LekcjeRazem

Krok 1. Dziedzina. Mianownik nie może być zerem:

$$\cos^{2}x\neq0\ \Longleftrightarrow\ \cos x\neq0\ \Longleftrightarrow\ x\neq\frac{\pi}{2}\ \text{i}\ x\neq\frac{3\pi}{2}.$$

Krok 2. Kluczowa obserwacja. W całej dziedzinie mianownik $\cos^{2}x$ jest dodatni (kwadrat liczby różnej od zera). Znak ułamka zależy więc wyłącznie od licznika:

$$\frac{2\cos x-\sqrt{3}}{\cos^{2}x}\lt 0\ \Longleftrightarrow\ 2\cos x-\sqrt{3}\lt 0\ \Longleftrightarrow\ \cos x\lt \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Krok 3. Rozwiązanie nierówności trygonometrycznej. W przedziale $\langle0,2\pi\rangle$ równość $\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$ zachodzi dla

$$x=\frac{\pi}{6}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{11\pi}{6}.$$

Cosinus jest mniejszy od $\frac{\sqrt3}{2}$ pomiędzy tymi wartościami:

$$x\in\left(\frac{\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}\right).$$

Krok 4. Usunięcie punktów spoza dziedziny. Zarówno $\frac{\pi}{2}$, jak i $\frac{3\pi}{2}$ należą do powyższego przedziału, więc trzeba je wykluczyć:

$$x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},\frac{11\pi}{6}\right).$$

Kontrola: dla $x=\pi$ mamy $\frac{2(-1)-\sqrt3}{1}\lt 0$ ✓; dla $x=0$ otrzymujemy $2-\sqrt3>0$, więc $0$ słusznie nie należy do rozwiązania ✓

Odpowiedź: $x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right)$ z wyłączeniem $\frac{\pi}{2}$ i $\frac{3\pi}{2}$