1) Warunek istnienia pierwiastków rzeczywistych.
\(\Delta=(m-5)^2-4\left(m^2+m+\tfrac14\right)=(m-5)^2-\left(2m+1\right)^2\).
Ze wzoru na różnicę kwadratów:
\(\Delta=\bigl[(m-5)-(2m+1)\bigr]\bigl[(m-5)+(2m+1)\bigr]=(-m-6)(3m-4)\).
\(\Delta\ge0\ \Longleftrightarrow\ (m+6)(3m-4)\le0\ \Longleftrightarrow\ m\in\left\langle-6,\tfrac43\right\rangle\).
2) Wzór badanej funkcji. Ze wzorów Viète'a:
\(x_1+x_2=5-m\), \(\ x_1x_2=m^2+m+\tfrac14=\left(m+\tfrac12\right)^2\),
więc
\(f(m)=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{5-m}{\left(m+\tfrac12\right)^2}\), przy czym \(m\neq-\tfrac12\).
Dziedzina: \(m\in\left\langle-6,-\tfrac12\right)\cup\left(-\tfrac12,\tfrac43\right\rangle\).
3) Pochodna. Ze wzoru na pochodną ilorazu:
\(f'(m)=\dfrac{-\left(m+\tfrac12\right)^2-(5-m)\cdot2\left(m+\tfrac12\right)}{\left(m+\tfrac12\right)^4}=\dfrac{-\left(m+\tfrac12\right)-2(5-m)}{\left(m+\tfrac12\right)^3}=\dfrac{m-\tfrac{21}{2}}{\left(m+\tfrac12\right)^3}\).
Miejsce zerowe pochodnej: \(m=\tfrac{21}{2}\) — leży poza dziedziną.
4) Znak pochodnej. Licznik \(m-\tfrac{21}{2}\) jest ujemny w całej dziedzinie, więc znak \(f'\) zależy od mianownika:
• dla \(m\in\left\langle-6,-\tfrac12\right)\): \(\left(m+\tfrac12\right)^3\lt 0\), więc \(f'(m)>0\) — funkcja rośnie,
• dla \(m\in\left(-\tfrac12,\tfrac43\right\rangle\): \(\left(m+\tfrac12\right)^3>0\), więc \(f'(m)\lt 0\) — funkcja maleje.
5) Wartość najmniejsza. Kandydatami są końce przedziałów:
\(f(-6)=\dfrac{11}{\left(-\tfrac{11}{2}\right)^2}=\dfrac{11}{\tfrac{121}{4}}=\dfrac{4}{11}\),
\(f\!\left(\tfrac43\right)=\dfrac{5-\tfrac43}{\left(\tfrac{11}{6}\right)^2}=\dfrac{\tfrac{11}{3}}{\tfrac{121}{36}}=\dfrac{12}{11}\).
Ponieważ \(\tfrac{4}{11}\lt \tfrac{12}{11}\), wartość najmniejsza wynosi
\(\dfrac{4}{11}\) i jest przyjmowana dla \(m=-6\).
(Dla \(m=-6\) jest \(\Delta=0\), więc równanie ma jeden pierwiastek podwójny \(x_1=x_2=\tfrac{11}{2}\), a stosunek sumy do iloczynu wynosi \(\tfrac{11}{121/4}=\tfrac{4}{11}\).)