Krok 1. Warunek istnienia trójmianu. Współczynnik przy $x^{2}$ musi być niezerowy: $m\neq-1$.
Krok 2. Wzory Viète'a i wyróżnik.
$$S=x_1+x_2=\frac{-2(m-2)}{m+1},\qquad P=x_1x_2=\frac{4-m}{m+1}.$$
$$\Delta=4(m-2)^{2}-4(m+1)(4-m)=4\left(2m^{2}-7m\right)=4m(2m-7).$$
$$\Delta>0\ \Longleftrightarrow\ m\lt 0\ \text{lub}\ m>\frac{7}{2}.$$
Krok 3. Przekształcenie warunku. Prawą stronę rozkładamy jako różnicę kwadratów:
$$x_1^{4}-x_2^{4}=\left(x_1^{2}-x_2^{2}\right)\left(x_1^{2}+x_2^{2}\right).$$
Warunek przyjmuje postać
$$\left(x_1^{2}-x_2^{2}\right)\left[1-\left(x_1^{2}+x_2^{2}\right)\right]=0,$$
więc $x_1^{2}=x_2^{2}$ albo $x_1^{2}+x_2^{2}=1$.
Krok 4. Pierwsza możliwość. Skoro $x_1\neq x_2$, równość $x_1^{2}=x_2^{2}$ oznacza $x_1=-x_2$, czyli $S=0$:
$$\frac{-2(m-2)}{m+1}=0\ \Longrightarrow\ m=2.$$
Sprawdzamy wyróżnik: $\Delta=4\cdot2\cdot(4-7)=-24\lt 0$ — brak pierwiastków rzeczywistych. Ta możliwość odpada.
Krok 5. Druga możliwość.
$$x_1^{2}+x_2^{2}=S^{2}-2P=1.$$
$$\frac{4(m-2)^{2}}{(m+1)^{2}}-\frac{2(4-m)}{m+1}=1\ \Big|\cdot(m+1)^{2}$$
$$4(m-2)^{2}-2(4-m)(m+1)=(m+1)^{2},$$
$$4m^{2}-16m+16+2m^{2}-6m-8=m^{2}+2m+1,$$
$$5m^{2}-24m+7=0.$$
$$\Delta=576-140=436,\qquad \sqrt{436}=2\sqrt{109},$$
$$m=\frac{24\pm2\sqrt{109}}{10}=\frac{12\pm\sqrt{109}}{5}.$$
Krok 6. Weryfikacja warunku $\Delta>0$. Ponieważ $\sqrt{109}\approx10{,}44$:
$$m_1=\frac{12-\sqrt{109}}{5}\approx0{,}31\quad\text{— nie spełnia } (m\lt 0 \text{ lub } m>3{,}5)\ \text{✗}$$
$$m_2=\frac{12+\sqrt{109}}{5}\approx4{,}49>\frac72\ \text{✓}$$
Kontrola liczbowa dla $m\approx4{,}49$: $S\approx-0{,}907$, $P\approx-0{,}0889$, więc $S^{2}-2P\approx1{,}000$ ✓
Odpowiedź: $m=\frac{12+\sqrt{109}}{5}$