∑ Matematyka
Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
Dodawanie i odejmowanie ułamków
\[\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}\]
∑ Matematyka · Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
Dodawanie i odejmowanie ułamków
\[\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}\]
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, potem dodajemy lub odejmujemy liczniki.
Przykład: $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$.
Dodawanie i odejmowanie ułamków
Działania na ułamkach
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Liczby na osi liczbowej
Wartość bezwzględna jako odległość
\[|x-a|=\text{odległość punktów } x \text{ i } a \text{ na osi}\]
∑ Matematyka · Liczby na osi liczbowej
Wartość bezwzględna jako odległość
\[|x-a|=\text{odległość punktów } x \text{ i } a \text{ na osi}\]
Pozwala szybko rozwiązywać równania i nierówności z modułem.
Przykład: $|x-3|=2$: punkty odległe od 3 o 2, czyli $x=1$ lub $x=5$.
Wartość bezwzględna jako odległość
Wartość bezwzględna
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Liczby ujemne na osi liczbowej
Definicja wartości bezwzględnej
\[|x|=\begin{cases}x, & x\ge0\\ -x, & x<0\end{cases}\]
∑ Matematyka · Liczby ujemne na osi liczbowej
Definicja wartości bezwzględnej
\[|x|=\begin{cases}x, & x\ge0\\ -x, & x<0\end{cases}\]
Wartość bezwzględna liczby jest zawsze nieujemna.
Przykład: $|7|=7$, $|-4{,}5|=4{,}5$, $|0|=0$.
Definicja wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględna
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pole równoległoboku
Równoległobok
\[P=a\cdot h=ab\sin\alpha\]
∑ Matematyka · Pole równoległoboku
Równoległobok
\[P=a\cdot h=ab\sin\alpha\]
Bok razy wysokość opuszczona na ten bok.
Przykład: $a=7$, $h=4$: $P=28$.
Równoległobok
Czworokąty i wielokąty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Prędkość, droga, czas
Droga, prędkość, czas
\[s=v\cdot t,\qquad v=\frac{s}{t},\qquad t=\frac{s}{v}\]
∑ Matematyka · Prędkość, droga, czas
Droga, prędkość, czas
\[s=v\cdot t,\qquad v=\frac{s}{t},\qquad t=\frac{s}{v}\]
Ruch ze stałą prędkością.
Przykład: Rowerzysta jedzie 2,5 h z prędkością 16 km/h: $s=40$ km.
Droga
prędkość
czas
Droga
prędkość i czas
wzór
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Proporcje i ich własności
Proporcja
\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff a\cdot d=b\cdot c\]
∑ Matematyka · Proporcje i ich własności
Proporcja
\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff a\cdot d=b\cdot c\]
Iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów środkowych.
Przykład: $\frac{x}{6}=\frac{5}{3}\Rightarrow 3x=30\Rightarrow x=10$.
Proporcja
Równania i nierówności
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Reguła mnożenia
Reguła mnożenia
\[n_1\cdot n_2\cdots n_k\]
∑ Matematyka · Reguła mnożenia
Reguła mnożenia
\[n_1\cdot n_2\cdots n_k\]
Gdy wybór składa się z kolejnych etapów, liczby możliwości mnożymy.
Przykład: 3 bluzki i 4 spodnie: $3\cdot4=12$ zestawów.
Reguła mnożenia
Kombinatoryka
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Równania kwadratowe — powtórzenie
Miejsca zerowe
\[x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\]
∑ Matematyka · Równania kwadratowe — powtórzenie
Miejsca zerowe
\[x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\]
Wzory stosujemy dla $\Delta\ge0$.
Przykład: $x^2-x-6=0$: $\Delta=25$, $x_1=-2$, $x_2=3$.
Miejsca zerowe
Funkcja kwadratowa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Wielokrotności i dzielniki liczby
Związek NWD i NWW
\[\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b\]
∑ Matematyka · Wielokrotności i dzielniki liczby
Związek NWD i NWW
\[\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b\]
Iloczyn największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb naturalnych równa się iloczynowi tych liczb.
Przykład: $\mathrm{NWD}(12,18)=6$, więc $\mathrm{NWW}(12,18)=\frac{12\cdot18}{6}=36$.
