Aby rozwiązać to zadanie najprościej będzie zamienić wszystkie potęgi na takie, które mają jednakową podstawę. Jak już to zrobimy, to zostanie nam tylko wykonać poprawnie działania na potęgach. W tym przypadku wspólną podstawą może być trójka, zatem:
$$27^{-2}\cdot9^6=(3^3)^{-2}\cdot(3^2)^6=3^{-6}\cdot3^{12}=3^{6}$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Wartość sinusa znamy, zatem:
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
\left(\frac{2}{7}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\
\frac{4}{49}+cos^2α=1 \quad\bigg/-\frac{4}{49} \           ,\
cos^2α=\frac{45}{49} \           ,\
cosα=\sqrt{\frac{45}{49}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{45}{49}}$$

Z równania otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, a to dlatego że w treści zadania jest podana informacja o tym iż kąt \(α\) jest ostry. Dla kątów ostrych cosinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie, stąd też prawidłową odpowiedzią jest jedynie \(cosα=\sqrt{\frac{45}{49}}\).

Aby wybrać odpowiedni rysunek, to najpierw musimy rozwiązać tę nierówność, tak jak rozwiązuje się nierówności z wartością bezwzględną, czyli:
$$|x-2|\lt4 \           ,\
x-2\lt4 \quad\lor\quad x-2\gt-4 \           ,\
x\lt6 \quad\lor\quad x\gt-2 \           ,\
x\in(-2;6)$$

Zbiór rozwiązań tej nierówności został więc przedstawiony na drugim rysunku.

Krok 1. Obliczenie długości promienia okręgu.
Z tablic matematycznych możemy odczytać, że wzór na równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) ma postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Nas z tego wzoru interesuje tylko długość promienia. Przyrównując wzór z tablic do wzoru z treści zadania (a w zasadzie tylko to co pojawia się po prawej stronie po znaku równości) widzimy, że:
$$r^2=16 \           ,\
r=4 \quad\lor\quad r=-4$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo promień nie może być ujemny. To oznacza, że promień tego okręgu ma długość \(4\).

Krok 2. Obliczenie długości (czyli obwodu) tego okręgu.
Znając długość promienia możemy bez problemu obliczyć długość obwodu tego okręgu:
$$Obw=2π r \           ,\
Obw=2π\cdot4 \           ,\
Obw=8π$$

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Długość krawędzi sześcianu obliczymy korzystając z informacji o objętości tej bryły:
$$V=a^3 \           ,\
125=a^3 \           ,\
a=5$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej sześcianu.
Sześcian składa się z sześciu jednakowych ścian, które są kwadratami. W naszym przypadku są to kwadraty o boku długości \(5\), zatem:
$$P_{c}=6a^2 \           ,\
P_{c}=6\cdot5^2 \           ,\
P_{c}=6\cdot25 \           ,\
P_{c}=150$$

Zgodnie z własnościami trójkątów równobocznych wpisanych w okrąg, promień takiego okręgu stanowi \(\frac{2}{3}\) długości wysokości trójkąta. W związku z tym:
$$r=\frac{2}{3}\cdot6\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$

Krok 1. Określenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja kwadratowa przedstawiona jest w postaci kanonicznej, czyli takiej z której w prosty sposób możemy odczytać wierzchołek paraboli. Postać kanoniczną opisujemy jako \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Skoro znamy wzór naszej funkcji i jest ona przedstawiona dokładnie w takiej postaci jakiej potrzebujemy (nawet znaki plus i minus się zgadzają), to bez problemu odczytamy z niej współrzędne wierzchołka paraboli: \(W=(4;5)\).

Krok 2. Ustalenie najmniejszej wartości funkcji kwadratowej.
Nasza funkcja kwadratowa jest parabolą, która ma ramiona skierowane do góry (wiemy to, bo gdybyśmy przekształcili ją do postaci ogólnej, czyli wymnożyli to wszystko przez siebie, to przed \(x^2\) stałaby dodatnia wartość). Skoro tak, to najmniejszą wartość funkcja ta przyjmuje w swoim wierzchołku i my współrzędne tego wierzchołka już znamy. W związku z tym możemy stwierdzić, że nasza funkcja przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentu \(x=-4\), a tą wartością będzie \(y=5\).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Ta nierówność jest zapisana w postaci iloczynowej, zatem w bardzo łatwy sposób wyznaczymy jej miejsca zerowe - wystarczy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera:
$$x+1=0 \quad\lor\quad x-3=0 \           ,\
x=-1 \quad\lor\quad x=3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do dołu (a to za sprawą tego minusa, który znalazł się na początku nierówności). Zaznaczamy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i szkicujemy wykres paraboli.



