Logarytm odpowiada na pytanie: do której potęgi podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę?

$$3^4=81 \quad\Rightarrow\quad \log_3 81=4$$

Warto rozpisać potęgi trójki: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$.

Odpowiedź: C. $4$.

Sposób 1 — osobno każdy logarytm:

$$\log_2 8=3 \quad (\text{bo } 2^3=8),\qquad \log_2 4=2 \quad (\text{bo } 2^2=4)$$

$$3+2=5$$

Sposób 2 — wzór na logarytm iloczynu:

$$\log_a x+\log_a y=\log_a(x\cdot y)$$

$$\log_2 8+\log_2 4=\log_2 32=5 \quad (\text{bo } 2^5=32)$$

Oba sposoby dają ten sam wynik — drugi bywa niezbędny, gdy pojedyncze logarytmy nie są „ładne”.

Odpowiedź: $5$.

Pojedyncze logarytmy nie są liczbami całkowitymi, więc korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:

$$\log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}$$

Podstawiamy:

$$\log_5 100-\log_5 4=\log_5\frac{100}{4}=\log_5 25$$

Obliczamy:

$$\log_5 25=2 \quad (\text{bo } 5^2=25)$$

Odpowiedź: $2$.

Logarytm jest określony tylko dla liczb dodatnich.

Dlaczego: $\log_2 x=y$ oznacza $2^y=x$. Potęga o podstawie dodatniej zawsze daje wynik dodatni — nie da się otrzymać zera ani liczby ujemnej.

$$D=(0,\,+\infty)$$

Uwaga na odpowiedź C: zero nie należy do dziedziny, bo żadna potęga dwójki nie jest równa zeru.

Odpowiedź: B. $x>0$.

Krok 1 — sprowadzamy obie strony do tej samej podstawy:

$$32=2^5$$

$$2^x=2^5$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki. Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc z równości potęg o tej samej podstawie wynika równość wykładników:

$$x=5$$

Sprawdzenie: $2^5=32$ ✔

Odpowiedź: $x=5$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$27=3^3 \quad\Rightarrow\quad 3^{2x-1}=3^3$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$2x-1=3$$

Krok 3 — rozwiązujemy równanie liniowe:

$$2x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Sprawdzenie: $3^{2\cdot2-1}=3^3=27$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

O monotoniczności funkcji wykładniczej $f(x)=a^x$ decyduje podstawa:

$$a>1 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad 0

Tutaj $a=\frac12$, czyli $0maleje w całej dziedzinie.

Sprawdźmy na liczbach:

$$f(0)=1,\qquad f(1)=\tfrac12,\qquad f(2)=\tfrac14$$

Wartości faktycznie maleją.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — dziedzina. Argument logarytmu musi być dodatni:

$$x-1>0 \quad\Rightarrow\quad x>1$$

Krok 2 — przechodzimy na postać wykładniczą. Zapis $\log_2 A=3$ oznacza $A=2^3$:

$$x-1=2^3=8$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=9$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę: $9>1$ ✔

Sprawdzenie w równaniu: $\log_2(9-1)=\log_2 8=3$ ✔

Uwaga: w równaniach logarytmicznych wyznaczenie dziedziny to nie formalność — rozwiązania spoza niej trzeba odrzucić.

Odpowiedź: $x=9$.

Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść $a$, aby otrzymać $1$:

$$a^0=1 \quad\Rightarrow\quad \log_a 1=0$$

Każda liczba dodatnia podniesiona do potęgi zerowej daje $1$, więc wynik nie zależy od podstawy.

Druga zależność warta zapamiętania: $\log_a a=1$, bo $a^1=a$.

Odpowiedź: D. $0$.

Krok 1 — zamieniamy drugi czynnik na podstawę $2$. Ze wzoru na zmianę podstawy:

$$\log_5 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 5}$$

Krok 2 — podstawiamy do iloczynu:

$$\log_2 5\cdot\frac{\log_2 8}{\log_2 5}=\log_2 8$$

Czynnik $\log_2 5$ się skraca.

Krok 3 — obliczamy:

$$\log_2 8=3$$

Reguła ogólna: $\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$ — podstawy „skracają się” jak ogniwa łańcucha.

Odpowiedź: $3$.

Krok 1 — sprowadzamy obie strony do podstawy $2$:

$$4=2^2,\qquad 8=2^3$$

$$\left(2^2\right)^x=2^3$$

Krok 2 — korzystamy ze wzoru $(a^m)^n=a^{mn}$:

$$2^{2x}=2^3$$

Krok 3 — porównujemy wykładniki:

$$2x=3 \quad\Rightarrow\quad x=\frac32$$

Sprawdzenie: $4^{3/2}=\left(\sqrt4\right)^3=2^3=8$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac32=1{,}5$.

Podstawiamy $x=0$ do wzoru funkcji:

$$f(0)=a^0=1$$

Zachodzi to dla każdej dopuszczalnej podstawy, więc wszystkie wykresy funkcji wykładniczych przecinają oś OY w tym samym punkcie $(0,\,1)$.

Uwaga na kolejność współrzędnych: odpowiedź A ma te same liczby, ale zamienione miejscami — punkt $(1,\,0)$ leży na osi OX, a funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości $0$.

Dla porównania: wykres funkcji logarytmicznej przechodzi przez $(1,\,0)$.

Odpowiedź: B. $(0,\,1)$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$16=2^4 \quad\Rightarrow\quad 2^x>2^4$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki. Podstawa $2>1$, więc funkcja jest rosnąca i znak nierówności pozostaje bez zmian:

$$x>4$$

Kluczowa uwaga: gdyby podstawa mieściła się w przedziale $(0,\,1)$, funkcja byłaby malejąca i znak nierówności trzeba by odwrócić. Przykładowo $\left(\frac12\right)^x>\frac{1}{16}$ daje $x<4$.

Odpowiedź: $x\in(4,\,+\infty)$.

Pierwszy logarytm. Szukamy wykładnika dającego $\frac19$:

$$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac19 \quad\Rightarrow\quad \log_3\frac19=-2$$

Drugi logarytm. Podstawą jest teraz $\frac13$:

$$\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9 \quad\Rightarrow\quad \log_{\frac13} 9=-2$$

Obserwacja: oba wyniki są równe $-2$. Odwrócenie podstawy i odwrócenie argumentu jednocześnie nie zmienia wartości logarytmu.

Uwaga: logarytm może być ujemny — to nie błąd. Ujemny wynik oznacza tylko, że argument jest mniejszy od $1$ przy podstawie większej od $1$.

Odpowiedź: oba logarytmy wynoszą $-2$.