Związek NWD i NWW
Podzielność
NWD i NWW
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Cechy podzielności przez 2, 3, 5, 9, 10
Cechy podzielności
\[2\mid n,\ 5\mid n,\ 10\mid n:\ \text{ostatnia cyfra};\quad 3\mid n,\ 9\mid n:\ \text{suma cyfr}\]
∑ Matematyka · Cechy podzielności przez 2, 3, 5, 9, 10
Cechy podzielności
\[2\mid n,\ 5\mid n,\ 10\mid n:\ \text{ostatnia cyfra};\quad 3\mid n,\ 9\mid n:\ \text{suma cyfr}\]
Przez 2, 5 i 10 sprawdzamy ostatnią cyfrę, przez 3 i 9 — sumę cyfr, przez 4 — liczbę z dwóch ostatnich cyfr.
Przykład: $738$: suma cyfr $7+3+8=18$, więc $738$ dzieli się przez 3 i przez 9.
Cechy podzielności
Podzielność
NWD i NWW
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Geometria analityczna
Prostopadłościan
\[V=abc,\qquad P_c=2(ab+bc+ac)\]
∑ Matematyka · Geometria analityczna
Prostopadłościan
\[V=abc,\qquad P_c=2(ab+bc+ac)\]
Objętość i pole powierzchni prostopadłościanu o krawędziach $a$, $b$, $c$.
Przykład: $2\times3\times4$: $V=24$, $P_c=2(6+12+8)=52$.
Prostopadłościan
Graniastosłupy
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Graniastosłupy — pole powierzchni i objętość
Graniastosłup prawidłowy czworokątny
\[V=a^2H,\qquad P_c=2a^2+4aH,\qquad d=\sqrt{2a^2+H^2}\]
∑ Matematyka · Graniastosłupy — pole powierzchni i objętość
Graniastosłup prawidłowy czworokątny
\[V=a^2H,\qquad P_c=2a^2+4aH,\qquad d=\sqrt{2a^2+H^2}\]
Podstawą jest kwadrat o boku $a$.
Przykład: $a=3$, $H=4$: $V=36$, $P_c=66$, $d=\sqrt{34}$.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny
Graniastosłupy
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Kąty w trójkącie
Suma kątów trójkąta
\[\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\]
∑ Matematyka · Kąty w trójkącie
Suma kątów trójkąta
\[\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\]
Suma miar kątów wewnętrznych każdego trójkąta.
Przykład: Kąty $50^\circ$ i $70^\circ$: trzeci kąt $60^\circ$.
Suma kątów trójkąta
Trójkąty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Mediana, skala centylowa i dominanta
Mediana
\[Me=x_{\frac{n+1}{2}}\ (n\ \text{nieparzyste}),\qquad Me=\frac{x_{\frac n2}+x_{\frac n2+1}}{2}\ (n\ \text{parzyste})\]
∑ Matematyka · Mediana, skala centylowa i dominanta
Mediana
\[Me=x_{\frac{n+1}{2}}\ (n\ \text{nieparzyste}),\qquad Me=\frac{x_{\frac n2}+x_{\frac n2+1}}{2}\ (n\ \text{parzyste})\]
Środkowa wartość danych uporządkowanych rosnąco.
Przykład: Dane 2, 3, 7, 9: $Me=\frac{3+7}{2}=5$.
Mediana
Statystyka
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Mnożenie ułamków zwykłych
Mnożenie ułamków
\[\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\]
∑ Matematyka · Mnożenie ułamków zwykłych
Mnożenie ułamków
\[\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\]
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik. Warto skrócić „na krzyż” przed mnożeniem.
Przykład: $\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$.
Mnożenie ułamków
Działania na ułamkach
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Nierówności kwadratowe — powtórzenie
Nierówność kwadratowa
\[a(x-x_1)(x-x_2)>0\]
∑ Matematyka · Nierówności kwadratowe — powtórzenie
Nierówność kwadratowa
\[a(x-x_1)(x-x_2)>0\]
Szkicujemy parabolę: dla $a>0$ wartości dodatnie są „na zewnątrz” pierwiastków.
Przykład: $x^2-4>0\iff x<-2\ \lor\ x>2$.
