upłynęły dokładnie trzy godziny od chwili$t=0$, liczba $K$ bakterii była równa:

A $3$

B $100$

C $1000$

D $10000$

10

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie nierówności Logarytm

▼

🔗

Liczba $log_{2}\left[(\sqrt{2})^2\cdot(\sqrt{2})^4\cdot(\sqrt{2})^8\right]$ jest równa:

A $\sqrt{2}$

B $7$

C $14$

D $2^7$

11

Otwarte 3 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie nierówności

▼

🔗

Rozważmy takie liczby rzeczywiste $a$ i $b$, które spełniają warunki:

$$a\neq0, b\neq0 \text{ oraz } a^3+b^3=(a+b)^3$$

Oblicz wartość liczbową wyrażenia $\frac{a}{b}$ dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$, spełniających powyższe warunki.

12

Otwarte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie nierówności

▼

🔗

Dane jest wyrażenie $W(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)$

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wartość wyrażenia $W(x)$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq1$.
Wyrażenie $W(x)$ można przekształcić równoważnie do wyrażenia $\dfrac{2x}{x^2-1}$.

Wartość wyrażenia $W(x)$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq1$.

Prawda

Fałsz

Wyrażenie $W(x)$ można przekształcić równoważnie do wyrażenia $\dfrac{2x}{x^2-1}$.

Prawda

Fałsz

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wartości mianowników muszą być różne od zera, zatem $x-1\neq0$ oraz $x+1\neq0$. Z pierwszego równania otrzymamy $x\neq1$, a z drugiego $x\neq-1$. Pierwsze zdanie jest więc nieprawdą, bo wynika z niego, że moglibyśmy mieć $x=-1$.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Naszym celem jest uproszczenie podanego wyrażenia. Jak dodać do siebie dwa ułamki, które znajdują się w nawiasach? Musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka musimy przemnożyć przez $x+1$, a licznik oraz mianownik drugiego ułamka przez $x-1$. Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)= \           ,\
=\frac{1}{2}\left(\frac{(x+1)\cdot(x+1)}{(x-1)\cdot(x+1)}-\frac{(x-1)\cdot(x-1)}{(x+1)\cdot(x+1)}\right)= \           ,\
=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}-\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}\right)= \           ,\
=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1-(x^2-2x+1)}{x^2-1}\right)= \           ,\
=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{x^2-1}\right)= \           ,\
=\frac{1}{2}\left(\frac{4x}{x^2-1}\right)= \           ,\
=\frac{2x}{x^2-1}$$

Zdanie jest więc prawdą.

13

Otwarte 3 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie równań Rozwiązywanie nierówności Wzory skróconego mnożenia

▼

🔗

Rozwiąż równanie $(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0$

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Zapisanie równania kwadratowego.
Aby rozwiązać tego typu równanie czwartego stopnia, musimy zapisać, że $t=(x-1)^2$. Dzięki temu będziemy mogli zapisać równanie z treści zadania jako równanie kwadratowe:
$$(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0 \           ,\
((x-1)^2)^2-5(x-1)^2+6=0 \           ,\
t^2-5t+6=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: $a=1,\;b=-5,\;c=6$
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \           ,\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Rozwiązanie równania.
W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że $t=(x-1)^2$. Wiemy już, że $t=2$ lub $t=3$, a skoro tak, to:
$$(x-1)^2=2 \quad\lor\quad (x-1)^2=3$$

Otrzymaliśmy dwa równania kwadratowe, w których po prawej stronie nie mamy zera (nie możemy więc przyrównać wartości w nawiasach do zera). Możemy je oczywiście przekształcić do postaci ogólnej i całość obliczyć za pomocą delty, jednak będzie to dość czasochłonne. Tego typu równania najprościej będzie rozwiązać korzystając z wartości bezwzględnej. Pierwiastkując obydwie strony równań, możemy zapisać, że:
$$|x-1|=\sqrt{2} \quad\lor\quad |x-1|=\sqrt{3} \           ,\
x-1=\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=\sqrt{3} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{3} \           ,\
x=\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=\sqrt{3}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{3}+1$$

14

Otwarte 2 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie nierówności

▼

🔗

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $20n^2+30n+7$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$.

15

Otwarte 3 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie nierówności

▼

🔗

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne $a$ i $b$ takie, że obie są niepodzielne przez $3$.

Udowodnij, że liczba 𝒂$a^3+b^3$ jest podzielna przez $9$.

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Jeżeli przyjmiemy, że $k$ jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczbę niepodzielną przez $3$ możemy zapisać jako $3k+1$. Przykładowo, gdy $k=4$, to otrzymamy $3\cdot4+1=13$ i faktycznie, jest to liczba niepodzielna przez $3$. W takim razie oznaczmy sobie taką liczbę jako $a$, czyli $a=3k+1$. Liczba $b$ musi być o $1$ większa (bo z treści zadania wynika, że $a$ i $b$ są kolejnymi liczbami naturalnymi), więc $b=3k+2$.

