Rozwiązanie
Dane: Trójkąt równoramienny $ABC$, gdzie $|AC| = |BC| = 4$, $|AB| = 3$. Punkt $D$ leży na boku $BC$ (między $B$ i $C$), a trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne.
-
Krok 1: Identyfikacja boków trójkąta $ABC$.
Trójkąt $ABC$ jest równoramienny z ramionami $|AC| = |BC| = 4$ oraz podstawą $|AB| = 3$.
-
Krok 2: Ustalenie odpowiedniości wierzchołków w podobieństwie.
Szukamy odpowiedniości $ABC \sim BDA$, tzn.:
$$A \leftrightarrow B, \quad B \leftrightarrow D, \quad C \leftrightarrow A$$
Oznacza to, że odpowiadające sobie boki są:
- $|AB|$ odpowiada $|BD|$
- $|BC|$ odpowiada $|DA|$
- $|AC|$ odpowiada $|BA|$
Sprawdzamy kąty: $\angle BAC$ odpowiada $\angle DBA$, a $\angle ABC$ odpowiada $\angle BDA$.
Ponieważ $\angle ABC = \angle BAC$ (trójkąt równoramienny, kąty przy podstawie są równe), odpowiedniość jest spójna.
-
Krok 3: Zapisanie proporcji boków.
Ze stosunku podobieństwa $ABC \sim BDA$:
$$\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|BC|}{|DA|} = \frac{|AC|}{|BA|}$$
Korzystamy z pierwszego i ostatniego członu proporcji:
$$\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|BA|}$$
$$\frac{3}{|BD|} = \frac{4}{3}$$
-
Krok 4: Wyznaczenie długości $|BD|$.
$$|BD| = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} = 2{,}25$$
Sprawdzamy, czy punkt $D$ leży między $B$ i $C$: $|BD| = 2{,}25 < 4 = |BC|$ ✓
Wynik końcowy:
$$|BD| = \frac{9}{4} = 2{,}25$$
Analiza odpowiedzi:
- A) $2$ — odpowiedź błędna. Wynikałaby z nieprawidłowej proporcji, np. $\frac{|BD|}{|AB|} = \frac{|AB|}{|BC|}$, co daje $|BD| = \frac{9}{4}$, ale błędne podstawienie $|BC|=4$ do wzoru $\frac{3}{|BD|}=\frac{3}{2}$ — brak uzasadnienia w podobieństwie.
- B) $2{,}25$ — odpowiedź poprawna. Wynika bezpośrednio z proporcji $\dfrac{3}{|BD|} = \dfrac{4}{3}$, skąd $|BD| = \dfrac{9}{4} = 2{,}25$.
- C) $2{,}5$ — odpowiedź błędna. Mogłaby sugerować intuicyjne „połowienie" lub błędne przyjęcie $|BD| = \frac{|BC|}{2} + \frac{1}{4}$; nie wynika z żadnej prawidłowej proporcji podobieństwa.
- D) $3$ — odpowiedź błędna. Wartość $|BD| = 3$ równa się długości $|AB|$, co nie wynika z warunku podobieństwa trójkątów $ABC$ i $BDA$ przy podanych danych.
Odpowiedź: B) $2{,}25$
