LekcjeRazem

Krok 1. Postać kanoniczna okręgu. Uzupełniamy do kwadratów:

$$x^{2}-8x+y^{2}-6y+8=0\ \Longrightarrow\ (x-4)^{2}-16+(y-3)^{2}-9+8=0,$$

$$(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=17.$$

Środek $O=(4,3)$, promień $r=\sqrt{17}$.

Krok 2. Punkt $S$. Środek cięciwy to spodek prostopadłej poprowadzonej ze środka okręgu do prostej. Prosta prostopadła do $x+y-10=0$ przechodząca przez $O$ ma kierunek $[1,1]$:

$$x=4+t,\qquad y=3+t.$$

Podstawiamy do równania prostej:

$$(4+t)+(3+t)-10=0\ \Longrightarrow\ 2t=3\ \Longrightarrow\ t=\frac32.$$

$$S=\left(\frac{11}{2},\ \frac{9}{2}\right).$$

Kontrola: $\frac{11}{2}+\frac92-10=0$ ✓, a odległość $|OS|=\frac{3}{\sqrt2}\lt \sqrt{17}$, więc prosta faktycznie przecina okrąg.

Krok 3. Obraz środka w jednokładności. Dla jednokładności o środku $S$ i skali $k$:

$$O^{\prime}=S+k\left(O-S\right).$$

$$O-S=\left(4-\tfrac{11}{2},\ 3-\tfrac92\right)=\left(-\tfrac32,\ -\tfrac32\right).$$

$$O^{\prime}=\left(\tfrac{11}{2},\tfrac92\right)+(-3)\cdot\left(-\tfrac32,-\tfrac32\right)=\left(\tfrac{11}{2}+\tfrac92,\ \tfrac92+\tfrac92\right)=(10,\ 9).$$

Krok 4. Promień obrazu. Jednokładność o skali $k$ zmienia promień $|k|$-krotnie:

$$r^{\prime}=|-3|\cdot\sqrt{17}=3\sqrt{17},\qquad \left(r^{\prime}\right)^{2}=9\cdot17=153.$$

Odpowiedź: $(x-10)^{2}+(y-9)^{2}=153$