Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$(1+3\cdot2^{-1})^{-2}=\left(1+3\cdot\frac{1}{2}\right)^{-2}=\left(1+\frac{3}{2}\right)^{-2}= \           ,\
=\left(\frac{5}{2}\right)^{-2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$

W wyrażeniu pojawiają nam się dwa kluczowe logarytmy, więc dla lepszego zobrazowania może rozwiążmy je osobno (bo mamy taką możliwość):
$$log_{5}5=1 \           ,\
log_{5}625=log_{5}5^4=4$$

Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$2log_{5}5+1-\frac{1}{2}log_{5}625=2\cdot1+1-\frac{1}{2}\cdot4=2+1-2=1$$

Aby liczba była podzielna przez \(25\), to dwie ostatnie jej cyfry muszą być równe: \(25, 50, 75\) lub \(00\). My chcemy, by dodatkowo ta liczba była jeszcze nieparzysta, czyli interesująca nas liczba może przybrać jedną z dwóch postaci:
$$■■25 \           ,\
■■75$$

Spróbujmy zatem ustalić, ile jest takich liczb czterocyfrowych, analizując ile mamy możliwości uzupełnienia cyfr tysięcy i setek liczby:
• cyfra tysięcy - tutaj możemy mieć cyfry od \(1\) do \(9\) włącznie, czyli mamy \(9\) możliwości uzupełnienia cyfry tysięcy
• cyfra setek - tutaj możemy mieć cyfr od \(0\) do \(9\) włącznie, czyli mamy \(10\) możliwości uzupełnienia cyfry setek
• cyfra dziesiątek i jedności - tu jak już ustaliliśmy, pasują nam tylko warianty \(25\) lub \(75\), czyli mamy \(2\) możliwości

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb będzie:
$$9\cdot10\cdot2$$

Celem zadania jest zapisanie tego wyrażenia w formie pojedynczego ułamka. Musimy więc odjąć od siebie podane liczby, a żeby tego dokonać, to trzeba sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu musimy liczbę \(5\) rozpisać jako \(\frac{5\cdot(x-1)}{x-1}\), co sprawi, że otrzymamy:
$$\frac{2}{x-1}-5=\frac{2}{x-1}-\frac{5\cdot(x-1)}{x-1}=\frac{2}{x-1}-\frac{5x-5}{x-1}= \           ,\
\frac{2-(5x-5)}{x-1}=\frac{2-5x+5}{x-1}=\frac{-5x+7}{x-1}$$

Teoretycznie moglibyśmy rozpisać każde z wyrażeń znajdujących się w odpowiedziach i sprawdzić, kiedy otrzymamy wyrażenie \(9-(x^2-2xy+y^2)\). Do tego zadania można jednak podejść nieco sprytniej. Powinniśmy zauważyć, że \(9=3^2\) oraz \(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\) (to wynika wprost ze wzorów skróconego mnożenia). Nasze wyrażenie przyjęłoby więc postać:
$$3^2+(x-y)^2$$

Jeżeli teraz zapisalibyśmy sobie, że \(a=3\) oraz \(b=(x-y)\), to nasze wyrażenie przyjęłoby postać \(a^2-b^2\), co zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia moglibyśmy rozpisać jako \((a-b)\cdot(a+b)\). Czyli tym samym:
$$3^2+(x-y)^2=[3-(x-y)]\cdot[3+(x-y)]$$

Wyznaczony zapis znajduje się w czwartej odpowiedzi, więc jedną poprawną odpowiedź mamy już wybraną.

Zgodnie z treścią zadania, to zadanie ma jednak dwie poprawne odpowiedzi. Musimy więc się zastanowić, która z pozostałych odpowiedzi będzie równie poprawna. Na pewno warianty A-C możemy od ręki odrzucić, bo prezentują one zupełnie inny wzór skróconego mnożenia. Odpowiedź E jest błędna, gdyż w nawiasach mamy \(+2y\). Po takiej krótkiej analizie możemy dostrzec, że poprawna będzie jeszcze ostatnia odpowiedź, gdyż da się ten zapis przekształcić do tego co otrzymaliśmy w odpowiedzi D:
$$-[(x-y)-3]\cdot[(x-y)+3]=[-(x-y)+3]\cdot[(x-y)+3]=[3-(x-y)]\cdot[3+(x-y)]$$

