Polityka cookies
§ 1. Czym są pliki cookies
Pliki cookies („ciasteczka") to niewielkie dane informatyczne, głównie pliki tekstowe, zapisywane w urządzeniu końcowym Użytkownika i odczytywane przy korzystaniu z Serwisu. Zazwyczaj zawierają nazwę strony, czas przechowywania oraz unikalny identyfikator.
↑ Wróć na górę§ 2. Kto je ustawia (administrator)
Podmiotem, który zapisuje i odczytuje pliki cookies na Twoim urządzeniu, jest AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl) jako administrator Serwisu. W przypadku cookies stron trzecich — robią to również ich dostawcy (szczegóły w § 9).
↑ Wróć na górę§ 3. Cele stosowania cookies
- Dostosowanie treści i optymalizacja działania — rozpoznanie urządzenia i właściwe wyświetlenie strony oraz interfejsu tablicy interaktywnej zgodnie z preferencjami Użytkownika.
- Tworzenie statystyk — zrozumienie sposobu korzystania z Serwisu i tablicy w celu ulepszania struktury i zawartości.
- Utrzymanie sesji — po zalogowaniu, aby nie trzeba było ponownie wpisywać danych na każdej podstronie/sesji.
- Bezpieczeństwo — wykrywanie nadużyć, ochrona przed atakami i zapewnienie integralności usług czasu rzeczywistego (np. WebRTC).
- Marketing/personalizacja — za Twoją zgodą, wyświetlanie treści lepiej dopasowanych do zainteresowań.
§ 4. Rodzaje: sesyjne i stałe
Stosujemy cookies „sesyjne” (tymczasowe) — działają do czasu wylogowania, opuszczenia strony lub zamknięcia przeglądarki — oraz „stałe”, które pozostają do upływu wskazanego terminu lub do ich usunięcia przez Użytkownika.
↑ Wróć na górę§ 5. Kategorie cookies w serwisie
- Niezbędne — umożliwiają korzystanie z kluczowych usług (uwierzytelnianie, utrzymanie sesji, podstawowa konfiguracja tablicy). Bez nich Serwis może nie działać poprawnie.
- Bezpieczeństwo — pomagają wykrywać nadużycia w uwierzytelnianiu i chronić usługi czasu rzeczywistego.
- Wydajnościowe/statystyczne — zbierają informacje o sposobie korzystania z Serwisu dla celów analitycznych.
- Funkcjonalne — zapamiętują wybrane ustawienia i personalizację interfejsu (np. język, układ narzędzi, preferencje audio/wideo).
- Reklamowe/personalizacyjne — dostarczają treści reklamowych lepiej dopasowanych do zainteresowań Użytkownika (tylko za zgodą).
§ 6. Zarządzanie zgodą
Zgodą na instalowanie cookies (poza niezbędnymi) możesz zarządzać w banerze cookies wyświetlanym przy pierwszej wizycie oraz w ustawieniach przeglądarki. Zgodę możesz w każdej chwili wycofać lub zmienić — nie wpływa to na zgodność z prawem wcześniejszego wykorzystania cookies.
↑ Wróć na górę§ 7. Ustawienia przeglądarek
Większość przeglądarek domyślnie zezwala na cookies. Możesz zablokować ich zapisywanie lub ustawić powiadomienia o każdym zapisie. Instrukcje dla popularnych przeglądarek:
- Chrome: support.google.com/chrome/answer/95647
- Firefox: support.mozilla.org/pl/kb/ciasteczka
- Safari (Mac): support.apple.com – zarządzanie cookies
- Edge: support.microsoft.com – usuwanie plików cookie
- Opera: help.opera.com – cookies
- Safari (iOS/iPadOS): Ustawienia → Safari → Zaawansowane → Blokuj wszystkie pliki cookie
§ 8. Skutki ograniczeń
Ograniczenie stosowania cookies może spowodować nieprawidłowe działanie niektórych funkcji Serwisu — zwłaszcza logowania, utrzymania sesji i elementów tablicy interaktywnej (np. zapamiętanie ustawień urządzeń audio/wideo).
