∑ Matematyka
Procent składany (lokata)
\[K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}\]
∑ Matematyka
Procent składany (lokata)
\[K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}\]
Kapitał po $n$ okresach kapitalizacji przy oprocentowaniu $p\%$ w okresie.
Przykład: 1000 zł na 5% rocznie przez 3 lata: $1000\cdot1{,}05^3=1157{,}63$ zł.
Procent składany (lokata)
Procenty
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Przekątna prostopadłościanu
\[d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\]
∑ Matematyka
Przekątna prostopadłościanu
\[d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\]
Twierdzenie Pitagorasa zastosowane dwukrotnie.
Przykład: $3\times4\times12$: $d=\sqrt{9+16+144}=13$.
Przekątna prostopadłościanu
Graniastosłupy
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Przekątna sześcianu i ściany
\[d=a\sqrt3,\qquad d_{\text{ściany}}=a\sqrt2\]
∑ Matematyka
Przekątna sześcianu i ściany
\[d=a\sqrt3,\qquad d_{\text{ściany}}=a\sqrt2\]
Przekątna bryły i przekątna ściany sześcianu.
Przykład: $a=2$: $d=2\sqrt3$, przekątna ściany $2\sqrt2$.
Przekątna sześcianu i ściany
Graniastosłupy
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Przekrój osiowy walca i stożka
\[P_{\text{walca}}=2r\cdot H,\qquad P_{\text{stożka}}=r\cdot H\]
∑ Matematyka
Przekrój osiowy walca i stożka
\[P_{\text{walca}}=2r\cdot H,\qquad P_{\text{stożka}}=r\cdot H\]
Przekrój osiowy walca to prostokąt, stożka — trójkąt równoramienny.
Przykład: Stożek $r=4$, $H=6$: przekrój ma pole $24$.
Przekrój osiowy walca i stożka
Bryły obrotowe
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Romb
\[P=a\cdot h=\frac{d_1\cdot d_2}{2}\]
∑ Matematyka
Romb
\[P=a\cdot h=\frac{d_1\cdot d_2}{2}\]
Pole z wysokości albo z przekątnych.
Przykład: Przekątne 6 i 10: $P=30$.
Romb
Czworokąty i wielokąty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Równanie kwadratowe
\[ax^2+bx+c=0,\ \Delta=b^2-4ac,\ x_{1,2}=\frac{-b\mp\sqrt{\Delta}}{2a}\]
∑ Matematyka
Równanie kwadratowe
\[ax^2+bx+c=0,\ \Delta=b^2-4ac,\ x_{1,2}=\frac{-b\mp\sqrt{\Delta}}{2a}\]
Dwa rozwiązania dla $\Delta>0$, jedno ($x=-\frac{b}{2a}$) dla $\Delta=0$, brak dla $\Delta<0$.
Przykład: $x^2-5x+6=0$: $\Delta=1$, $x_1=2$, $x_2=3$.
Równanie kwadratowe
Równania i nierówności
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Równanie ogólne prostej
\[Ax+By+C=0,\quad A^2+B^2\neq0\]
∑ Matematyka
Równanie ogólne prostej
\[Ax+By+C=0,\quad A^2+B^2\neq0\]
Opisuje także proste pionowe ($B=0$).
Przykład: $2x-y+3=0$ to $y=2x+3$; $x=4$ to prosta pionowa.
Równanie ogólne prostej
Funkcja liniowa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Równanie okręgu
\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]
∑ Matematyka
Równanie okręgu
\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]
Okrąg o środku $S(a,b)$ i promieniu $r$.
Przykład: $(x-2)^2+(y+1)^2=9$: środek $(2,-1)$, $r=3$.
Równanie okręgu
Geometria analityczna
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Różnica sześcianów
\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
∑ Matematyka
Różnica sześcianów
\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
Rozkład różnicy sześcianów na czynniki.
Przykład: $x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$.
Różnica sześcianów
Wzory skróconego mnożenia
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Schemat Bernoulliego
\[P(S_n=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]
∑ Matematyka
Schemat Bernoulliego
\[P(S_n=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]
Prawdopodobieństwo $k$ sukcesów w $n$ niezależnych próbach.
Przykład: Dokładnie 2 szóstki w 3 rzutach: $\binom32\left(\frac16\right)^2\cdot\frac56=\frac{15}{216}$.
Schemat Bernoulliego
Rachunek prawdopodobieństwa
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Silnia
\[n!=1\cdot2\cdot3\cdots n,\qquad 0!=1\]
∑ Matematyka
Silnia
\[n!=1\cdot2\cdot3\cdots n,\qquad 0!=1\]
Iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do $n$.
Przykład: $5!=120$.