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania:
$$3x^3-6x^2-27x+54=0 \           ,\
x^2(3x-6)-9(3x-6)=0 \           ,\
(x^2-9)\cdot(3x-6)=0$$

Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-9=0 \quad\lor\quad 3x-6=0 \           ,\
x^2=9 \quad\lor\quad 3x=6 \           ,\
x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=2$$

Krok 1. Zapisanie założeń.
Jest to równanie wymierne, w którym mamy niewiadomą \(x\) w mianowniku. Wiedząc, że na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, musimy zapisać odpowiednie założenia, tak aby nasz mianownik nie był równy zero, zatem:
$$x^2-1\neq0 \           ,\
x^2\neq1 \           ,\
x\neq1 \quad\lor\quad x\neq-1$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając zapisane założenia, możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Aby lewa strona była równa \(0\), to wartość przynajmniej jednego z nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2+x=0 \quad\lor\quad x+3=0 \quad\lor\quad x-1=0 \           ,\
x(x+1)=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x+1=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy aż cztery różne rozwiązania, ale wyniki \(x=-1\) oraz \(x=1\) musimy odrzucić ze względu na założenia. To oznacza, że nasze równanie ma tylko dwa rozwiązania i są to \(x=-3\) oraz \(x=0\).

Do tego typu zadań można podchodzić na różne sposoby (w niektórych przypadkach można z samej analizy rysunku wywnioskować poprawną odpowiedź), ale tutaj odpowiedzi są do siebie na tyle podobne, że najprościej i najbezpieczniej będzie po prostu rozwiązać podane nierówności:

Odp. A.
$$|x+2|\le2 \           ,\
x+2\le2 \quad\land\quad x+2\ge-2 \           ,\
x\le0 \quad\land\quad x\ge-4$$

Odp. B.
$$|x-2|\le2 \           ,\
x-2\le2 \quad\land\quad x-2\ge-2 \           ,\
x\le4 \quad\land\quad x\ge0$$

Odp. C.
$$|x+2|\ge2 \           ,\
x+2\ge2 \quad\lor\quad x+2\le-2 \           ,\
x\ge0 \quad\lor\quad x\le-4$$

Odp. D.
$$|x-2|\ge2 \           ,\
x-2\ge2 \quad\lor\quad x-2\le-2 \           ,\
x\ge4 \quad\lor\quad x\le0$$

Interesujący nas zbiór rozwiązań otrzymaliśmy zatem w trzeciej odpowiedzi.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że:
\(x\) - liczba banknotów \(50zł\)
\(2x\) - liczba banknotów \(100zł\)
\(y\) - liczba banknotów \(20zł\)

To oznacza, że:
\(50x\) - wartość wyrażona banknotami \(50zł\)
\(100\cdot2x\) - wartość wyrażona banknotami \(100zł\)
\(20y\) - wartość wyrażona banknotami \(20zł\)

Krok 2. Ułożenie pierwszego równania.
Pierwsze równanie opiera się na sumie wypłaty. Skoro suma wypłaty wynosi \(1040zł\), to bazując na oznaczeniach z kroku pierwszego, możemy stwierdzić, że pierwszym równaniem jakie ułożymy będzie:
$$20y+50x+100\cdot2x=1040$$

Krok 3. Ułożenie drugiego równania.
Drugie równanie to zależność między banknotami o nominale \(20zł\) i \(50zł\). Banknotów \(20\)-złotowych (oznaczonych jako \(y\)) było o \(2\) mniej niż \(50\)-złotowych (oznaczonych jako \(x\)), czyli:
$$y=x-2$$

To oznacza, że pasującym układem równań będzie ten z pierwszej odpowiedzi.

Odpowiedź 1.
Chcąc ustalić zbiór wartości, musimy spojrzeć jakie wartości przyjmuje nasza funkcja, czyli zerkamy na oś \(OY\). Widzimy wyraźnie, że funkcja przyjmuje wartości od \(-4\) do \(4\) włącznie, czyli zbiorem wartości będzie przedział \(Y=\langle-4;4\rangle\).

Odpowiedź 2.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Patrząc się na wykres widzimy, że dla wartości od mniej więcej argumentu \(x=-2\frac{1}{3}\) funkcja zaczyna przyjmować wartości dodatnie, a więc zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Miejsca zerowe to argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Mówiąc bardzo obrazowo, musimy spojrzeć ile razy wykres przecina oś \(OX\). Widzimy, że mamy faktycznie trzy miejsca zerowe (bez \(x=4\), bo tutaj kropka jest niezamalowana), czyli zdanie jest prawdą.