↑ Wróć na górę§ 9. Cookies stron trzecich
W Serwisie mogą pojawiać się cookies podmiotów trzecich (np. dostawcy analityki, usług czasu rzeczywistego, płatności, komunikacji). Podmioty te mogą uzyskiwać dostęp do swoich cookies zgodnie z własnymi politykami. W przypadku wykorzystania reklam on-line — odpowiednie pliki mogą być używane do personalizacji treści (wyłącznie za zgodą).
W przypadku skorzystania z integracji z Google (logowanie przez Google, Google Drive, Google Calendar), w procesie uwierzytelniania OAuth 2.0 mogą być ustawiane cookies przez serwisy Google zgodnie z Polityką Prywatności Google. Serwis przechowuje po swojej stronie token sesji OAuth wyłącznie jako niezbędny plik cookie sesji — bez niego utrzymanie połączenia z kontem Google byłoby niemożliwe.
↑ Wróć na górę§ 10. Zmiany i kontakt
- Polityka cookies może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (np. zmiany prawa, technologii, zakresu usług). O zmianach poinformujemy w Serwisie z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie.
- Kontakt w sprawach cookies: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów, tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Iloczyn skalarny i wektorowy wektorów w R³
Iloczyn skalarny: $\vec{u}\cdot\vec{v} = u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$
Iloczyn wektorowy: $\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}$; $|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$
$\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \Leftrightarrow$ prostopadłe; $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0} \Leftrightarrow$ równoległe.
$|\vec{u}\times\vec{v}|$ = pole równoległoboku rozpiętego przez $\vec{u}$ i $\vec{v}$.
Trójskalar mieszany: $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})$ = objętość równoległościanu.
$\vec{u}=[1,2,3]$, $\vec{v}=[4,5,6]$: $\vec{u}\cdot\vec{v}=4+10+18=32$. $\vec{u}\times\vec{v}=[2\cdot6-3\cdot5,\ldots]=[-3,6,-3]$.
Iloczyn wektorowy nie jest przemienny: $\vec{u}\times\vec{v}=-\vec{v}\times\vec{u}$.
Równania różniczkowe — czynnik całkujący
Liniowe RR rzędu I: $y'+P(x)y=Q(x)$.
Czynnik całkujący: $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$.
Mnożymy obie strony przez $\mu$: $(\mu y)'=\mu Q(x)$, stąd $y=\frac{1}{\mu}\int\mu Q\,dx+\frac{C}{\mu}$.
Jednorodne: $y'+P(x)y=0\Rightarrow y=Ce^{-\int P\,dx}$.
Niejednorodne: $y=y_{ogólne}=y_{jednorodne}+y_{szczególne}$.
Alternatywa: metoda zmiennych stałych — w $y_j$ zastąp stałą $C$ funkcją $C(x)$.
$y'+2y=e^x$: $\mu=e^{2x}$; $(e^{2x}y)'=e^{3x}$; $e^{2x}y=\frac{1}{3}e^{3x}+C$; $y=\frac{e^x}{3}+Ce^{-2x}$.
Sprawdź przez podstawienie. $y'+P(x)y=0$ jest liniowe jednorodne: zawsze rozdzielenie zmiennych też działa: $\frac{dy}{y}=-P\,dx$.
Funkcja wykładnicza — definicja i własności
Własności: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0, +\infty)$, $f(0)=1$, $f(1)=a$.
Równanie $a^x = b$ ma rozwiązanie: $x = \log_a b$ (dla $b > 0$).
- $a > 1$: rosnąca; $\lim_{x\to-\infty}a^x=0$, $\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty$
- $0 < a < 1$: malejąca; $\lim_{x\to-\infty}a^x=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty}a^x=0$
Prawa działań: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$; $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$; $(a^m)^n=a^{mn}$.
- $8 = 2^3$, więc $2^{2x-1} = 2^3$
- $2x-1=3 \Rightarrow x=2$
Prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa
Zdarzenia niezależne: $A \perp B \Leftrightarrow P(A|B) = P(A) \Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)$.
