LekcjeRazem

Krok 1. Wykorzystanie ciągu arytmetycznego. Dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi $2b=a+c$, więc suma wynosi

$$a+b+c=(a+c)+b=2b+b=3b=33\ \Longrightarrow\ b=11,$$

a stąd $a+c=22$.

Krok 2. Warunek ciągu geometrycznego. Kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi skrajnych:

$$(b+5)^{2}=(a-1)(c+19)\ \Longrightarrow\ 16^{2}=(a-1)(c+19)\ \Longrightarrow\ 256=(a-1)(c+19).$$

Krok 3. Redukcja do jednej niewiadomej. Podstawiamy $c=22-a$:

$$256=(a-1)(41-a)=-a^{2}+42a-41,$$

$$a^{2}-42a+297=0.$$

$$\Delta=1764-1188=576,\qquad \sqrt{\Delta}=24,\qquad a=\frac{42\pm24}{2}.$$

$$a_1=9,\qquad a_2=33.$$

Krok 4. Obie trójki.

Przypadek 1: $a=9$, $b=11$, $c=13$. Ciąg arytmetyczny o różnicy $2$ ✓, a ciąg geometryczny to $(8,\ 16,\ 32)$ o ilorazie $2$ ✓

Przypadek 2: $a=33$, $b=11$, $c=-11$. Ciąg arytmetyczny o różnicy $-22$ ✓, a ciąg geometryczny to $(32,\ 16,\ 8)$ o ilorazie $\frac12$ ✓

W obu przypadkach $16^{2}=256$ równa się iloczynowi wyrazów skrajnych, więc oba rozwiązania są poprawne.

Odpowiedź: $a=9,\ b=11,\ c=13$  lub  $a=33,\ b=11,\ c=-11$