LekcjeRazem

Krok 1. Odległość środka od prostej. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej $Ax+By+C=0$:

$$d=\frac{|3\cdot3-4\cdot12-36|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{|9-48-36|}{5}=\frac{75}{5}=15.$$

Krok 2. Związek cięciwy z promieniem. Odcinek poprowadzony ze środka okręgu prostopadle do cięciwy dzieli ją na połowy. Powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $d$ i $\frac{|AB|}{2}$ oraz przeciwprostokątnej $r$:

$$r^{2}=d^{2}+\left(\frac{|AB|}{2}\right)^{2}.$$

Krok 3. Obliczenie promienia.

$$r^{2}=15^{2}+20^{2}=225+400=625\ \Longrightarrow\ r=25.$$

Kontrola: $d=15\lt 25=r$, więc prosta faktycznie przecina okrąg w dwóch punktach ✓. Ponadto długość cięciwy wynosi $2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=2\sqrt{400}=40$ ✓

Krok 4. Równanie okręgu.

$$(x-3)^{2}+(y-12)^{2}=625.$$

Odpowiedź: $(x-3)^{2}+(y-12)^{2}=625$