Wzór Bayesa: $$P(H_k|A) = \frac{P(A|H_k)\cdot P(H_k)}{\sum_{i=1}^n P(A|H_i)\cdot P(H_i)}$$ Aktualizuje prawdopodobieństwo hipotezy po zaobserwowaniu zdarzenia.
- $P(W) = 0{,}5\cdot0{,}02+0{,}3\cdot0{,}03+0{,}2\cdot0{,}05 = 0{,}01+0{,}009+0{,}01=0{,}029$
- $P(III|W) = \dfrac{0{,}2\cdot0{,}05}{0{,}029} = \dfrac{0{,}01}{0{,}029} \approx 34{,}5\%$
Układy równań różniczkowych liniowych
$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$, gdzie $A$ — macierz $n\times n$, $\mathbf{x}=[x_1,\ldots,x_n]^T$.
Metoda wartości własnych: jeśli $Av=\lambda v$, to $\mathbf{x}(t)=Ce^{\lambda t}v$ jest rozwiązaniem.
Rozwiązanie ogólne (różne wartości własne $\lambda_1,\lambda_2$): $\mathbf{x}=C_1e^{\lambda_1t}v_1+C_2e^{\lambda_2t}v_2$.
Stabilność: $\text{Re}(\lambda)<0$ → rozwiązanie maleje do $0$ (stabilne); $>0$ → rośnie (niestabilne).
Sprzężone zespolone $\lambda=\alpha\pm\beta i$: rozwiązania $e^{\alpha t}\cos(\beta t)$, $e^{\alpha t}\sin(\beta t)$.
$\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\mathbf{x}$: $\lambda_1=3$, $v_1=[1,1]^T$; $\lambda_2=1$, $v_2=[1,-1]^T$; $\mathbf{x}=C_1e^{3t}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+C_2e^{t}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$.
Punkt stały $\mathbf{x}=0$: węzeł (realne $\lambda$), spirala (zespolone $\lambda$), środek (czysto urojone). Stabilność → lewy półpłaszczyzna.
Wielomiany — definicja, stopień i pierwiastki
Liczba $x_0$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$, jeśli $W(x_0) = 0$. Twierdzenie Bezouta: $(x - x_0) \mid W(x) \Leftrightarrow W(x_0) = 0$.
- Dodawanie/odejmowanie: zbierz wyrazy podobne (te same potęgi $x$)
- Mnożenie: każdy wyraz przez każdy (rozdzielność)
- Dzielenie: algorytm dzielenia wielomianów lub tw. Bezout
- Schemat Hornera: szybkie obliczanie wartości i dzielenie
- $W(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓
- Dzielimy przez $(x-1)$: $W(x) = (x-1)(x^2-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3)$
- Pierwiastki: $x = 1, 2, 3$
Optymalizacja wielowymiarowa — gradient i warunki KKT
Minimum lokalne $f(x,y)$: $\nabla f=\vec{0}$ (warunek konieczny bez więzów).
Kryterium drugiego rzędu: macierz Hessego $H$ dodatnio określona → minimum; ujemnie → maksimum; nieokreślona → siodło.
Warunki KKT (Karush-Kuhn-Tucker) dla optimum z więzami $g_i(x)\le0$:
$\nabla f+\sum\lambda_i\nabla g_i=0$; $\lambda_i\ge0$; $\lambda_i g_i=0$ (komplementarność).
Mnożniki Lagrange'a: $\nabla f=\lambda\nabla g$ dla więzów równościowych $g(x)=0$.
Max $xy$ przy $x+y=10$: $y=\lambda$, $x=\lambda$, $x+y=10$ → $x=y=5$, max $=25$.
KKT to fundamenty uczenia maszynowego: SVM (Support Vector Machine) rozwiązuje dokładnie ten problem.
Metoda trapezów i Simpsona — całkowanie numeryczne
Przybliżone obliczanie $\int_a^b f(x)\,dx$ gdy brak funkcji pierwotnej lub zbyt złożona.
