Iloraz to stosunek wyrazu następnego do poprzedniego:

$$q=\frac{6}{2}=3$$

Sprawdzenie: $\frac{18}{6}=3$ oraz $\frac{54}{18}=3$ ✔ Iloraz musi być ten sam dla każdej kolejnej pary.

Odpowiedź: C. $q=3$.

Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny:

$$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$$

$$a_5=5\cdot2^{4}=5\cdot16=80$$

Uwaga na wykładnik: to $n-1$, a nie $n$ — pierwszy wyraz nie jest jeszcze mnożony przez $q$.

Odpowiedź: $a_5=80$.

Wzór na sumę:

$$S_n=a_1\cdot\frac{q^{\,n}-1}{q-1}$$

$$S_7=1\cdot\frac{2^{7}-1}{2-1}=\frac{128-1}{1}=127$$

Sprawdzenie: $1+2+4+8+16+32+64=127$ ✔

Odpowiedź: $S_7=127$.

Własność środkowego wyrazu:

$$x^2=4\cdot25=100$$

$$x=10 \quad\text{lub}\quad x=-10$$

Dodatnia wartość to $10$.

Uwaga: $14{,}5$ to średnia arytmetyczna liczb $4$ i $25$ — byłaby poprawna dla ciągu arytmetycznego, nie geometrycznego.

Odpowiedź: B. $x=10$.

Wzór na procent składany:

$$K_n=K_0(1+p)^n$$

$$K_2=1000\cdot1{,}05^{2}=1000\cdot1{,}1025=1102{,}50\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $1102{,}50$ zł.

Wypisujemy kolejne wyrazy:

$$8,\ 4,\ 2,\ 1,\ \tfrac12,\ \dots$$

Rachunkowo:

$$8\cdot\left(\tfrac12\right)^{n-1}=1 \quad\Rightarrow\quad \left(\tfrac12\right)^{n-1}=\tfrac18 \quad\Rightarrow\quad n-1=3$$

$$n=4$$

Odpowiedź: A. czwarty.

Krok 1 — relacja między wyrazami:

$$a_4=a_2\cdot q^{2}$$

Krok 2 — wyznaczamy $q$:

$$q^{2}=\frac{108}{12}=9 \quad\Rightarrow\quad q=3 \ \ (q>0)$$

Krok 3 — pierwszy wyraz:

$$a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{12}{3}=4$$

Sprawdzenie: ciąg to $4$, $12$, $36$, $108$ ✔

Odpowiedź: $a_1=4$, $q=3$.

Krok 1 — iloraz:

$$q=\frac{-6}{3}=-2$$

Krok 2 — wzór na sumę:

$$S_6=3\cdot\frac{(-2)^{6}-1}{-2-1}=3\cdot\frac{64-1}{-3}=3\cdot(-21)=-63$$

Sprawdzenie: $3-6+12-24+48-96=-63$ ✔

Uwaga: potęga parzysta liczby ujemnej jest dodatnia — $(-2)^6=64$, a nie $-64$.

Odpowiedź: $S_6=-63$.

Podstawiamy do wzoru na procent składany:

$$K_3=2000\cdot1{,}1^{3}=2000\cdot1{,}331=2662\ \text{zł}$$

Skąd różnica względem $2600$ zł. Procent prosty dałby $3\cdot200=600$ zł odsetek. Przy składanym odsetki same procentują, stąd dodatkowe $62$ zł.

Odpowiedź: D. $2662$ zł.

Krok 1 — iloraz i warunek zbieżności:

$$q=\frac12,\qquad |q|<1 \ \ ✔$$

Krok 2 — wzór na sumę szeregu:

$$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{8}{1-\tfrac12}=\frac{8}{\tfrac12}=16$$

Interpretacja: mimo nieskończenie wielu składników suma jest skończona — kolejne wyrazy maleją dostatecznie szybko.

Odpowiedź: $S=16$.

Suma szeregu istnieje tylko wtedy, gdy kolejne wyrazy dążą do zera, czyli gdy:

$$|q|<1$$

Dlaczego nie $q=1$: wtedy wszystkie wyrazy są równe $a_1$ i suma rośnie bez ograniczeń (o ile $a_1\neq0$).

Odpowiedź: B. $|q|<1$.

Krok 1 — warunek:

$$1000\cdot1{,}2^{\,n}>2000 \quad\Rightarrow\quad 1{,}2^{\,n}>2$$

Krok 2 — sprawdzamy kolejne potęgi:

$$1{,}2^{3}=1{,}728,\qquad 1{,}2^{4}=2{,}0736$$

Krok 3 — wniosek: warunek spełniony po raz pierwszy dla $n=4$.

Sprawdzenie: $1000\cdot2{,}0736=2073{,}60$ zł $>2000$ zł ✔, a po trzech latach było $1728$ zł, czyli za mało.

Odpowiedź: po $4$ latach.

Krok 1 — zapisujemy wyrazy przez środkowy:

$$\frac{a_2}{q},\qquad a_2,\qquad a_2q$$

Krok 2 — iloczyn. Ilorazy się skracają:

$$\frac{a_2}{q}\cdot a_2\cdot a_2q=a_2^{\,3}$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$a_2^{\,3}=216 \quad\Rightarrow\quad a_2=6$$

Warto zapamiętać. Zapis wyrazów w postaci $\frac{a}{q},\ a,\ aq$ jest standardową sztuczką — pozbywa się $q$ z iloczynu.

Odpowiedź: $a_2=6$.

Iloraz to $q=\frac13$, więc:

$$S=\frac{1}{1-\tfrac13}=\frac{1}{\tfrac23}=\frac32=1{,}5$$

Odpowiedź: C. $1{,}5$.

Krok 1 — mnożnik rocznego spadku:

$$1-0{,}15=0{,}85$$

Krok 2 — po trzech latach:

$$60\ 000\cdot0{,}85^{3}=60\ 000\cdot0{,}614125=36\ 847{,}50\ \text{zł}$$

Uwaga: to procent składany „w dół” — łączny spadek wynosi około $38{,}6\%$, a nie $45\%$.

Odpowiedź: około $36\ 847{,}50$ zł.

Podstawiamy do wzoru:

$$a_{10}=3\cdot(-1)^{9}=3\cdot(-1)=-3$$

Wykładnik jest nieparzysty ($n-1=9$), więc znak się zmienia. Ciąg wygląda tak: $3$, $-3$, $3$, $-3$, … — wyrazy o numerach parzystych są ujemne.

Odpowiedź: A. $-3$.

Krok 1 — stopa za kwartał. Roczne $12\%$ dzielimy na cztery okresy:

$$\frac{12\%}{4}=3\%$$

Krok 2 — cztery kapitalizacje w roku:

$$K=5000\cdot1{,}03^{4}=5000\cdot1{,}12550881\approx5627{,}54\ \text{zł}$$

Krok 3 — kapitalizacja roczna dla porównania:

$$5000\cdot1{,}12=5600\ \text{zł}$$

Krok 4 — różnica:

$$5627{,}54-5600=27{,}54\ \text{zł}$$

Wniosek. Częstsza kapitalizacja daje więcej, bo odsetki zaczynają procentować wcześniej. Efektywna stopa roczna to tu około $12{,}55\%$.

Odpowiedź: około $5627{,}54$ zł, czyli o $27{,}54$ zł więcej.