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero, zatem rozwiązaniem naszej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle3,\infty)$$

Jeżeli logarytm nie ma podanej podstawy, to znaczy że domyślnie znajduje się tam \(10\) (czyli \(log0,1=log_{10}0,1\)). To oznacza, że te dwa logarytmy które pojawiły się w zadaniu mają dwie zupełnie różne podstawy. Skoro tak, to nie wykonamy tutaj żadnych działań bezpośrednio na logarytmach, ale możemy wprost obliczyć wartość jednego i drugiego logarytmu:
$$log0,1=-1 \           ,\
log_{2}16=4$$

W związku z tym:
$$log0,1+log_{2}16=-1+4=3$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich uczniów w klasie.
W klasie jest:
$$5+9+10+4+2=30\text{ uczniów}$$

Krok 2. Obliczenie średniego wzrostu.
Skorzystamy tutaj ze średniej arytmetycznej. W liczniku dodajemy do siebie wszystkie wyniki pomiaru wzrostu, a w mianowniku zapisujemy łączną liczbę uczniów:
$$śr=\frac{160\cdot5+165\cdot9+170\cdot10+175\cdot4+180\cdot2}{30} \           ,\
śr=\frac{800+1485+1700+700+360}{30} \           ,\
śr=\frac{5045}{30} \           ,\
śr\approx168,2[cm]$$

Krok 3. Ustalenie ilu uczniów ma wzrost powyżej średniego.
Powyżej średniego wzrostu (czyli wzrost \(170cm\), \(175cm\) lub \(180cm\)) ma łącznie:
$$10+4+2=16\text{ uczniów}$$

Aby sprawdzić jaki parametr \(m\) ma nasza prosta wystarczy podstawić do jej równania współrzędne punktu \(A\), czyli podstawić \(x=2\) oraz \(y=-4\).
$$y=mx+6 \           ,\
-4=m\cdot2+6 \           ,\
-10=2m \           ,\
m=-5$$

Krok 1. Obliczenie wzrostu ceny torby.
Torba kosztowała \(40zł\), teraz kosztuje \(50zł\), zatem jej cena wzrosła o:
$$50zł-40zł=10zł$$

Krok 2. Obliczenie o ile procent podwyższono cenę torby.
Torba kosztowała \(40zł\), podniesiono jej cenę o \(10zł\), zatem podniesiono jej cenę o:
$$\frac{10zł}{40zł}\cdot100\%=\frac{1}{4}\cdot100\%=25\%$$

Naszym zadaniem jest po prostu wymnożenie przez siebie tych dwóch wielomianów:
$$W(x)\cdot M(x)=(x-4)\cdot(x^2-2x)= \           ,\
=x^3-2x^2-4x^2+8x= \           ,\
=x^3-6x^2+8x$$

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu.
Skoro punkty \(P\) oraz \(R\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, to możemy korzystając z tej informacji obliczyć długość boku kwadratu. Najprościej będzie to zrobić stosując następujący wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|PR|=\sqrt{(x_{R}-x_{P})^2+(y_{R}-y_{P})^2}$$

Stosując ten wzór do naszych danych otrzymamy:
$$|PR|=\sqrt{(x_{R}-x_{P})^2+(y_{R}-y_{P})^2} \           ,\
|PR|=\sqrt{(3-(-1))^2+(-1-2)^2} \           ,\
|PR|=\sqrt{4^2+(-3)^2} \           ,\
|PR|=\sqrt{16+9} \           ,\
|PR|=\sqrt{25} \           ,\
|PR|=5$$

Zgodnie z własnościami ciągów arytmetycznych dla trzech kolejno wypisanych wyrazów ciągu prawdziwa będzie zależność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Znamy wartość pierwszego i trzeciego wyrazu, drugi wyraz jest opisany jako \(x+4\), zatem:
$$x+4=\frac{5+1}{2} \           ,\
x+4=\frac{6}{2} \           ,\
x+4=3 \           ,\
x=-1$$

Aby poznać wartość parametru \(k\) wystarczy podstawić do wzoru tej funkcji współrzędne znanego nam punktu, czyli \(x=2\) oraz \(y=-1\):
$$f(x)=4^x+k \           ,\
-1=4^2+k \           ,\
-1=16+k \           ,\
k=-17$$