∑ Matematyka
Kwadrat sumy
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
∑ Matematyka
Kwadrat sumy
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
Kwadrat sumy to kwadrat pierwszego, podwojony iloczyn i kwadrat drugiego wyrazu.
Przykład: $(x+3)^2=x^2+6x+9$.
Kwadrat sumy
Wzory skróconego mnożenia
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Logarytm iloczynu
\[\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_a y\]
∑ Matematyka
Logarytm iloczynu
\[\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_a y\]
Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów.
Przykład: $\log_6 4+\log_6 9=\log_6 36=2$.
Logarytm iloczynu
Logarytmy
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Metoda wyznaczników (Cramera)
\[W=a_1b_2-a_2b_1,\ W_x=c_1b_2-c_2b_1,\ W_y=a_1c_2-a_2c_1,\ x=\frac{W_x}{W},\ y=\frac{W_y}{W}\]
∑ Matematyka
Metoda wyznaczników (Cramera)
\[W=a_1b_2-a_2b_1,\ W_x=c_1b_2-c_2b_1,\ W_y=a_1c_2-a_2c_1,\ x=\frac{W_x}{W},\ y=\frac{W_y}{W}\]
Dla $W\neq0$ układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Przykład: $x+2y=5$, $3x-y=1$: $W=-7$, $W_x=-7$, $W_y=-14$, więc $x=1$, $y=2$.
Metoda wyznaczników (Cramera)
Układy równań
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Nierówność |x| > a
\[|x|>a\iff x<-a\ \lor\ x>a\quad(a\ge0)\]
∑ Matematyka
Nierówność |x| > a
\[|x|>a\iff x<-a\ \lor\ x>a\quad(a\ge0)\]
Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów.
Przykład: $|x+1|>4\iff x<-5\ \lor\ x>3$.
Nierówność |x| > a
Wartość bezwzględna
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Nierówność wykładnicza
\[a^{f(x)}>a^{g(x)}\iff\begin{cases}f(x)>g(x), & a>1\\ f(x)<g(x), & 0<a<1\end{cases}\]
∑ Matematyka
Nierówność wykładnicza
\[a^{f(x)}>a^{g(x)}\iff\begin{cases}f(x)>g(x), & a>1\\ f(x)<g(x), & 0<a<1\end{cases}\]
Dla podstawy mniejszej od 1 zmieniamy zwrot nierówności.
Przykład: $\left(\frac{1}{2}\right)^x>\frac{1}{8}\iff x<3$.
Nierówność wykładnicza
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Odchylenie standardowe
\[\sigma=\sqrt{\sigma^2}\]
∑ Matematyka
Odchylenie standardowe
\[\sigma=\sqrt{\sigma^2}\]
Miara rozproszenia danych wokół średniej.
Przykład: $\sigma^2=\frac83$: $\sigma=\sqrt{\frac83}\approx1{,}63$.
Odchylenie standardowe
Statystyka
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Odległość punktów w układzie współrzędnych
\[|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]
∑ Matematyka
Odległość punktów w układzie współrzędnych
\[|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]
Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych.
Przykład: $A(1,2)$, $B(4,6)$: $|AB|=\sqrt{9+16}=5$.
Odległość punktów w układzie współrzędnych
Twierdzenie Pitagorasa
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Odległość punktu od prostej
\[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]
∑ Matematyka
Odległość punktu od prostej
\[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]
Odległość punktu $(x_0,y_0)$ od prostej $Ax+By+C=0$.
Przykład: $P(1,2)$ i $3x+4y-1=0$: $d=\frac{|3+8-1|}{5}=2$.
Odległość punktu od prostej
Geometria analityczna
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Oś symetrii paraboli
\[x=p=\frac{-b}{2a}\qquad\text{albo}\qquad p=\frac{x_1+x_2}{2}\]
∑ Matematyka
Oś symetrii paraboli
\[x=p=\frac{-b}{2a}\qquad\text{albo}\qquad p=\frac{x_1+x_2}{2}\]
Pionowa prosta przez wierzchołek; leży w połowie między miejscami zerowymi.
Przykład: Miejsca zerowe $1$ i $7$: oś symetrii $x=4$.
Oś symetrii paraboli
Funkcja kwadratowa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
\[h_b^2=H^2+\left(\frac{a\sqrt3}{6}\right)^2,\qquad b^2=H^2+\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2\]
∑ Matematyka
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
\[h_b^2=H^2+\left(\frac{a\sqrt3}{6}\right)^2,\qquad b^2=H^2+\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2\]
Spodek wysokości to środek trójkąta równobocznego (podstawy).
Przykład: $a=6$, $H=\sqrt{13}$: $b^2=13+12=25$, $b=5$.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Ostrosłupy
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Permutacje
\[P_n=n!\]
∑ Matematyka
Permutacje
\[P_n=n!\]
Liczba sposobów ustawienia $n$ różnych elementów w kolejności.
Przykład: 5 osób w kolejce: $5!=120$ ustawień.
Permutacje
Kombinatoryka
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pierwiastek k-krotny
\[W(x)=(x-a)^k\cdot P(x),\quad P(a)\neq0\]
∑ Matematyka
Pierwiastek k-krotny
\[W(x)=(x-a)^k\cdot P(x),\quad P(a)\neq0\]
Przy pierwiastku parzystej krotności wykres „odbija się” od osi, przy nieparzystej — przecina ją.
