LekcjeRazem

Rozwiązanie — Zadanie 22

Dana jest: wierzchołek kwadratu $A = (4, -1)$ oraz punkt przecięcia przekątnych $S = (1, 3)$.

1. Krok 1: Korzystamy z własności przekątnych kwadratu.

   Przekątne kwadratu przecinają się w połowie każdej z nich. Oznacza to, że punkt $S$ jest środkiem obu przekątnych. W szczególności $S$ jest środkiem przekątnej $AC$, więc:

   $$S = \left(\frac{x_A + x_C}{2},\ \frac{y_A + y_C}{2}\right)$$

   Punkt $S$ jest zatem środkiem odcinka $AC$, co oznacza, że $|AS| = |SC|$, a więc $S$ leży dokładnie w połowie przekątnej.

2. Krok 2: Obliczamy długość odcinka $AS$.

   Mamy $A = (4, -1)$ oraz $S = (1, 3)$. Korzystamy ze wzoru na odległość między dwoma punktami:

   $$|AS| = \sqrt{(x_A - x_S)^2 + (y_A - y_S)^2}$$ $$|AS| = \sqrt{(4-1)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
3. Krok 3: Obliczamy długość całej przekątnej.

   Ponieważ $S$ jest środkiem przekątnej $AC$, długość całej przekątnej wynosi:

   $$|AC| = 2 \cdot |AS| = 2 \cdot 5 = 10$$

Analiza odpowiedzi

• A) $5$ — BŁĘDNA: Wartość $5$ to jedynie połowa przekątnej, czyli odcinek $|AS|$. Pominięto fakt, że $S$ jest środkiem przekątnej, więc cała przekątna jest dwa razy dłuższa.
• B) $7$ — BŁĘDNA: Mogłaby wynikać z błędnego obliczenia np. $|AS| = \sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2}$ zamienionego na $3 + 4 = 7$ (dodanie zamiast pierwiastka z sumy kwadratów).
• C) $10$ — POPRAWNA: Długość odcinka $|AS| = 5$, a ponieważ $S$ jest środkiem przekątnej, cała przekątna $|AC| = 2 \cdot 5 = 10$.
• D) $14$ — BŁĘDNA: Mogłaby wynikać z błędnego obliczenia $2 \cdot 7 = 14$, czyli podwojenia błędnej sumy $3 + 4 = 7$ zamiast właściwego obliczenia odległości.

Wynik końcowy

Długość przekątnej kwadratu $ABCD$ wynosi:

Odpowiedź: C)