Odpowiedź 3.
Patrząc się na wykres widzimy, że najmniejsza wartość funkcji w danym przedziale jest przyjmowana dla argumentu \(x=-3\) i wynosi ona \(y=-2\).

Krok 1. Odczytanie współrzędnych środka okręgu.
Równanie okręgu o środku \(S=(a;b)\) i promieniu \(r\) zapisujemy jako:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Z równania \((x-3)^2+(y+1)^2=25\) wynika, że w takim razie \(a=3\) oraz \(b=-1\). To oznacza, że środek okręgu znajduje się w punkcie \(S=(3;-1)\).

Krok 2. Obliczenie odległości punktu \(A\) od środka okręgu.
Celem zadania jest obliczenie odległości punktu \(A\) od naszego punktu \(S\). W tym celu możemy skorzystać ze wzoru na długość odcinka, zatem:
$$|AS|=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2} \           ,\
|AS|=\sqrt{(3-8)^2+(-1-11)^2} \           ,\
|AS|=\sqrt{(-5)^2+(-12)^2} \           ,\
|AS|=\sqrt{25+144} \           ,\
|AS|=\sqrt{169} \           ,\
|AS|=13$$

Odpowiedź 1.
Zgodnie z zapisem funkcji, głębokość basenu na długości \(25m\) obliczymy ze wzoru \(y=0,18x-0,9\). Podstawiając zatem \(x=25\), otrzymamy:
$$y=0,18x-0,9 \           ,\
y=0,18\cdot25-0,9 \           ,\
y=4,5-0,9 \           ,\
y=3,6[m]$$

To oznacza, że największa głębokość basenu jest równa \(3,6m\).

Odpowiedź 2.
Z treści zadania wynika, że w najpłytszym miejscu głębokość basenu jest równa \(1,2m\). Czyli moglibyśmy powiedzieć, że dla \(x=0\) ta funkcja przyjmuje wartość \(y=1,2\). Skoro tak, to podstawiając te dane do wzoru \(y=ax+b\), otrzymamy:
$$1,2=a\cdot0+b \           ,\
b=1,2$$

To oznacza, że pierwszy wzór z funkcji przybiera postać \(y=ax+1,2\).

Musimy jeszcze ustalić wartość współczynnika \(a\). Z całego wzoru wynika, że dla \(x=15\) funkcja może być opisana jednym i drugim wzorem (czyli z jednego i drugiego wzoru wyjdzie nam wtedy ta sama wartość) i to będzie właśnie nasz punkt zaczepienia. Korzystając ze wzoru \(y=0,18x-0,9\), spróbujmy obliczyć głębokość basenu dla \(x=15\):
$$y=0,18\cdot15-0,9 \           ,\
y=2,7-0,9 \           ,\
y=1,8$$

Otrzymaną głębokość musimy także otrzymać gdy podstawimy \(x=15\) do wyznaczonej postaci \(y=ax+1,2\), zatem:
$$1,8=a\cdot15+1,2 \           ,\
0,6=15a \           ,\
a=0,04=\frac{1}{25}$$

To oznacza, że \(a=\frac{1}{25}\) oraz \(b=1,2\).

Odpowiedź 1.
Funkcja zapisana jest w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Skoro tak, to interesujące nas współrzędne możemy odczytać wprost ze wzoru (uważając na znaki!) i będzie to \(p=1\) oraz \(q=2\). Wierzchołkiem wykresu tej funkcji będzie więc punkt o współrzędnych \((1,2)\).

Odpowiedź 2.
Wykres funkcji kwadratowej jest parabolą, a w tym przypadku ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-1\), czyli jest ujemny). To oznacza, że zbiorem wartości będą liczby z przedziału od minus nieskończoności, aż do wartości przyjmowanej w wierzchołku, czyli do \(2\) włącznie. Zbiorem wartości będzie więc przedział \((-\infty,2\rangle\).

