LekcjeRazem

Przekątna \(BD\). Trójkąt \(ABD\) jest prostokątny w \(A\), więc

\(|BD|^2=|AD|^2+|AB|^2=7^2+24^2=49+576=625\), czyli \(|BD|=25\).

Bok \(BC\). Trójkąt \(BCD\) jest prostokątny w \(C\), a \(BD\) jest jego przeciwprostokątną:

\(|BC|^2=625-15^2=625-225=400\), czyli \(|BC|=20\).

Pole. \(P_{ABCD}=P_{ABD}+P_{BCD}=\tfrac12\cdot24\cdot7+\tfrac12\cdot20\cdot15=84+150=234\).

Przekątna \(AC\). Przyjmijmy \(A=(0,0)\), \(B=(24,0)\), \(D=(0,7)\). Punkt \(C=(x,y)\) spełnia \(|BC|=20\) i \(|CD|=15\):

\((x-24)^2+y^2=400\) oraz \(x^2+(y-7)^2=225\).

Odejmując równania stronami otrzymujemy \(24x-7y=176\), czyli \(y=\dfrac{24x-176}{7}\). Po podstawieniu do drugiego równania dostajemy \(25x^2-432x+1584=0\), \(\Delta=28224\), \(\sqrt{\Delta}=168\), stąd \(x=12\) lub \(x=5{,}28\).

Dla \(x=5{,}28\) mamy \(y=-7{,}04\lt 0\) — czworokąt nie byłby wtedy wypukły, więc tę możliwość odrzucamy. Dla \(x=12\) mamy \(y=16\), czyli \(C=(12,16)\).

Zatem \(|AC|=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\).

Odpowiedź: \(P=234\), \(|BD|=25\), \(|AC|=20\).