Jeśli najmniejszą z tych liczb oznaczymy jako \(n\), to:
$$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=195 \           ,\
5n+10=195 \           ,\
5n=185 \           ,\
n=37$$

Krok 1. Obliczenie wysokości obniżki.
$$220zł-176zł=44zł$$

Krok 2. Obliczenie o ile procent obniżono cenę butów.
Cenę obniżono o \(44zł\) z \(220zł\), czyli:
$$\frac{44}{220}\cdot100\%=\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%$$

Aby móc rozwiązać to zadanie to musimy liczbę \(20\) rozbić na iloczyn \(4\cdot5\), a następnie wykonać poprawnie działania na potęgach. Całość krok po kroku będzie wyglądać następująco:
$$\require{cancel}\frac{4^5\cdot5^4}{20^4}=\frac{4^5\cdot5^4}{(4\cdot5)^4}=\frac{4^5\cdot\cancel{5^4}}{4^4\cdot\cancel{5^4}}=\frac{4^5}{4^4}= \           ,\
=4^5:4^4=4^{5-4}=4^1=4$$

Zawarte w tym zadaniu logarytmy najprościej jest obliczyć zamieniając odpowiednio \(729\) oraz \(36\) na potęgi liczb naturalnych, które znalazły się w podstawie logarytmu:
$$729=3^6 \           ,\
36=6^2$$

To oznacza, że całość logarytmu możemy rozwiązać w następujący sposób:
$$\frac{\log_{3}729}{\log_{6}36}=\frac{\log_{3}3^6}{\log_{6}6^2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Na początku musimy rozwiązać tę nierówność tak jak każdą inną, a więc:
$$\frac{x}{5}+\sqrt{7}\gt0 \quad\bigg/-\sqrt{7} \           ,\
\frac{x}{5}\gt-\sqrt{7} \quad\bigg/\cdot5 \           ,\
x\gt-5\sqrt{7}$$

Krok 2. Zaokrąglenie wyniku i wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Na kalkulatorze możemy obliczyć, że \(-5\sqrt{7}\approx-13,23\). Szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która jest większa od \(-13,23\). Taką liczbą jest oczywiście \(-13\), tak więc prawidłowa była druga odpowiedź.

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Wzór funkcji jest podany w postaci iloczynowej, tak więc miejsca zerowe wyznaczymy przyrównując wartość każdego z nawiasów do zera.
$$(x-1)(x-9)=0 \           ,\
x-1=0 \quad\lor\quad x-9=0 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad x=9$$

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli.
Aby móc określić w jakim przedziale ta funkcja jest rosnąca musimy poznać współrzędną iksową wierzchołka paraboli. I właśnie do uzyskania tej informacji przydadzą nam się miejsca zerowe, które obliczyliśmy w pierwszym kroku, bowiem wierzchołek paraboli będzie pomiędzy po środku między jednym i drugim miejscem zerowym. Zatem:
$$x_{W}=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Krok 3. Wyznaczenie przedziału dla którego funkcja \(f\) jest rosnąca:
Dla przejrzystości zadania zróbmy sobie jeszcze na rysunek szkicowy.



Ramiona paraboli są skierowane do góry, bo przed wartościami \(x\) nie było minusów. Funkcja będzie więc rosnąć od wierzchołka (po to właśnie obliczaliśmy jego współrzędną \(x_{W}\)) aż do nieskończoności. Poszukiwanym przedziałem jest więc \(\langle5;+\infty)\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Nie jest to krok obowiązkowy, ale z pewnością ułatwi nam wybór prawidłowej odpowiedzi. To co najważniejsze w tym rysunku to fakt, że dzięki niemu widzimy wyraźnie, że funkcja \(g(x)\) przecina oś \(Oy\) w miejscu \(A=(0;2)\). Przyda nam się to do wyznaczenia współczynnika \(b\).



Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\) funkcji \(g(x)\).
Funkcja \(g(x)\) jest funkcją liniową, tak więc możemy zapisać ją w postaci \(g(x)=ax+b\). Aby poznać pełny wzór funkcji musimy obliczyć (albo odczytać z wykresu) wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od współczynnika \(b\), który bardzo szybko odczytamy z miejsca przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) na wysokości dwóch jednostek, to \(b=2\).

W ten oto sposób wiemy już, że prawidłowa jest albo pierwsza, albo trzecia odpowiedź.

Krok 3. Ustalenie wartości współczynnika \(a\) funkcji \(g(x)\).
Funkcja \(g(x)\) jest funkcją rosnącą. To oznacza, że współczynnik \(a\) musi być dodatni, więc pasowałyby nam tylko dwie pierwsze odpowiedzi. Drugą odpowiedź odrzuciliśmy jednak już wcześniej ze względu na współczynnik \(b=2\). W ten oto sposób wiemy już, że nasza funkcja ma następujący wzór: \(g(x)=2x+2\).

