LekcjeRazem

Krok 1. Twierdzenie o reszcie. Reszta z dzielenia przez $x+1$ równa się $W(-1)$:

$$W(-1)=4\cdot(-1)-5\cdot1-23\cdot(-1)+m=-4-5+23+m=14+m.$$

$$14+m=20\ \Longrightarrow\ m=6.$$

Krok 2. Postać wielomianu.

$$W(x)=4x^{3}-5x^{2}-23x+6.$$

Krok 3. Szukanie pierwiastka wymiernego. Kandydatami są dzielniki wyrazu wolnego podzielone przez dzielniki współczynnika wiodącego. Sprawdzamy $x=3$:

$$W(3)=108-45-69+6=0\ \checkmark$$

Zatem $(x-3)$ jest dzielnikiem wielomianu.

Krok 4. Podział.

$$W(x)=(x-3)\left(4x^{2}+7x-2\right).$$

Sprawdzenie: $(x-3)\left(4x^{2}+7x-2\right)=4x^{3}+7x^{2}-2x-12x^{2}-21x+6=4x^{3}-5x^{2}-23x+6$ ✓

Krok 5. Pozostałe pierwiastki.

$$4x^{2}+7x-2=0,\qquad \Delta=49+32=81,\qquad \sqrt{\Delta}=9.$$

$$x=\frac{-7\pm9}{8}\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{4}\quad\text{lub}\quad x=-2.$$

Kontrola: $W(-2)=-32-20+46+6=0$ ✓ oraz $W\left(\tfrac14\right)=\tfrac{1}{16}-\tfrac{5}{16}-\tfrac{92}{16}+\tfrac{96}{16}=0$ ✓

Odpowiedź: $m=6$; pierwiastki: $x=-2$, $x=\frac{1}{4}$, $x=3$