LekcjeRazem

Skoro okrąg jest styczny do osi \(OY\) w \((0,2)\) i do osi \(OX\) w \((2,0)\), to jego środek leży na prostej \(x=2\) i na prostej \(y=2\), więc \(S=(2,2)\), a promień \(r=2\).

Równanie okręgu: \((x-2)^2+(y-2)^2=4\).

Punkt \(C=(1,a)\) leży na okręgu: \((1-2)^2+(a-2)^2=4\), czyli \((a-2)^2=3\), stąd \(a=2+\sqrt3\) lub \(a=2-\sqrt3\).

Ponieważ \(2-\sqrt3\approx0{,}27\lt 1\), warunek \(a>1\) spełnia tylko \(a=2+\sqrt3\), więc \(C=(1,2+\sqrt3)\).

Współczynnik kierunkowy prostej \(CS\): \(m_{CS}=\dfrac{2-(2+\sqrt3)}{2-1}=-\sqrt3\).

Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności, więc \(m_l=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\).

Równanie prostej przechodzącej przez \(C\): \(y-(2+\sqrt3)=\dfrac{\sqrt3}{3}(x-1)\), czyli

\(y=\dfrac{\sqrt3}{3}x+2+\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{\sqrt3}{3}x+2+\dfrac{2\sqrt3}{3}\).