LekcjeRazem

Krok 1 — rozdzielamy ułamek:

$$a_n=\frac{3n}{n}-\frac{1}{n}=3-\frac{1}{n}$$

Krok 2 — monotoniczność:

$$a_{n+1}-a_n=\left(3-\frac{1}{n+1}\right)-\left(3-\frac1n\right)=\frac1n-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}>0$$

Różnica jest dodatnia dla każdego $n$, więc ciąg jest rosnący.

Sprawdzenie: $2$; $2{,}5$; $2\frac23$; $2{,}75$ — faktycznie rośnie ✔

Krok 3 — do czego zbliżają się wyrazy. Gdy $n$ rośnie, $\frac1n$ maleje do zera, więc wyrazy zbliżają się do $3$ — ale nigdy jej nie osiągają, bo $\frac1n$ nigdy nie jest zerem.

Wniosek metodyczny. Rozdzielenie ułamka na część stałą i malejącą ($3-\frac1n$) od razu pokazuje obie odpowiedzi: co rośnie i do czego zmierza. Ten sam chwyt działa dla każdego ciągu postaci $\frac{an+b}{n}$.

Odpowiedź: ciąg jest rosnący, a jego wyrazy zbliżają się do $3$.