Metoda trapezów: $T_n = h\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right]$, $h=\frac{b-a}{n}$
Błąd: $O(h^2)$.
Metoda Simpsona ($n$ parzyste): $S_n = \frac{h}{3}\left[f(a)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\ldots+f(b)\right]$
Błąd: $O(h^4)$ — dokładniejsza od trapezów.
Simpsonowi odpowiadają parabole przybliżające $f$ na kolejnych parach przedziałów.
$\int_0^1 e^{-x^2}dx$ (nie ma funkcji pierwotnej w elementarnej postaci): Simpson 4 kroki daje $\approx0{,}7468$.
Praktyka: biblioteki numeryczne (scipy, MATLAB) stosują adaptacyjne metody Simpsona z automatyczną kontrolą błędu.
Całki wielokrotne — Fubini i zamiana kolejności
Twierdzenie Fubiniego: $\iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\right)dx$
Zamiana kolejności całkowania — gdy granice zależne od obu zmiennych, niekiedy upraszcza obliczenia.
Współrzędne biegunowe: $\iint_D f\,dA = \int\int f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta$.
Objętość: $V=\iint_D[f(x,y)-g(x,y)]\,dA$ (między dwiema powierzchniami).
$\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}dy\,dx$: zamiana kolejności → $\int_0^1\int_0^y e^{y^2}dx\,dy=\int_0^1 ye^{y^2}dy=\frac{e-1}{2}$.
Zmiana kolejności całkowania często odblokowuje nieciągłe całki — $\int e^{y^2}dy$ nie istnieje w elementarnej postaci.
Granica i ciągłość funkcji — definicja Cauchy'ego
Definicja $\varepsilon$-$\delta$ (Cauchy): $\lim_{x\to a} f(x) = L$ gdy:
$$\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\; 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$$Ciągłość w punkcie $a$: $\lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) = f(a)$.
Nieciągłości: usuwalna ($\lim$ istnieje, ale $\ne f(a)$), skokowa (granice jednostronne różne), istotna (brak granicy).
Tw. Weierstrassa: funkcja ciągła na $[a,b]$ osiąga max i min. Tw. Darboux (wartości pośredniej): $f(a)<0
Wielomiany, funkcje trygonometryczne, wykładnicze — ciągłe wszędzie. $\frac{1}{x}$ — nieciągła w $x=0$.
Całki niewłaściwe — zbieżność i dywergencja
Całka niewłaściwa (nieskończona granica): $\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$
Całka niewłaściwa (osobliwość): $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx$
Kryterium porównawcze: jeśli $0 \le f(x) \le g(x)$ i $\int g$ zbiega → $\int f$ zbiega.
$\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx$ zbiega dla $p > 1$, dywerguje dla $p \le 1$.
$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^\infty = 0-(-1)=1$. $\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \ln\infty = \infty$ (dywerguje).
"Parasolka harmoniczna" $\frac{1}{x}$ dywerguje, mimo że $\frac{1}{x} \to 0$. Szybkość dążenia do 0 ma znaczenie.
Delta Diraca i rozkłady — wstęp do analizy funkcjonalnej
Delta Diraca $\delta(x)$: "funkcja" taka że $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,dx=1$ i $\delta(x)=0$ dla $x\ne0$.
Własność przesiewająca: $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a)\,dx=f(a)$.
Formalnie: $\delta$ to rozkład (functional), nie funkcja. Granica gaussiana: $\delta(x)=\lim_{\sigma\to0}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2\sigma^2}$.
$\mathcal{F}\{\delta(x)\}=1$ (płaskie widmo); $\mathcal{F}\{1\}=\delta(\xi)$.
Zastosowania: odpowiedź impulsowa układów, ładunek punktowy, siła udarowa.
"Idealny impuls" w czasie — puls prostokątny coraz węższy i wyższy zachowując pole = 1 → delta.
Pochodne wyższych rzędów i wzór Leibniza
$f^{(n)}(x)$ — $n$-ta pochodna. Jeśli $f^{(2)}>0$ → wypukła (concave up); $f^{(2)}<0$ → wklęsła.