Silnia
Kombinatoryka
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Sinus i cosinus sumy kątów
\[\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\quad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\]
∑ Matematyka
Sinus i cosinus sumy kątów
\[\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\quad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\]
Pozwalają liczyć wartości dla kątów typu 75° czy 15°.
Przykład: $\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.
Sinus i cosinus sumy kątów
Trygonometria
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Średnia ważona
\[\bar{x}_w=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\ldots+w_nx_n}{w_1+w_2+\ldots+w_n}\]
∑ Matematyka
Średnia ważona
\[\bar{x}_w=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\ldots+w_nx_n}{w_1+w_2+\ldots+w_n}\]
Każda wartość ma swoją wagę.
Przykład: Sprawdzian 5 (waga 3) i kartkówka 3 (waga 1): $\frac{15+3}{4}=4{,}5$.
Średnia ważona
Statystyka
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Środek odcinka
\[S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)\]
∑ Matematyka
Środek odcinka
\[S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)\]
Współrzędne środka to średnie współrzędnych końców.
Przykład: $A(2,6)$, $B(8,-2)$: $S=(5,2)$.
Środek odcinka
Geometria analityczna
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Stożek
\[V=\frac13\pi r^2H,\qquad P_c=\pi r^2+\pi rl\]
∑ Matematyka
Stożek
\[V=\frac13\pi r^2H,\qquad P_c=\pi r^2+\pi rl\]
$l$ — tworząca stożka.
Przykład: $r=3$, $H=4$, $l=5$: $V=12\pi$, $P_c=9\pi+15\pi=24\pi$.
Stożek
Bryły obrotowe
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Styczna do okręgu
\[r\perp \text{styczna w punkcie styczności},\qquad |PA|=|PB|\]
∑ Matematyka
Styczna do okręgu
\[r\perp \text{styczna w punkcie styczności},\qquad |PA|=|PB|\]
Promień w punkcie styczności jest prostopadły do stycznej; odcinki stycznych z jednego punktu są równe.
Przykład: Z punktu $P$ odległego o 13 od środka, $r=5$: odcinek stycznej $=\sqrt{169-25}=12$.
Styczna do okręgu
Koło i okrąg
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Suma szeregu geometrycznego
\[S=\frac{a_1}{1-q},\quad |q|<1\]
∑ Matematyka
Suma szeregu geometrycznego
\[S=\frac{a_1}{1-q},\quad |q|<1\]
Suma nieskończenie wielu wyrazów ciągu geometrycznego zbieżnego.
Przykład: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.
Suma szeregu geometrycznego
Ciągi liczbowe
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Suma sześcianów
\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\]
∑ Matematyka
Suma sześcianów
\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\]
Rozkład sumy sześcianów na czynniki.
Przykład: $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$.
Suma sześcianów
Wzory skróconego mnożenia
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Symetria względem osi Oy
\[y=f(-x)\]
∑ Matematyka
Symetria względem osi Oy
\[y=f(-x)\]
Wykres odbijamy względem osi pionowej.
Przykład: $y=2^{-x}$ to odbicie $y=2^x$.
Symetria względem osi Oy
Przekształcenia wykresów funkcji
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Symetria względem początku układu
\[y=-f(-x)\]
∑ Matematyka
Symetria względem początku układu
\[y=-f(-x)\]
Złożenie obu symetrii osiowych.
Przykład: $f(x)=x+2$: obraz $y=x-2$.
Symetria względem początku układu
Przekształcenia wykresów funkcji
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Szczególne wartości logarytmu
\[\log_a 1=0,\qquad \log_a a=1,\qquad a^{\log_a b}=b\]
∑ Matematyka
Szczególne wartości logarytmu
\[\log_a 1=0,\qquad \log_a a=1,\qquad a^{\log_a b}=b\]
Przydatne przy upraszczaniu wyrażeń.
Przykład: $\log_7 1=0$, $5^{\log_5 9}=9$.
Szczególne wartości logarytmu
Logarytmy
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Sześcian
\[V=a^3,\qquad P_c=6a^2\]
∑ Matematyka
Sześcian
\[V=a^3,\qquad P_c=6a^2\]
Objętość i pole powierzchni sześcianu o krawędzi $a$.
Przykład: $a=4$: $V=64$, $P_c=96$.
Sześcian
Graniastosłupy
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Sześcian różnicy
\[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\]
∑ Matematyka
Sześcian różnicy
\[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\]
Znaki wyrazów się przeplatają.
Przykład: $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$.
Sześcian różnicy
Wzory skróconego mnożenia
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Sześciokąt foremny
\[P=\frac{3a^2\sqrt3}{2}\]
∑ Matematyka
Sześciokąt foremny
\[P=\frac{3a^2\sqrt3}{2}\]
Składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $a$.
Przykład: $a=2$: $P=6\sqrt3$.
Sześciokąt foremny
Czworokąty i wielokąty
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →