📄 Treść zadania
Dany jest wielomian \(W(x)=3x^3+mx^2+3x-2\), gdzie \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać w postaci iloczynowej \(W(x)=(x+2)Q(x)\), gdzie \(Q(x)\) jest pewnym trójmianem kwadratowym. Wyznacz wielomian \(Q(x)\) oraz oblicz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu \(W(x)\).
Krok 1. Rozpisanie wielomianu \(W(x)\).
Na początku ustalmy o co chodzi w zapisie \(W(x)=(x+2)Q(x)\). Mówiąc wprost - jeżeli podzielimy wielomian \(W(x)\) przez \(x+2\), to otrzymamy wielomian \(Q(x)\) (którego wartości poszukujemy).
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie skorzystać z informacji, że wielomian \(Q(x)\) jest trójmianem kwadratowym, co oznacza, że możemy go zapisać jako \(ax^2+bx+c\). Skoro tak, to:
$$W(x)=(x+2)Q(x) \ ,\
W(x)=(x+2)(ax^2+bx+c) \ ,\
W(x)=ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c \ ,\
W(x)=ax^3+2ax^2+bx^2+2bx+cx+2c \ ,\
W(x)=ax^3+(2a+b)x^2+(2b+c)x+2c$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości wszystkich współczynników.
Z treści zadania wiemy, że wielomian \(W(x)\) jest równy \(3x^3+mx^2+3x-2\). Musimy więc przyrównać to do otrzymanej postaci \(ax^3+(2a+b)x^2+(2b+c)x+2c\) i w ten sposób poznamy wszystkie wartości współczynników:
$$\color{green}{a}x^3+\color{red}{(2a+b)}x^2+\color{blue}{(2b+c)}x+\color{purple}{2}c \ ,\
\color{green}{3}x^3+\color{red}{m}x^2+\color{blue}{3}x\color{purple}{-2}$$
Wynika z tego, że:
$$a=3 \ ,\
2a+b=m \ ,\
2b+c=3 \ ,\
2c=-2 \Rightarrow c=-1$$
Z powyższej rozpiski wiemy już, że \(a=3\) oraz \(c=-1\). Jak spojrzymy na trzecie równanie, to będziemy mogli teraz obliczyć wartość \(b\), zatem:
$$2b+c=3 \ ,\
2b-1=3 \ ,\
2b=4 \ ,\
b=2$$
I teraz wracamy do drugiego równania, otrzymując:
$$2a+b=m \ ,\
2\cdot3+2=m \ ,\
m=8$$
Mamy więc komplet informacji: \(a=3, b=2, c=-1\) oraz \(m=8\), zatem \(W(x)=3x^3+8x^2+3x-2\) oraz \(Q(x)=3x^2+2x-1\).
Krok 3. Wyznaczenie pierwiastków wielomianu \(W(x)\).
Musimy jeszcze wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu \(W(x)\), czyli mówiąc wprost - musimy ustalić kiedy \(3x^3+8x^2+3x-2\) będzie równe \(0\). Jest to wielomian trzeciego stopnia, więc nie będzie to takie proste, ale przecież mamy informację, że \(W(x)=(x+2)Q(x)\), czyli tym samym \(W(x)=(x+2)(3x^2+2x-1)\). Skoro tak, to pierwiastki wyznaczymy w następujący sposób:
$$(x+2)(3x^2+2x-1)=0 \ ,\
x+2=0 \quad\lor\quad 3x^2+2x-1=0$$
Z pierwszego równania widzimy, że otrzymamy \(x=-2\). Drugie równanie jest równaniem kwadratowym zapisanym w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=3,\;b=2,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot3\cdot(-1)=4-(-12)=16 \ ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-4}{2\cdot3}=\frac{-6}{6}=-1 \ ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+4}{2\cdot3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$
Skoro tak, to pierwiastkami wielomianu będą:
$$x=-2 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad \frac{1}{3}$$