Wzór Leibniza na $n$-tą pochodną iloczynu:
$$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$$Analogia do dwumianu Newtona — współczynniki te same.
Wzory: $(e^x)^{(n)}=e^x$; $(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}{2})$; $(x^m)^{(n)}=\frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}$ ($n\le m$).
$(x^2 e^x)^{(3)}$: wz. Leibniza → $x^2e^x+3\cdot2x\cdot e^x+3\cdot2\cdot e^x = e^x(x^2+6x+6)$.
$f^{(n)}(x_0)=0$ dla wszystkich $n$ nie gwarantuje że $f\equiv0$ (przykład: $e^{-1/x^2}$ w $x=0$).
Funkcja logarytmiczna — definicja i własności
Funkcja odwrotna do $a^x$: $\log_a(a^x) = x$ i $a^{\log_a x} = x$.
Dziedzina: $(0,+\infty)$; zbiór wartości: $\mathbb{R}$; $f(1)=0$, $f(a)=1$.
- $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
- $\log_a\dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
- $\log_a x^n = n\log_a x$
- Zmiana podstawy: $\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a} = \dfrac{\ln x}{\ln a}$
- Warunek dziedziny: $2x+1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}$
- $2x+1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x = 4$
- $x=4 > -\frac{1}{2}$ ✓
Krzywe i krzywizna — geometria różniczkowa
Krzywizna krzywej: $\kappa = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$ (dla $y=f(x)$).
Promień krzywizny: $R=\frac{1}{\kappa}$. Środek krzywizny: centrum oscylującego okręgu.
Parametrycznie: $\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$.
Dla okręgu $r$: $\kappa=\frac{1}{r}$ (stała). Dla prostej: $\kappa=0$.
Ewoluta: zbiór środków krzywizny krzywej — nowa krzywa.
Zastosowania: projektowanie dróg (łuki), tor lotu satelity, optyka (korekcja aberracji).
Parabola $y=x^2$: $y'=2x$, $y''=2$; $\kappa(0)=\frac{2}{1}=2$; $R=0{,}5$ — bardzo zakrzywiona w wierzchołku.
Na autostradzie łuki kołowe łączy się klotoidą (Euler spiral) — $\kappa$ rośnie liniowo → wygodne dla kierowcy.
Funkcja złożona — definicja i obliczenia
- Reguła łańcuchowa w różniczkowaniu
- Zmiana zmiennej w całkowaniu
- Programowanie funkcyjne (compose)
Funkcja odwrotna — kiedy istnieje i jak ją wyznaczać
- $\ln$ jako odwrotność $e^x$
- $\arcsin$ jako odwrotność $\sin$ (na odpowiednim przedziale)
- Kryptografia (klucz publiczny i prywatny)
Funkcje hiperboliczne — sinh, cosh, tanh
$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$
Tożsamość: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (analogia do $\cos^2+\sin^2=1$).
Pochodne: $(\sinh x)' = \cosh x$, $(\cosh x)' = \sinh x$, $(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}$
$\cosh x$ — krzywa łańcuchowa (zwisający łańcuch, kabel).
Całka: $\int \sinh x\,dx = \cosh x + C$. $\cosh(0)=1$, $\sinh(0)=0$.
Różnica od trig: $(\cosh x)' = +\sinh x$ (nie $-\cosh x$). Funkcje hiperboliczne nie są periodyczne.
Przekształcenia wykresów funkcji
• $y=f(x)+c$: przesunięcie o $c$ w górę
• $y=f(x-d)$: przesunięcie o $d$ w prawo
• $y=-f(x)$: odbicie względem osi $x$
• $y=f(-x)$: odbicie względem osi $y$
• $y=af(x)$: rozciągnięcie pionowe ($a>1$) lub ściskanie ($0
- Rysowanie wykresów skomplikowanych funkcji
- Przesunięcia i skalowania w grafice
- Dopasowywanie modeli do danych
Równania cząstkowe — fala, ciepło, Laplace
Równanie falowe: $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\nabla^2 u$ — opis fal.