Iloraz \(q\) wyznaczymy sobie z następującego wzoru:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Znamy czwarty wyraz ciągu, znamy też pierwszy, więc wystarczy podstawić te wszystkie dane do powyższego wzoru:
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \           ,\
-216=8\cdot q^3 \           ,\
q^3=-27 \           ,\
q=-3$$

Krok 1. Obliczenie wartości cosinusa.
W zadaniu skorzystamy z tzw. "jedynki trygonometrycznej" opisanej wzorem \(sin^2α+cos^2α=1\). Do tego wzoru podstawimy sobie wartość sinusa z treści zadania i w ten sposób wyznaczymy wartość cosinusa, zatem:
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
\left(\frac{4}{5}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\
\frac{16}{25}+cos^2α=1 \           ,\
cos^2α=\frac{9}{25} \           ,\
cosα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{5}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo cosinus dla kątów ostrych przyjmuje jedynie wartości dodatnie.

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα-cosα\).
Znając wartości sinusa i cosinusa pozostaje nam już tylko obliczenie końcowej wartości wyrażenia:
$$sinα-cosα=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$$

Skoro funkcja nie ma miejsc zerowych, to na pewno \(Δ\lt0\). Zanim skorzystamy z tej informacji to spróbujmy obliczyć tę deltę tak jak zazwyczaj robimy to przy równaniach i nierównościach kwadratowych:

Krok 1. Obliczenie delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=3a\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot3a=4-12a$$

Krok 2. Obliczenie wartości jakie przyjmuje parametr \(a\).
Skoro delta musi być mniejsza od zera, to obliczona przed chwilą wartość \(4-12a\) będzie mniejsza od zera. W ten oto sposób wyznaczymy przedział wartości parametru \(a\):
$$4-12a\lt0 \           ,\
-12a\lt-4 \           ,\
12a\gt4 \           ,\
a\gt\frac{1}{3}$$

(Podczas rozwiązywania tej nierówności pamiętaj o zmianie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną!)

Podstawiając \(n=2\) do wzoru na sumę wyrazów obliczymy sumę dwóch pierwszych wyrazów, a podstawiając \(n=1\) otrzymamy tak naprawdę wartość pierwszego wyrazu. Różnica między tymi wynikami będzie więc odpowiadać wartości drugiego wyrazu tego ciągu. Zatem:
$$a_{2}=S_{2}-S_{1} \           ,\
a_{2}=2\cdot2^2+2-(2\cdot1^2+1) \           ,\
a_{2}=2\cdot4+2-(2\cdot1+1) \           ,\
a_{2}=10-3 \           ,\
a_{2}=7$$

Krok 1. Rozwiązanie układu równań.
\begin{cases}
2x-3y=5 \           ,\
-4x+6y=-10 \quad\bigg/:(-2)
\end{cases}\begin{cases}
2x-3y=5 \           ,\
2x-3y=5
\end{cases}

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W układzie równań uzyskaliśmy dwa identyczne równania. To oznacza, że te dwie proste pokrywają się ze sobą, a więc tworzą układ o nieskończonej liczbie rozwiązań.

$$\frac{|3-9|}{-3}=\frac{6}{-3}=-2$$

Dosyć istotną informację przydatną do rozwiązania tego zadania musimy odczytać bezpośrednio z czterech proponowanych odpowiedzi. Widzimy, że każda prosta jest opisana wzorem \(y=2x+b\) i to właśnie ten współczynnik \(b\) jest zmienny dla każdej z odpowiedzi. Naszym zadaniem jest więc obliczyć wartość tego współczynnika. Aby tego dokonać do wzoru \(y=2x+b\) podstawimy sobie współrzędne \(x=m-1\) oraz \(y=2m+5\).
$$y=2x+b \           ,\
2m+5=2(m-1)+b \           ,\
2m+5=2m-2+b \           ,\
b=7$$

Spróbujmy stworzyć rysunek poglądowy:


Kiedy naniesiemy sobie wszystkie dane z treści zadania na szkic rysunku to okaże się, że tak naprawdę musimy obliczyć długość podstawy trójkąta prostokątnego. To oznacza, że będziemy mogli skorzystać z funkcji trygonometrycznych albo też z własności trójkątów \(30°,60°,90°\). Zatem:
$$\frac{r}{6}=sin60° \           ,\
\frac{r}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \           ,\
r=3\sqrt{3}$$

W tym zadaniu tak naprawdę musimy tylko odczytać z tablic poszczególne wartości i wykonać poprawnie działania na pierwiastkach i potęgach:
$$(tg60°+tg45°)^2-sin60°= \           ,\
=(\sqrt{3}+1)^2-\frac{\sqrt{3}}{2}= \           ,\
=3+2\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}= \           ,\
=\frac{2\cdot(3+2\sqrt{3}+1)}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}= \           ,\
=\frac{8+4\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}= \           ,\
=\frac{8+3\sqrt{3}}{2}= \           ,\
=4+\frac{3\sqrt{3}}{2}$$