LekcjeRazem

a) Badamy różnicę kolejnych wyrazów:

\(a_{n+1}-a_n=\dfrac{5n+11}{10(n+2)}-\dfrac{5n+6}{10(n+1)}=\dfrac{(5n+11)(n+1)-(5n+6)(n+2)}{10(n+1)(n+2)}\).

Licznik: \((5n^2+16n+11)-(5n^2+16n+12)=-1\), zatem

\(a_{n+1}-a_n=\dfrac{-1}{10(n+1)(n+2)}\lt 0\) dla każdego \(n\ge1\).

Ciąg jest więc malejący.

b)

\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{5n+6}{10n+10}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{5+\tfrac6n}{10+\tfrac{10}{n}}=\dfrac{5}{10}=\dfrac12\).

c) Ciąg jest malejący, więc największym jego wyrazem jest

\(a_1=\dfrac{11}{20}\),

a wartości ciągu maleą do granicy \(\tfrac12\), której nie osiągają, ale do niej dążą. Zatem

\(\dfrac12\lt a_n\le\dfrac{11}{20}\) dla każdego \(n\),

a największą liczbą \(a\) i najmniejszą liczbą \(b\) spełniającymi warunek \(a\le a_n\le b\) są

\(a=\dfrac12\), \(\ b=\dfrac{11}{20}\).