LekcjeRazem

Dane: $|AB| = 11$, $|BC| = 12$, $|\angle ABC| = 60°$.

Ocena stwierdzenia 1: „Trójkąt $ABC$ jest równoramienny."

1. Krok 1 – Wyznaczenie boku $AC$ (twierdzenie cosinusów).

   Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla boku naprzeciwległego do kąta $\angle ABC$:

   $$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\angle ABC)$$ $$|AC|^2 = 11^2 + 12^2 - 2 \cdot 11 \cdot 12 \cdot \cos 60°$$ $$|AC|^2 = 121 + 144 - 264 \cdot \frac{1}{2}$$ $$|AC|^2 = 265 - 132 = 133$$ $$|AC| = \sqrt{133}$$
2. Krok 2 – Porównanie długości boków.

   Mamy trzy boki:

   • $|AB| = 11$
   • $|BC| = 12$
   • $|AC| = \sqrt{133} \approx 11{,}53$

   Sprawdzamy, czy którekolwiek dwa boki są równe:

   • $|AB| = 11 \neq 12 = |BC|$
   • $|AB| = 11 \neq \sqrt{133} = |AC|$, bo $11^2 = 121 \neq 133$
   • $|BC| = 12 \neq \sqrt{133} = |AC|$, bo $12^2 = 144 \neq 133$

   Żadne dwa boki nie są równe — trójkąt jest różnoboczny.

Stwierdzenie 1 jest FAŁSZYWE.

Ocena stwierdzenia 2: „Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$."

1. Krok 1 – Wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi.

   Kąt $\angle ABC$ jest zawarty między bokami $|AB|$ i $|BC|$, dlatego możemy zastosować wzór:

   $$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \sin(\angle ABC)$$
2. Krok 2 – Obliczenie pola. $$P = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60°$$ $$P = \frac{1}{2} \cdot 132 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$P = \frac{132\sqrt{3}}{4} = 33\sqrt{3}$$

Stwierdzenie 2 jest PRAWDZIWE.

Odpowiedź końcowa

Stwierdzenie 1 — FAŁSZ (trójkąt ma trzy różne boki: $11$, $12$, $\sqrt{133}$, więc nie jest równoramienny).
Stwierdzenie 2 — PRAWDA (pole trójkąta wynosi $\dfrac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60° = 33\sqrt{3}$).