LekcjeRazem

Krok 1. Warunek równoległości. Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, więc styczna ma mieć współczynnik $4$. Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie $x_0$ to $f^{\prime}(x_0)$.

Krok 2. Pochodna.

$$f^{\prime}(x)=3x^{2}-4x.$$

Krok 3. Punkty styczności.

$$3x^{2}-4x=4\ \Longrightarrow\ 3x^{2}-4x-4=0.$$

$$\Delta=16+48=64,\qquad \sqrt{\Delta}=8,\qquad x=\frac{4\pm8}{6}.$$

$$x_1=2,\qquad x_2=-\frac{2}{3}.$$

Krok 4. Pierwsza styczna ($x_1=2$).

$$f(2)=8-8+1=1.$$

$$y-1=4(x-2)\ \Longrightarrow\ y=4x-7.$$

Krok 5. Druga styczna ($x_2=-\frac23$).

$$f\left(-\tfrac23\right)=-\frac{8}{27}-2\cdot\frac{4}{9}+1=-\frac{8}{27}-\frac{24}{27}+\frac{27}{27}=-\frac{5}{27}.$$

$$y+\frac{5}{27}=4\left(x+\frac23\right)\ \Longrightarrow\ y=4x+\frac{8}{3}-\frac{5}{27}=4x+\frac{72-5}{27}=4x+\frac{67}{27}.$$

Odpowiedź: $y=4x-7$ oraz $y=4x+\frac{67}{27}$