Krok 2. Rozpisanie podanej liczby
Musimy teraz podstawić do zapisu $a^3+b^3$ wartości $a=3k+1$ oraz $b=3k+2$ i skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia:
$$(3k+1)^3+(3k+2)^3= \ ,\
=27k^3+27k^2+9k+1+27k^3+54k^2+36k+8= \ ,\
=54k^3+81k^2+45k+9$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Aby udowodnić, że otrzymane $54k^3+81k^2+45k+9$ jest podzielne przez $9$, wystarczy wyłączyć dziewiątkę przed nawias, otrzymując:
$$9\cdot(6k^3+9k^2+5k+1)$$

Wartość $6k^3+9k^2+5k+1$ jest na pewno liczbą całkowitą, bo $6k^3, 9k^2, 5k$ oraz $1$ to liczby całkowite. Otrzymaliśmy więc wynik z którego wynika, że liczba $a^3+b^3$ jest jak najbardziej podzielna przez $9$, a wynikiem tego dzielenia byłoby właśnie $6k^3+9k^2+5k+1$.

16

Otwarte 3 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie nierówności

▼

🔗

Dany jest wielomian $W(x)=3x^3+mx^2+3x-2$, gdzie $m$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać w postaci iloczynowej $W(x)=(x+2)Q(x)$, gdzie $Q(x)$ jest pewnym trójmianem kwadratowym. Wyznacz wielomian $Q(x)$ oraz oblicz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu $W(x)$.

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Rozpisanie wielomianu $W(x)$.
Na początku ustalmy o co chodzi w zapisie $W(x)=(x+2)Q(x)$. Mówiąc wprost - jeżeli podzielimy wielomian $W(x)$ przez $x+2$, to otrzymamy wielomian $Q(x)$ (którego wartości poszukujemy).

Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie skorzystać z informacji, że wielomian $Q(x)$ jest trójmianem kwadratowym, co oznacza, że możemy go zapisać jako $ax^2+bx+c$. Skoro tak, to:
$$W(x)=(x+2)Q(x) \           ,\
W(x)=(x+2)(ax^2+bx+c) \           ,\
W(x)=ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c \           ,\
W(x)=ax^3+2ax^2+bx^2+2bx+cx+2c \           ,\
W(x)=ax^3+(2a+b)x^2+(2b+c)x+2c$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości wszystkich współczynników.
Z treści zadania wiemy, że wielomian $W(x)$ jest równy $3x^3+mx^2+3x-2$. Musimy więc przyrównać to do otrzymanej postaci $ax^3+(2a+b)x^2+(2b+c)x+2c$ i w ten sposób poznamy wszystkie wartości współczynników:
$$\color{green}{a}x^3+\color{red}{(2a+b)}x^2+\color{blue}{(2b+c)}x+\color{purple}{2}c \           ,\
\color{green}{3}x^3+\color{red}{m}x^2+\color{blue}{3}x\color{purple}{-2}$$

Wynika z tego, że:
$$a=3 \           ,\
2a+b=m \           ,\
2b+c=3 \           ,\
2c=-2 \Rightarrow c=-1$$

Z powyższej rozpiski wiemy już, że $a=3$ oraz $c=-1$. Jak spojrzymy na trzecie równanie, to będziemy mogli teraz obliczyć wartość $b$, zatem:
$$2b+c=3 \           ,\
2b-1=3 \           ,\
2b=4 \           ,\
b=2$$

I teraz wracamy do drugiego równania, otrzymując:
$$2a+b=m \           ,\
2\cdot3+2=m \           ,\
m=8$$

Mamy więc komplet informacji: $a=3, b=2, c=-1$ oraz $m=8$, zatem $W(x)=3x^3+8x^2+3x-2$ oraz $Q(x)=3x^2+2x-1$.

Krok 3. Wyznaczenie pierwiastków wielomianu $W(x)$.
Musimy jeszcze wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu $W(x)$, czyli mówiąc wprost - musimy ustalić kiedy $3x^3+8x^2+3x-2$ będzie równe $0$. Jest to wielomian trzeciego stopnia, więc nie będzie to takie proste, ale przecież mamy informację, że $W(x)=(x+2)Q(x)$, czyli tym samym $W(x)=(x+2)(3x^2+2x-1)$. Skoro tak, to pierwiastki wyznaczymy w następujący sposób:
$$(x+2)(3x^2+2x-1)=0 \           ,\
x+2=0 \quad\lor\quad 3x^2+2x-1=0$$

Z pierwszego równania widzimy, że otrzymamy $x=-2$. Drugie równanie jest równaniem kwadratowym zapisanym w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: $a=3,\;b=2,\;c=-1$
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot3\cdot(-1)=4-(-12)=16 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-4}{2\cdot3}=\frac{-6}{6}=-1 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+4}{2\cdot3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

Skoro tak, to pierwiastkami wielomianu będą:
$$x=-2 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad \frac{1}{3}$$

17

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Rozwiązywanie nierówności

Informator maturalny CKE 2023 — zadania z rozwiązaniami

Informator maturalny CKE 2023 — zadania z rozwiązaniami

Wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\).

Wyrażenie \(W(x)\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \(\dfrac{2x}{x^2-1}\).