Nierówność kwadratowa
Równania i nierówności
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Objętość graniastosłupa
Objętość graniastosłupa
\[V=P_p\cdot H\]
∑ Matematyka · Objętość graniastosłupa
Objętość graniastosłupa
\[V=P_p\cdot H\]
Pole podstawy razy wysokość bryły — wzór wspólny dla każdego graniastosłupa.
Przykład: Podstawa trójkąt o polu 12 cm², $H=10$ cm: $V=120$ cm³.
Objętość graniastosłupa
Graniastosłupy
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pole koła
Pole koła
\[P=\pi r^2\]
∑ Matematyka · Pole koła
Pole koła
\[P=\pi r^2\]
Pole koła o promieniu $r$.
Przykład: $r=3$: $P=9\pi\approx28{,}3$.
Pole koła
Koło i okrąg
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pole prostokąta i kwadratu
Prostokąt
\[P=a\cdot b,\qquad Ob=2a+2b,\qquad d=\sqrt{a^2+b^2}\]
∑ Matematyka · Pole prostokąta i kwadratu
Prostokąt
\[P=a\cdot b,\qquad Ob=2a+2b,\qquad d=\sqrt{a^2+b^2}\]
Pole, obwód i przekątna prostokąta.
Przykład: $a=6$, $b=8$: $P=48$, $Ob=28$, $d=10$.
Prostokąt
Czworokąty i wielokąty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Proporcjonalność prosta
Proporcjonalność prosta
\[y=a\cdot x,\qquad \frac{y}{x}=a\ (\text{stałe})\]
∑ Matematyka · Proporcjonalność prosta
Proporcjonalność prosta
\[y=a\cdot x,\qquad \frac{y}{x}=a\ (\text{stałe})\]
Ile razy wzrośnie $x$, tyle razy wzrośnie $y$.
Przykład: 3 kg jabłek po 4 zł/kg: $y=4\cdot3=12$ zł.
Proporcjonalność prosta
Proporcjonalność odwrotna i funkcje wymierne
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Przesunięcie wykresu funkcji f(x)=a/x o wektor
Przesunięta hiperbola
\[f(x)=\frac{a}{x-p}+q\]
∑ Matematyka · Przesunięcie wykresu funkcji f(x)=a/x o wektor
Przesunięta hiperbola
\[f(x)=\frac{a}{x-p}+q\]
Asymptoty: pionowa $x=p$, pozioma $y=q$.
Przykład: $f(x)=\frac{2}{x-1}+3$: asymptoty $x=1$ i $y=3$.
Przesunięta hiperbola
Proporcjonalność odwrotna i funkcje wymierne
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania
Metoda podstawiania
\[y=c_1-a_1x\ \ \text{podstawiamy do drugiego równania}\]
∑ Matematyka · Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania
Metoda podstawiania
\[y=c_1-a_1x\ \ \text{podstawiamy do drugiego równania}\]
Wyznaczamy jedną niewiadomą z jednego równania i wstawiamy do drugiego.
Przykład: $y=2x$, $x+y=9\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3,\ y=6$.
Metoda podstawiania
Układy równań
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Ułamki właściwe i niewłaściwe. Liczby mieszane
Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy
\[n\frac{a}{b}=\frac{n\cdot b+a}{b}\]
∑ Matematyka · Ułamki właściwe i niewłaściwe. Liczby mieszane
Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy
\[n\frac{a}{b}=\frac{n\cdot b+a}{b}\]
Całości mnożymy przez mianownik i dodajemy licznik.
Przykład: $2\frac{3}{5}=\frac{2\cdot5+3}{5}=\frac{13}{5}$.
Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy
Działania na ułamkach
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Wykres funkcji liniowej (2)
Równanie prostej przez dwa punkty
\[(y-y_1)(x_2-x_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)\]
∑ Matematyka · Wykres funkcji liniowej (2)
Równanie prostej przez dwa punkty
\[(y-y_1)(x_2-x_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)\]
Postać wygodna, gdy znamy dwa punkty prostej.
Przykład: $A(0,1)$, $B(2,5)$: $y=2x+1$.
Równanie prostej przez dwa punkty
Funkcja liniowa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →