Podstawiając liczby \(a=\frac{2}{3}\) i \(b=\frac{3}{2}\) do wyrażenia z treści zadania, otrzymamy:
$$\frac{\frac{2}{3}+2\cdot\frac{3}{2}}{\frac{2}{3}-2\cdot\frac{3}{2}}= \           ,\
=\frac{\frac{2}{3}+3}{\frac{2}{3}-3}= \           ,\
=\frac{3\frac{2}{3}}{-2\frac{1}{3}}=3\frac{2}{3}:\left(-2\frac{1}{3}\right)= \           ,\
=\frac{11}{3}:\left(-\frac{7}{3}\right)= \           ,\
=\frac{11}{3}\cdot\left(-\frac{3}{7}\right)=-\frac{11}{7}$$

W liczniku mamy jednakowe wykładniki potęg, zatem możemy wymnożyć przez siebie podstawy, dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{6^{2022}\cdot2^{2022}}{12^{2021}}=\frac{12^{2022}}{12^{2021}}=12^{2022-2021}=12^1=12$$

Wprowadźmy do treści zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba pracowników
\(0,48x\) - liczba pracowników znających angielski
\(0,08\cdot0,48x=0,0384x\) - liczba pracowników, którzy mają certyfikat

Mogłoby się wydawać, że skoro ma to być jak najmniejsza liczbę pracowników, to liczba mających certyfikat powinna być równa \(1\). Nie do końca jest to dobre założenie, bo w takim przypadku np. liczba osób znających angielski wyszłaby nam niecałkowita. Jak zatem podejść do zadania? Najprościej będzie sprawdzić, co się stanie, gdy w miejsce \(x\) podstawimy po kolei odpowiedzi z naszego zadania:
\(0,0384\cdot100=3,84 \           ,\
0,0384\cdot250=9,6 \           ,\
0,0384\cdot625=24 \           ,\
0,0384\cdot1225=47,04\)

Wynik będący liczbą naturalną otrzymaliśmy jedynie w trzecim przypadku, tak więc to będzie prawidłowa odpowiedź.

Zadanie polega na usunięciu niewymierności z mianownika. Aby tego dokonać, musimy licznik i mianownik pomnożyć przez \(1+2\sqrt{2}\), co pozwoli nam w mianowniku zastosować wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{7\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}\cdot(1+2\sqrt{2})}{(1-2\sqrt{2})\cdot(1+2\sqrt{2})}= \           ,\
=\frac{7\sqrt{2}+14\cdot2}{1^2-(2\sqrt{2})^2}=\frac{7\sqrt{2}+28}{1-4\cdot2}=\frac{7\sqrt{2}+28}{-7}=\frac{28+7\sqrt{2}}{-7}=-4-\sqrt{2}$$

Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
$$log_{2}12-log_{2}3+log_{2}1=log_{2}\left(\frac{12}{3}\right)+log_{2}1=log_{2}4+log_{2}1=log_{2}(4\cdot1)=log_{2}4=2$$

Musimy uprościć nasze wyrażenie, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Pamiętając o tym, że \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz że \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) wyjdzie nam wtedy:
$$(2x-y)^2-(x+2y)^2= \           ,\
=(4x^2-4xy+y^2)-(x^2+4xy+4y^2)= \           ,\
=4x^2-4xy+y^2-x^2-4xy-4y^2= \           ,\
=3x^2-8xy-3y^2$$

Ustalmy najpierw kiedy te dwie proste się ze sobą przetną. W tym celu musimy rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases}
y=x+4 \           ,\
y=-2x+m+1
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$x+4=-2x+m+1 \           ,\
3x=-3+m \           ,\
x=-1+\frac{1}{3}m$$

Chcemy, by \(x\) był większy od zera, zatem:
$$-1+\frac{1}{3}m\gt0 \           ,\
\frac{1}{3}m\gt1 \           ,\
m\gt3$$

Wynika stąd, że \(m\) należy do przedziału \((3,+\infty)\).

Aby odpowiedzieć na pytanie, musimy rozwiązać podaną nierówność. W trakcie obliczeń musimy pamiętać o tym, że dzieląc lub mnożąc obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny:
$$3x-12\le5x-30+29 \           ,\
3x-12\le5x-1 \           ,\
-2x\le11 \           ,\
x\ge-5\frac{1}{2}$$

Musimy teraz ustalić, jaka jest najmniejsza liczba całkowita większa od \(-5\frac{1}{2}\). Taką liczbą będzie \(-5\) i taka też będzie nasza odpowiedź.

Dodatnimi dzielnikami liczby \(60\) są:
$$1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$$

Takich dzielników mamy więc \(12\).

Musimy obliczyć wartość \(f(-\sqrt{3})\), czyli do wzoru funkcji musimy po prostu podstawić \(-\sqrt{3}\):
$$f(-\sqrt{3})=\frac{(-\sqrt{3})^2-(-\sqrt{3})-3}{(-\sqrt{3})^2-9} \           ,\
f(-\sqrt{3})=\frac{3+\sqrt{3}-3}{3-9} \           ,\
f(-\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{-6}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Krok 1. Odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Nasza funkcja zapisana jest w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Z tej postaci odczytamy współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\), co pozwoli nam za chwilę udzielić odpowiedzi na pytanie o najmniejszą/największą wartość. Aby dobrze odczytać te współrzędne możemy sobie przekształcić wzór funkcji w taki oto sposób:
$$f(x)=-3(x-2)^2-5 \           ,\
f(x)=-3(x-2)^2+(-5)$$

Teraz wyraźnie widać, że \(p=2\) oraz \(q=-5\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Funkcja ma współczynnik \(a\) ujemny (\(a=-3\)), więc ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Możemy zatem szkicowo narysować sobie, że cała sytuacja będzie wyglądać następująco:


To oznacza, że prawidłową odpowiedzią będzie informacja, że największa wartość tej funkcji jest równa \(-5\).