Przykład: $W(x)=(x-1)^2(x+3)$: $1$ — pierwiastek dwukrotny.
Pierwiastek k-krotny
Wielomiany
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu
\[(f\pm g)^{\prime}=f^{\prime}\pm g^{\prime},\quad (fg)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime},\quad \left(\frac fg\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^2}\]
∑ Matematyka
Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu
\[(f\pm g)^{\prime}=f^{\prime}\pm g^{\prime},\quad (fg)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime},\quad \left(\frac fg\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^2}\]
Reguły różniczkowania wyrażeń złożonych z kilku funkcji.
Przykład: $(x^2\cdot x^3)^{\prime}=2x\cdot x^3+x^2\cdot3x^2=5x^4$.
Pochodna sumy
iloczynu i ilorazu
Granice i pochodna funkcji
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pochodne funkcji podstawowych
\[(c)^{\prime}=0,\quad (x^n)^{\prime}=n\,x^{n-1},\quad (\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]
∑ Matematyka
Pochodne funkcji podstawowych
\[(c)^{\prime}=0,\quad (x^n)^{\prime}=n\,x^{n-1},\quad (\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]
Najczęściej używane wzory na pochodne.
Przykład: $(x^5)^{\prime}=5x^4$, $(7)^{\prime}=0$.
Pochodne funkcji podstawowych
Granice i pochodna funkcji
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pole pierścienia kołowego
\[P=\pi\left(R^2-r^2\right)\]
∑ Matematyka
Pole pierścienia kołowego
\[P=\pi\left(R^2-r^2\right)\]
Różnica pól dwóch kół współśrodkowych.
Przykład: $R=5$, $r=3$: $P=16\pi$.
Pole pierścienia kołowego
Koło i okrąg
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pole trójkąta
\[P=\frac{1}{2}a\cdot h\]
∑ Matematyka
Pole trójkąta
\[P=\frac{1}{2}a\cdot h\]
Połowa iloczynu boku i wysokości opuszczonej na ten bok.
Przykład: Bok 10 cm, wysokość 6 cm: $P=30$ cm².
Pole trójkąta
Trójkąty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pole wycinka koła
\[P=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2\]
∑ Matematyka
Pole wycinka koła
\[P=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2\]
Część pola koła odpowiadająca kątowi środkowemu.
Przykład: $r=4$, $\alpha=90^\circ$: $P=\frac14\cdot16\pi=4\pi$.
Pole wycinka koła
Koło i okrąg
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pole z sinusem kąta
\[P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\]
∑ Matematyka
Pole z sinusem kąta
\[P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\]
Dwa boki i kąt między nimi.
Przykład: $a=8$, $b=5$, $\gamma=30^\circ$: $P=\frac12\cdot8\cdot5\cdot\frac12=10$.
Pole z sinusem kąta
Trójkąty
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Postać iloczynowa
\[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\quad(\Delta\ge0)\]
∑ Matematyka
Postać iloczynowa
\[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\quad(\Delta\ge0)\]
Od razu widać miejsca zerowe.
Przykład: $f(x)=2(x+1)(x-4)$ — miejsca zerowe $-1$ i $4$.
Postać iloczynowa
Funkcja kwadratowa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Potęga iloczynu i ilorazu
\[(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\]
∑ Matematyka
Potęga iloczynu i ilorazu
\[(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\]
Potęgujemy każdy czynnik osobno.
Przykład: $(2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3=1000$, $\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$.
Potęga iloczynu i ilorazu
Potęgi
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Potęga o wykładniku wymiernym
\[a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},\qquad a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\quad (a>0)\]
∑ Matematyka
Potęga o wykładniku wymiernym
\[a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},\qquad a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\quad (a>0)\]
Potęgę o wykładniku ułamkowym zamieniamy na pierwiastek.
Przykład: $8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{64}=4$, $27^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$.
Potęga o wykładniku wymiernym
Potęgi
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
∑ Matematyka
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
Odejmujemy część wspólną, by nie liczyć jej dwa razy.
Przykład: $P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}4$, $P(A\cap B)=0{,}2$: $P(A\cup B)=0{,}7$.
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
Rachunek prawdopodobieństwa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Prawdopodobieństwo warunkowe
\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0\]
∑ Matematyka
Prawdopodobieństwo warunkowe
\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0\]
Prawdopodobieństwo $A$, gdy wiemy, że zaszło $B$.
Przykład: Rzut kostką: szansa na 6, gdy wypadła liczba parzysta: $\frac{1/6}{1/2}=\frac13$.
Prawdopodobieństwo warunkowe
Rachunek prawdopodobieństwa
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Prędkość średnia
\[v_{\text{śr}}=\frac{s_{\text{całkowita}}}{t_{\text{całkowity}}}\]
∑ Matematyka
Prędkość średnia
\[v_{\text{śr}}=\frac{s_{\text{całkowita}}}{t_{\text{całkowity}}}\]
Całą drogę dzielimy przez cały czas (to nie jest średnia prędkości!).
Przykład: 60 km w 1 h i 60 km w 2 h: $v_{\text{śr}}=\frac{120}{3}=40$ km/h.
Prędkość średnia
Droga
prędkość i czas
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →