Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2=(\sqrt{5})^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2= \           ,\
=5+4\sqrt{15}+4\cdot3=5+4\sqrt{15}+12=17+4\sqrt{15}$$

W tym zadaniu musimy poprawnie skorzystać z działań na potęgach i pierwiastkach. Wiedząc, że \(9=3^2\) i że \(\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$\sqrt[4]{9\cdot\sqrt{3}}=\sqrt[4]{3^2\cdot3^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[4]{3^{2+\frac{1}{2}}}=\sqrt[4]{3^{\frac{5}{2}}}=\left(3^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{4}}=3^{\frac{5}{8}}$$

Korzystając z działań na logarytmach możemy przenieść liczby stojące przed logarytmami do wykładników potęg, co pozwoli nam rozpisać całość w następujący sposób:
$$2log5+3log2=log5^2+log2^3=log(5^2\cdot2^3)$$

Rozwiązując nierówność otrzymamy:
$$\frac{5(4-x)}{2}\lt x \           ,\
5(4-x)\lt2x \           ,\
20-5x\lt2x \           ,\
20\lt7x \           ,\
x\gt2\frac{6}{7}$$

Otrzymaliśmy informację, że nierówność jest spełniana przez wszystkie liczby większe od \(2\frac{6}{7}\), zatem najmniejszą liczbą całkowitą spełnianą przez tę nierówność będzie \(3\).

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej zestawu liczb.
Na początek musimy poznać dokładną wartość średniej arytmetycznej zestawu naszych liczb. Skoro mamy \(128\) razy liczbę \(4\) i \(122\) razy liczbę \(2\), to średnia będzie równa:
$$\bar{a}=\frac{128\cdot4+122\cdot2}{250} \           ,\
\bar{a}=\frac{512+244}{250} \           ,\
\bar{a}=\frac{756}{250} \           ,\
\bar{a}=3,024$$

Krok 2. Obliczenie błędu bezwzględnego.
Błąd bezwzględny obliczymy ze wzoru:
$$Δx=|x-p|$$

W powyższym wzorze \(Δx\) to błąd bezwzględny, \(x\) to wartość dokładna, natomiast \(p\) to wartość przybliżona. Wiemy już, że dokładna średnia jest równa \(x=3,024\), natomiast wartość przybliżona to \(p=3\), zatem:
$$Δx=|3,024-3| \           ,\
Δx=|0,024| \           ,\
Δx=0,024$$

Rozpiszmy to sobie wszystko bardzo dokładnie:
Początkowa cena: \(3500\)
Cena po pierwszej obniżce: \(0,9\cdot3500=3150\)
Cena po drugiej obniżce: \(0,85\cdot3150=2677,50\)

To oznacza, że cena komputera po dwóch obniżkach wynosi \(2677,50zł\).

Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego.
Wiemy, że te dwie funkcje mają jednakowe miejsce zerowe. Możemy je wyliczyć, bazując na funkcji \(f(x)\). Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Możemy zatem zapisać, że:
$$-4x+12=0 \           ,\
-4x=-12 \           ,\
x=3$$

To oznacza, że miejscem zerowym funkcji \(f\) (a tym samym także funkcji \(g\)) będzie \(x=3\).

Krok 2. Obliczenie wartości parametru \(k\).
Wiemy już, że nasza funkcja \(g\) ma miejsce zerowe \(x=3\). Możemy zatem zapisać, że:
$$-2x+k+3=0 \           ,\
-2\cdot3+k+3=0 \           ,\
-6+k+3=0 \           ,\
k-3=0 \           ,\
k=3$$

Funkcja zapisana jest w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Możemy więc zauważyć, że parametr \(m\) jest równy współrzędnej \(q\) wierzchołka paraboli.

Z własności funkcji kwadratowych wynika, że funkcja przyjmuje największą lub najmniejszą wartość w swoim wierzchołku. Nasza funkcja ma ramiona paraboli skierowane do dołu (bowiem współczynnik \(a\) jest ujemny), czyli w wierzchołku będzie przyjmowana największa wartość tej funkcji. Ze zbioru wartości wynika, że największą wartością funkcji jest \(-5\), czyli że \(q=-5\). To oznacza, że tym samym \(m=-5\).

Oś symetrii zawsze przechodzi przez wierzchołek paraboli:


Widzimy więc, że musimy poznać współrzędną \(p\) wierzchołka naszej paraboli, a w tym celu możemy posłużyć się następującym wzorem:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Współczynniki \(b\) oraz \(a\) odczytamy wprost ze wzoru funkcji \(f(x)=\frac{1}{3}x^2+4x+7\). Funkcja ta jest zapisana w postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\), zatem widzimy, że w naszym przypadku \(a=\frac{1}{3}\) oraz \(b=4\). Podstawiając te współczynniki do wzoru na współrzędną \(p\), otrzymamy:
$$p=\frac{-4}{2\cdot\frac{1}{3}} \           ,\
p=\frac{-4}{\frac{2}{3}} \           ,\
p=(-4)\cdot\frac{3}{2} \           ,\
p=-6$$

To oznacza, że osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=-6\).