Równanie ciepła: $\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\nabla^2 u$ — dyfuzja ciepła.
Równanie Laplace'a: $\nabla^2 u=0$ — pola harmoniczne (elektrostatyka, nieściśliwy przepływ).
Metoda rozdzielenia zmiennych: $u(x,t)=X(x)T(t)$ → dwa ODE.
Dla struny: $u(x,t)=\sum A_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L}$ — fale stojące.
Rozwiązania RCP są unikalne przy odpowiednich warunkach brzeg./pocz. (tw. istnienia i jednoznaczności).
Twierdzenie Lagrange'a — wartość średnia pochodnej
Twierdzenie Lagrange'a (wartości średniej): Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$ i różniczkowalna na $(a,b)$, to istnieje $c \in (a,b)$ takie, że:
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$Geometrycznie: istnieje punkt, w którym styczna do wykresu jest równoległa do siecznej $AB$.
Twierdzenie Rolle'a (szczególny przypadek $f(a)=f(b)$): $\exists c: f'(c)=0$.
Zastosowania: dowody nierówności, szacowanie przyrostów funkcji, dowody tożsamości.
$f(x)=x^2$, $[1,3]$: $\frac{9-1}{2}=4=f'(c)=2c$ → $c=2 \in (1,3)$ ✓.
Twierdzenie gwarantuje istnienie $c$, ale nie mówi ile takich punktów jest ani gdzie dokładnie.
Badanie przebiegu zmienności funkcji — schemat
Pełny schemat badania funkcji:
- Dziedzina $D$
- Parzysta/nieparzysta/brak symetrii
- Miejsca zerowe
- Granice i asymptoty
- Pochodna $f'$ → ekstrema i monotoniczność
- Pochodna $f''$ → wypukłość i punkty przegięcia
- Wykres
Ekstrema: $f'(c)=0$ i zmiana znaku $f'$ → minimum lub maksimum lokalne.
Wypukłość: $f''>0$ → wypukła w górę (łuk), $f''<0$ → wklęsła.
Punkt przegięcia: $f''=0$ i zmiana znaku $f''$.
$f(x)=x^3-3x$: $f'=3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm 1$; $f''=6x$: min w $x=1$ (f''=6>0), max w $x=-1$.
Zawsze sprawdzaj dziedzinę przed różniczkowaniem — logarytmy i pierwiastki mają ograniczenia.
Funkcja wymierna — wykres i asymptoty
• Pionowa: $x=a$ gdy $Q(a)=0$ i $P(a)\neq0$
• Pozioma: $y=L$ gdy $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$
• Ukośna: $y=ax+b$ gdy $\deg P = \deg Q+1$
- Analiza zachowania funkcji na krańcach dziedziny
- Modelowanie odpowiedzi nasyceniowych
- Fizyka (opór, ciśnienie)
Geometria Riemanniańska — wstęp do tensorów
Przestrzeń Riemanniańska: rozmaitość różniczkowa z metryką $g_{\mu\nu}$ definiującą odległości i kąty lokalnie.
Element łukowy: $ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ (konwencja sumacyjna Einsteina).
Tensor jest obiektem niezależnym od układu współrzędnych — transformuje się w określony sposób.
Tensor metryczny sfery: $ds^2=R^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2)$.
Krzywizna Gaussa $K=\frac{1}{R^2}$ (sfera); $K=0$ (płaszczyzna); $K<0$ (siodło).
Twierdzenie Gauss-Bonnet: $\iint_S K\,dA=2\pi\chi$ ($\chi$ — charakterystyka Eulera).
OTW Einsteina opisuje grawitację jako krzywizną 4D przestrzeni Riemanniańskiej — tensor krzywizny Ricciego.
Strona 2 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.
Poznaj wszystkie funkcje LekcjeRazem
Ponad 40 funkcji stworzonych dla korepetytorów. Kliknij dowolną, aby dowiedzieć się o niej więcej.