LekcjeRazem

Rozwiązanie:

1. Krok 1: Wyznaczenie przestrzeni zdarzeń elementarnych.

   Przy dwukrotnym rzucie kostką sześcienną każdy wynik to para $(i, j)$, gdzie $i$ oznacza wynik pierwszego rzutu, a $j$ — wynik drugiego rzutu, przy czym $i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

   Łączna liczba wszystkich możliwych wyników wynosi:

   $$|\Omega| = 6 \times 6 = 36$$

2. Krok 2: Wyznaczenie zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$.

   Szukamy wszystkich par $(i, j)$ takich, że $i + j = 11$, gdzie $i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

   Sprawdzamy systematycznie:

   • $i = 5,\ j = 6$: $\quad 5 + 6 = 11$ ✓
   • $i = 6,\ j = 5$: $\quad 6 + 5 = 11$ ✓

   Nie istnieją inne kombinacje (np. $i = 4,\ j = 7$ jest niemożliwe, bo $7 > 6$).

   Zatem liczba wyników sprzyjających zdarzeniu $A$:

   $$|A| = 2$$

3. Krok 3: Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia $A$.

   Korzystamy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:

   $$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{2}{36}$$

4. Krok 4: Analiza odpowiedzi.

   • Odpowiedź A) $\dfrac{1}{36}$ — błędna. Odpowiadałaby sytuacji, gdyby istniał dokładnie jeden wynik sprzyjający (np. suma równa 12, bo jedyną parą jest $(6,6)$). Dla sumy równej 11 istnieją dwa wyniki: $(5,6)$ i $(6,5)$.
   • Odpowiedź B) $\dfrac{2}{36}$ — poprawna. Istnieją dokładnie dwie pary: $(5, 6)$ oraz $(6, 5)$, których suma wynosi $11$. Przy 36 jednakowo prawdopodobnych wynikach daje to $P(A) = \dfrac{2}{36}$.
   • Odpowiedź C) $\dfrac{6}{36}$ — błędna. Mianownik 6 w liczniku oznaczałby 6 par sprzyjających, co odpowiada np. sumie równej 7 (jest 6 takich par: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$), a nie sumie równej 11.
   • Odpowiedź D) $\dfrac{11}{36}$ — błędna. Liczba 11 w liczniku to wartość sumy oczek, a nie liczba wyników sprzyjających — jest to typowy błąd polegający na pomyleniu wartości sumy z liczbą zdarzeń elementarnych.

Wynik końcowy:

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe $\dfrac{2}{36}$.

Odpowiedź: B)