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Współczynnik \(a\) informuje nas o kierunku ułożenia ramion paraboli. W naszym przypadku ramiona paraboli są skierowane do góry, a to oznacza, że \(a\gt0\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(c\).
Współczynnik \(c\) informuje nas o miejscu przecięcia się wykresu z osią \(OY\). Możemy powiedzieć, że parabola przecina oś w punkcie \(P=(0;c)\). Podana na rysunku parabola przecina oś \(OY\) dla dodatniej wartości (czyli nad osią iksów), zatem \(c\gt0\).

To oznacza, że obydwa współczynniki są dodatnie, czyli że \(\begin{cases}a\gt0 \\ c\gt0 \end{cases}\).

Krok 1. Wprowadzenie założeń do zadania.
W mianowniku nie możemy mieć wartości równej zero, dlatego że w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero. W związku z tym musimy zapisać założenie, że:
$$x^2+x\neq0 \           ,\
x(x+1)\neq0 \           ,\
x\neq0 \quad\lor\quad x+1\neq0 \           ,\
x\neq0 \quad\lor\quad x\neq-1$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając założenia możemy przejść do obliczeń. Mnożąc obydwie strony równania przez \(x^2+x\) otrzymamy:
$$\frac{x^2-3x}{x^2+x}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2+x) \           ,\
x^2-3x=0$$

Ponownie mamy na swojej drodze równanie kwadratowe. Możemy oczywiście obliczyć deltę (pamiętając, że tutaj współczynnik \(c=0\)), natomiast dużo prościej będzie po prostu wyłączyć \(x\) przed nawias:
$$x^2-3x=0 \           ,\
x(x-3)=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=3$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Musimy jeszcze sprawdzić nasze rozwiązania z założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=0\) musimy odrzucić, zatem zostaje nam jedynie \(x=3\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.
Długość promienia okręgu możemy obliczyć korzystając ze wzoru na długość odcinka. Jednak prościej będzie skorzystać z rysunku pomocniczego, bowiem wprost widzimy, że utworzył nam się tutaj trójkąt prostokątny o przyprostokątnych o długości \(1\) (taka połówka kwadratu). Możemy więc od razu zauważyć, że \(r=\sqrt{2}\) (bo przekątna kwadratu jest \(\sqrt{2}\) razy dłuższa od boku kwadratu). Ewentualnie możemy posłużyć się Twierdzeniem Pitagorasa:
$$1^2+1^2=r^2 \           ,\
1+1=r^2 \           ,\
r^2=2 \           ,\
r=\sqrt{2} \quad\lor\quad r=-\sqrt{2}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości okręgu.
Korzystając ze wzoru na obwód okręgu możemy zapisać, że:
$$Obw=2\pi r \           ,\
Obw=2\pi\cdot\sqrt{2}$$

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\) prostej \(l\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki \(a\). To oznacza, że prosta \(l\) musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\) prostej \(l\).
Punkt \(P\) należący do prostej \(l\) jest bardzo charakterystyczny - jest to miejsce przecięcia się prostej z osią \(OY\). Z własności prostych wiemy, że w takiej sytuacji współczynnik \(b=7\).

To oznacza, że prosta \(l\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+7\).

Krok 1. Zapisanie znanych współrzędnych punktów \(P\) oraz \(Q\).
Jeżeli punkt \(P\) leży na osi \(OY\) to na pewno współrzędne tego punktu będziemy mogli zapisać jako \(P=(0;y_{P})\). Analogicznie skoro punkt \(Q\) leży na osi \(OX\), to \(Q=(x_{Q};0)\).

Krok 2. Obliczenie brakujących współrzędnych punktów \(P\) oraz \(Q\).
Teraz będziemy korzystać ze wzorów na środek odcinka. Możemy zapisać, że:
$$x_{S}=\frac{x_{P}+x_{Q}}{2} \           ,\
4=\frac{0+x_{Q}}{2} \           ,\
8=0+x_{Q} \           ,\
x_{Q}=8 \           ,\
\quad \           ,\
y_{S}=\frac{y_{P}+y_{Q}}{2} \           ,\
8=\frac{y_{P}+0}{2} \           ,\
16=y_{P}+0 \           ,\
y_{P}=16$$

To oznacza, że \(P=(0;16)\) oraz \(Q=(8;0)\).

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa trójkątów.
Z własności podobieństwa wynika, że jeżeli jakiś trójkąt jest podobny do drugiego w skali podobieństwa równej \(k\), to pole tego trójkąta będzie \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku pole trójkąta \(ADC\) jest \(4\) razy większe od trójkąta \(CDB\), zatem:
$$k^2=4 \           ,\
k=2 \quad\lor\quad k=-2$$

Skala podobieństwa nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(k=2\).

Krok 2. Obliczenie długości przyprostokątnej \(BC\).
Wiemy już, że skala podobieństwa jest równa \(k=2\), czyli że wszystkie boki trójkąta \(ADC\) są dwa razy większe od analogicznych boków trójkąta \(CDB\).

Bok \(BC\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(CDB\), tak samo jak bok \(CA\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(ADC\). Skoro tak, to bok \(BC\) będzie dwa razy krótszy od boku \(CA\), czyli \(|BC|=3\).

W tym zadaniu