LekcjeRazem

Krok 1. Wzory Viète'a i wyróżnik. Współczynnik przy $x^{2}$ równa się $1$, więc

$$x_1+x_2=-2(m+1),\qquad x_1x_2=6m+1.$$

$$\Delta=4(m+1)^{2}-4(6m+1)=4\left(m^{2}+2m+1-6m-1\right)=4\left(m^{2}-4m\right)=4m(m-4).$$

Krok 2. Warunek I — dwa różne pierwiastki.

$$\Delta>0\ \Longleftrightarrow\ m(m-4)>0\ \Longleftrightarrow\ m\lt 0\ \text{lub}\ m>4.$$

Krok 3. Warunek II — pierwiastki tego samego znaku. Dwie liczby mają ten sam znak dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni:

$$x_1x_2>0\ \Longleftrightarrow\ 6m+1>0\ \Longleftrightarrow\ m>-\frac16.$$

Krok 4. Warunek III — odległość pierwiastków. Ponieważ współczynnik wiodący wynosi $1$:

$$\left(x_1-x_2\right)^{2}=\left(x_1+x_2\right)^{2}-4x_1x_2=\Delta.$$

$$|x_1-x_2|\lt 3\ \Longleftrightarrow\ \Delta\lt 9\ \Longleftrightarrow\ 4m^{2}-16m-9\lt 0.$$

$$\Delta^{\prime}=256+144=400,\qquad \sqrt{\Delta^{\prime}}=20,\qquad m=\frac{16\pm20}{8}.$$

$$m_1=-\frac12,\qquad m_2=\frac92\ \Longrightarrow\ m\in\left(-\frac12,\ \frac92\right).$$

Krok 5. Część wspólna wszystkich warunków.

Z warunków I i II: $m\in\left(-\frac16,0\right)\cup(4,+\infty)$.

Po przecięciu z warunkiem III:

$$m\in\left(-\frac{1}{6},\ 0\right)\cup\left(4,\ \frac{9}{2}\right).$$

Kontrola: dla $m=-0{,}1$: $\Delta=1{,}64>0$, $x_1x_2=0{,}4>0$, $\Delta\lt 9$ ✓; dla $m=4{,}2$: $\Delta=3{,}36$, $x_1x_2=26{,}2$ ✓; dla $m=5$: $\Delta=20>9$ — warunek III niespełniony ✓

Odpowiedź: $m\in\left(-\frac{1}{6},0\right)\cup\left(4,\frac{9}{2}\right)$