LekcjeRazem

Krok 1 — wypisujemy oba wyrazy:

$$a_n=\frac{n}{n+1},\qquad a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}$$

Krok 2 — różnica na wspólnym mianowniku:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}$$

Krok 3 — upraszczamy licznik:

$$(n+1)^2-n(n+2)=n^2+2n+1-n^2-2n=1$$

Krok 4 — wniosek:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$$

Różnica jest dodatnia dla każdego $n$, więc ciąg jest rosnący.

Interpretacja. Wyrazy rosną, ale coraz wolniej, zbliżając się do granicy $1$.

Odpowiedź: ciąg rosnący.