LekcjeRazem

a) Wykres funkcji \(y=\sin2x\) powstaje z wykresu sinusa przez dwukrotne „ściśnięcie” wzdłuż osi \(Ox\): okres wynosi \(\pi\), miejsca zerowe to \(x=\tfrac{k\pi}{2}\), a wartości należą do \(\langle-1,1\rangle\). W przedziale \(\langle-2\pi,2\pi\rangle\) mieści się dokładnie cztery pełne okresy.

b) Funkcja \(y=\dfrac{|\sin2x|}{\sin2x}\) jest określona dla \(\sin2x\neq0\), czyli dla \(x\neq\tfrac{k\pi}{2}\), i przyjmuje tylko dwie wartości:

\(y=1\), gdy \(\sin2x>0\), oraz \(y=-1\), gdy \(\sin2x\lt 0\).

Wykresem jest więc „schodkowy” układ poziomych odcinków na wysokościach \(1\) i \(-1\), z punktami wyłączonymi w \(x=\tfrac{k\pi}{2}\).

Nierówność \(\dfrac{|\sin2x|}{\sin2x}\lt 0\) zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(\sin2x\lt 0\), czyli gdy \(2x\in(\pi+2k\pi,\ 2\pi+2k\pi)\), a więc \(x\in\left(\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\ \pi+k\pi\right)\).

W przedziale \(\langle-2\pi,2\pi\rangle\) daje to

\(x\in\left(-\tfrac{3\pi}{2},-\pi\right)\cup\left(-\tfrac{\pi}{2},0\right)\cup\left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right)\cup\left(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right)\).