Rozwiązanie
Szukamy liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfra 0 występuje dokładnie jeden raz.
Analiza struktury liczby trzycyfrowej
Liczba trzycyfrowa ma postać $\overline{abc}$, gdzie:
- $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ — cyfra setek (nie może być zerem),
- $b \in \{0, 1, \ldots, 9\}$ — cyfra dziesiątek,
- $c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ — cyfra jedności (musi być nieparzysta, więc $c \neq 0$).
Ponieważ $a \neq 0$ i $c \neq 0$, cyfra 0 może wystąpić wyłącznie na pozycji dziesiątek, czyli $b = 0$.
Krok 1 — Ustalenie pozycji cyfry 0
Cyfra 0 musi wystąpić dokładnie raz. Skoro $a \neq 0$ i $c \neq 0$, jedynym miejscem dla cyfry 0 jest pozycja dziesiątek:
$$b = 0$$
Krok 2 — Wybór cyfry setek $a$
Cyfra setek $a$ może być dowolną cyfrą od 1 do 9, ale nie może być zerem (gdyż 0 już zostało użyte i ma wystąpić dokładnie raz):
$$a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \setminus \{0\}$$
Zatem $a$ może przyjąć 9 wartości: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
Krok 3 — Wybór cyfry jedności $c$
Cyfra jedności $c$ musi być nieparzysta i różna od 0 (co jest już spełnione, bo cyfry nieparzyste to $\{1, 3, 5, 7, 9\}$):
$$c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$$
Zatem $c$ może przyjąć 5 wartości.
Krok 4 — Obliczenie liczby takich liczb
Korzystamy z reguły mnożenia:
$$\text{Liczba szukanych liczb} = \underbrace{9}_{a} \times \underbrace{1}_{b=0} \times \underbrace{5}_{c} = 45$$
Weryfikacja poprawności odpowiedzi
Odpowiedź D) 45 jest poprawna, co wynika bezpośrednio z powyższego rachunku.
Analiza pozostałych odpowiedzi:
- A) 81 — błędna; wynik $81 = 9 \times 9$ odpowiadałby sytuacji, w której nie nakładamy warunku nieparzystości ani nie wymagamy dokładnie jednej cyfry 0 (np. liczba cyfr nieparzystych to 5, nie 9).
- B) 50 — błędna; wynik $50 = 10 \times 5$ mógłby sugerować dopuszczenie $a = 0$ (10 wartości), co jest niemożliwe dla cyfry setek.
- C) 54 — błędna; wynik $54 = 9 \times 6$ sugerowałby 6 cyfr nieparzystych na pozycji jedności, tymczasem cyfr nieparzystych jednocyfrowych jest dokładnie 5.
Wynik końcowy
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfra 0 występuje dokładnie jeden raz, jest:
$$\boxed{45}$$
Odpowiedź: D)