LekcjeRazem

Krok 1. Kluczowa obserwacja. Zauważmy, że $|DC|=|BC|=10$, więc trójkąt $DCB$ jest równoramienny. Wysokość opuszczona z $C$ na prostą $AB$ pada zatem w środek odcinka $DB$; oznaczmy ten punkt przez $H$.

Krok 2. Oznaczenia. Niech $|AD|=3t$ oraz $|DB|=4t$. Wtedy

$$|DH|=|HB|=2t,\qquad |AH|=|AD|+|DH|=3t+2t=5t.$$

Krok 3. Wysokość z dwóch trójkątów prostokątnych. Z trójkąta $CHB$:

$$|CH|^{2}=10^{2}-(2t)^{2}=100-4t^{2}.$$

Z trójkąta $CHA$:

$$|AC|^{2}=|AH|^{2}+|CH|^{2}\ \Longrightarrow\ 289=25t^{2}+100-4t^{2}.$$

Krok 4. Wyznaczenie $t$.

$$21t^{2}=189\ \Longrightarrow\ t^{2}=9\ \Longrightarrow\ t=3.$$

Zatem $|AD|=9$, $|DB|=12$, $|AB|=21$ oraz

$$|CH|=\sqrt{100-36}=8.$$

Krok 5. Pole.

$$P_{ABC}=\frac12\cdot|AB|\cdot|CH|=\frac12\cdot21\cdot8=84.$$

Kontrola wzorem Herona: boki $21,10,17$, $s=24$, a $\sqrt{24\cdot3\cdot14\cdot7}=\sqrt{7056}=84$ ✓

Odpowiedź: $P_{ABC}=84$