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołków trójkąta.
Jeżeli boki trójkąta zawierają się w osiach układu współrzędnych, to znaczy, że jeden wierzchołek leży na osi \(Ox\), drugi na osi \(Oy\), a trzeci jest w punkcie \((0;0)\). Spróbujmy zatem wyznaczyć współrzędne pierwszego i drugiego wierzchołka.

Wierzchołek leżący na osi \(Ox\) ma współrzędną \(y=0\), zatem podstawiając to do równania prostej otrzymamy:
$$0=2x-6 \           ,\
-2x=-6 \           ,\
x=3$$

To oznacza, że jednym z wierzchołków trójkąta jest punkt \((3;0)\).

I analogicznie wierzchołek leżący na osi \(Oy\) ma współrzędną \(x=0\), zatem podstawiając to do równania prostej otrzymamy:
$$y=2\cdot0-6 \           ,\
y=0-6 \           ,\
y=-6$$

Czyli tutaj wierzchołkiem będzie punkt o współrzędnych \((0;-6)\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Z rysunku wynika, że mamy trójkąt prostokątny w którym \(a=3\) oraz \(h=6\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}ah \           ,\
P=\frac{1}{2}\cdot3\cdot6 \           ,\
P=9$$

Skoro jedynym miejscem zerowym jest \(x=4\), to parabolę tej funkcji możemy narysować na jeden z dwóch sposobów:


Z rysunku wynika wprost, że niezależnie od ułożenia ramion, wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \(W=(4;0)\).

Do zadania możemy podejść na różne sposoby (teoretycznie możemy nawet wypisać wszystkie interesujące nas liczby). Najlepszą metodą będzie potraktowania tego zadania tak, jakby był to ciąg arytmetyczny. Pomoże nam w tym wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Najmniejszą liczba dwucyfrową podzielną przez \(3\) jest \(12\), więc moglibyśmy zapisać, że \(a_{1}=12\). Różnica ciągu jest równa \(r=3\) (bo co trzeci wyraz będzie podzielny przez \(3\)). Chcemy, by wartość \(a_{n}\) była mniejsza od \(77\), zatem:
$$a_{1}+(n-1)r\lt77 \           ,\
12+(n-1)\cdot3\lt77 \           ,\
12+3n-3\lt77 \           ,\
9+3n\lt77 \           ,\
3n\lt68 \           ,\
n\lt22\frac{2}{3}$$

Co ten wynik oznacza? W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, a skoro z nierówności wyszło nam, że \(n\lt22\frac{2}{3}\), to interesującymi nas rozwiązaniami będą \(n\in\{1,2,3,...,21,22\}\). To oznacza, że będziemy mieć dokładnie \(22\) liczby, które spełniają warunki zadania.

Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca relacja:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$(3x+6)^2=4x\cdot9x \           ,\
9x^2+36x+36=36x^2 \           ,\
-27x^2+36x+36=0 \           ,\
-3x^2+4x+4=0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=-3,\;b=4,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-3)\cdot4=16-(-48)=64 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-8}{2\cdot(-3)}=\frac{-12}{-6}=2 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+8}{2\cdot(-3)}=\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwa różne wyniki, ale czy oba są poprawne? Aby to ustalić, sprawdźmy co się stanie, gdy podstawimy do wyrazów ciągu wartości \(x=2\) oraz \(x=-\frac{2}{3}\).
Dla \(x=2\):
\(a_{1}=4\cdot2=8 \           ,\
a_{2}=3\cdot2+6=12 \           ,\
a_{3}=9\cdot2=18\)

Dla \(x=-\frac{2}{3}\):
\(a_{1}=4\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{8}{3} \           ,\
a_{2}=3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)+6=4 \           ,\
a_{3}=9\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-6\)

Widzimy, że nasz ciąg jest rosnący tylko dla \(x=2\).

Krok 4. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Celem naszego zadania jest obliczenie ilorazu ciągu. Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\
q=\frac{12}{8} \           ,\
q=\frac{3}{2}$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\) w związku z tym podstawiając wartość cosinusa otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
sin^2α+\left(\frac{1}{4}\right)^2=1 \           ,\
sin^2α+\left(\frac{1}{16}\right)^2=1 \           ,\
sin^2α=\frac{15}{16} \           ,\
sinα=\sqrt{\frac{15}{16}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{15}{16}} \           ,\
sinα=\frac{\sqrt{15}}{4} \quad\lor\quad sinα=-\frac{\sqrt{15}}{4}$$

Z treści zadania wiemy, że \(\alpha\) jest kątem ostrym, a dla takich kątów sinus przyjmuje wartości dodatnie. Z tego też względu ujemne rozwiązanie musimy odrzucić i zostaje nam \(sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}\).