Rozwiązanie
-
Krok 1: Przekształcenie równania wyjściowego
Dane równanie:
$$\sqrt{3}\,\operatorname{tg}\alpha = 2\sin\alpha$$
Zastępujemy $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:
$$\sqrt{3}\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha$$
-
Krok 2: Uproszczenie — dzielenie przez $\sin\alpha$
Ponieważ kąt $\alpha$ jest ostry, mamy $\sin\alpha > 0$, więc możemy podzielić obie strony przez $\sin\alpha \neq 0$:
$$\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2$$
-
Krok 3: Wyznaczenie $\cos\alpha$
Z powyższego równania:
$$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Sprawdzamy: $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ odpowiada kątowi $\alpha = 30°$, który rzeczywiście jest kątem ostrym. ✓
-
Krok 4: Weryfikacja rozwiązania
Dla $\alpha = 30°$: $\operatorname{tg}30° = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$.
$$\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = 1 \qquad \text{oraz} \qquad 2\cdot\frac{1}{2} = 1 \quad \checkmark$$
Obie strony są równe, co potwierdza poprawność wyniku.
Analiza odpowiedzi
- Odpowiedź A) $\dfrac{1}{2}$ — błędna. Gdyby $\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$ (czyli $\alpha = 60°$), to $\dfrac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = \dfrac{\sqrt{3}}{1/2} = 2\sqrt{3} \neq 2$. Warunek nie byłby spełniony.
- Odpowiedź B) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ — błędna. Gdyby $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$, to $\dfrac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}/3} = 3 \neq 2$. Warunek nie byłby spełniony.
- Odpowiedź C) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — błędna. Gdyby $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (czyli $\alpha = 45°$), to $\dfrac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{6} \neq 2$. Warunek nie byłby spełniony.
- Odpowiedź D) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — poprawna. Wynika bezpośrednio z przekształcenia $\dfrac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2$, skąd $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Wynik końcowy
$$\boxed{\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$$
Odpowiedź: D