LekcjeRazem

Krok 1. Odcięta punktu przecięcia. Przyrównujemy wzory funkcji:

$$x-2=5-ax\ \Longrightarrow\ x+ax=7\ \Longrightarrow\ x(1+a)=7.$$

Dla $a=-1$ równanie przyjmuje postać $0=7$ — wykresy są wtedy równoległe i nie przecinają się. Zakładamy więc $a\neq-1$:

$$x=\frac{7}{1+a}.$$

Krok 2. Rzędna punktu przecięcia.

$$y=x-2=\frac{7}{1+a}-2=\frac{7-2(1+a)}{1+a}=\frac{5-2a}{1+a}.$$

Krok 3. Warunek $x>0$. Licznik $7$ jest dodatni, więc

$$\frac{7}{1+a}>0\ \Longleftrightarrow\ 1+a>0\ \Longleftrightarrow\ a>-1.$$

Krok 4. Warunek $y>0$. Wiemy już, że $1+a>0$, więc znak ułamka zależy tylko od licznika:

$$\frac{5-2a}{1+a}>0\ \Longleftrightarrow\ 5-2a>0\ \Longleftrightarrow\ a\lt \frac{5}{2}.$$

Krok 5. Część wspólna.

$$a\in\left(-1,\ \frac{5}{2}\right).$$

Kontrola: dla $a=0$ punkt przecięcia to $(7,5)$ — obie współrzędne dodatnie ✓; dla $a=3$ mamy $\left(\frac74,-\frac14\right)$ ✗; dla $a=-2$ mamy $(-7,-9)$ ✗

Odpowiedź: $a\in\left(-1,\frac{5}{2}\right)$