Odpowiedź 1.
Wartość pięćdziesiątego wyrazu możemy obliczyć podstawiając do wzoru ciągu \(n=50\), zatem:
$$a_{50}=\frac{7^{50}}{21}$$

Takiej odpowiedzi jednak nie mamy wśród proponowanych. Musimy więc jeszcze przekształcić podany zapis. Patrząc na odpowiedzi widzimy, że dążymy do tego, aby w mianowniku ułamka znalazła się liczba \(3\), zatem:
$$a_{50}=\frac{7\cdot7^{49}}{7\cdot3} \           ,\
a_{50}=\frac{7^{49}}{3}$$

Odpowiedź 2.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Już po samym wzorze widać wyraźnie, że jest to ciąg geometryczny, ale, jeśli chcemy się dokładnie upewnić, to nie pozostaje nam nic innego jak obliczyć wartość \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\), zatem:
$$\frac{\frac{7^{n+1}}{21}}{\frac{7^n}{21}}=\frac{\frac{7^{n}\cdot7}{21}}{\frac{7^n}{21}}=\frac{7^{n}\cdot7}{21}\cdot\frac{21}{7^n}=7$$

Otrzymany wynik oznacza, że jest to ciąg geometryczny, w którym \(q=7\). Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu, czyli:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$

Ustaliliśmy już, że \(q=7\), więc obliczmy jeszcze wartość \(a_{1}\), zatem:
$$a_{1}=\frac{7^1}{21} \           ,\
a_{1}=\frac{7}{21} \           ,\
a_{1}=\frac{1}{3}$$

Skoro tak, to suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu będzie równa:
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-7^3}{1-7} \           ,\
S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-343}{-6} \           ,\
S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-342}{-6} \           ,\
S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-342}{-6} \           ,\
S_{3}=\frac{1}{3}\cdot57 \           ,\
S_{3}=19$$

Zdanie jest więc fałszem.

Podstawiając do równania \(y=3x+b\) współrzędne punktu \(A\), otrzymamy:
$$3=3\cdot(-1)+b \           ,\
3=-3+b \           ,\
b=6$$

Odpowiedź 1.
Już po samym wzorze widać, że jest to ciąg rosnący, ponieważ mamy klasyczny wzór ciągu arytmetycznego, a liczba stojąca przed \(n\) to różnica ciągu, czyli tutaj \(r=3\). Możemy jednak standardowo ustalić monotoniczność, tak jak jest to wskazane w sugerowanych odpowiedziach, czyli obliczając różnicę \(a_{n+1}-a_{n}\). Skoro tak, to:
$$a_{n+1}-a_{n}=3(n+1)-1-(3n-1)=3n+3-1-3n+1=3$$

Otrzymaliśmy dodatni wynik, a to oznacza, że ciąg jest rosnący, ponieważ \(a_{n+1}-a_{n}=3\).

Odpowiedź 2.
Chcemy sprawdzić kiedy wartość wyrazów tego ciągu jest większa od \(25\), czyli musimy sprawdzić kiedy \(3n-1\) jest większe od \(25\). Zatem:
$$3n-1\gt25 \           ,\
3n\gt26 \           ,\
n\gt8\frac{2}{3}$$

W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, a najmniejszą liczbą naturalną od \(8\frac{2}{3}\) jest \(9\).

Odpowiedź 3.
Krok 1. Podstawienie danych do wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Wiemy już, że nasz ciąg jest arytmetyczny, a skoro tak, to możemy w tym zadaniu skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Do tego wzoru potrzebujemy podstawić \(r\) i ustaliliśmy już, że \(r=3\). Oprócz tego musimy obliczyć jeszcze \(a_{1}\), zatem podstawiając do wzoru \(n=1\), otrzymamy:
$$a_{1}=3\cdot1-1 \           ,\
a_{1}=3-1 \           ,\
a_{1}=2$$

To oznacza, że:
$$57=\frac{2\cdot2+(n-1)\cdot3}{2}\cdot n \           ,\
57=\frac{4+3n-3}{2}\cdot n \           ,\
57=\frac{3n+1}{2}\cdot n \           ,\
114=(3n+1)\cdot n \           ,\
114=3n^2+n \           ,\
3n^2+n-114=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=3,\;b=1,\;c=-114\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot3\cdot(-114)=1-(-1368) \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1369}=37$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-37}{2\cdot3}=\frac{-38}{6}=-6\frac{1}{3} \           ,\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+37}{2\cdot3}=\frac{36}{6}=6$$

W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, zatem zostaje nam jedynie \(n=6\) i taka też będzie odpowiedź do tego zadania.