Krok 1. Wyznaczenie figury znajdującej się w podstawie ostrosłupa.
Ostrosłup mający w podstawie \(n\)-kąt ma \(2n\) krawędzi. Skoro więc nasza bryła ma \(30\) krawędzi, to:
$$2n=30 \           ,\
n=15$$

To oznacza, że w podstawie znajduje się piętnastokąt.

Krok 2. Obliczenie liczby wierzchołków.
Z własności ostrosłupów wiemy, że ostrosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(n+1\) wierzchołków. Skoro w naszej podstawie znajduje się piętnastokąt, to wierzchołków będziemy mieć \(15+1=16\).

Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności.
Musimy sprawdzić kiedy wyrażenie \(60+15k\) przyjmuje wartości dodatnie, czyli kiedy \(60+15k\) jest większe od \(0\). W związku z tym:
$$60+15k\gt0 \           ,\
15k\gt-60 \           ,\
k\gt-4$$

Wiemy już, że \(k\) musi być większe od \(-4\). Szukamy teraz najmniejszej liczby całkowitej, która spełnia tę nierówność. Najmniejszą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność jest \(-3\). Zwróć uwagę na to, że \(-4\) nie spełnia tej nierówności, bo muszą to być wartości większe od \(-4\).

Krok 2. Zapisanie liczby przeciwnej.
To jednak nie jest koniec zadania. Musimy jeszcze zapisać liczbę przeciwną do tej, którą uzyskaliśmy w pierwszym kroku. Liczbą przeciwną do \(-3\) jest oczywiście \(3\) i taka też jest odpowiedź do naszego zadania.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
\(x\) - liczba opakowań piłeczek białych
\(x+5\) - liczba opakowań piłeczek pomarańczowych

Wiemy, że w każdym opakowaniu białych piłeczek jest \(6\) sztuk. Skoro mamy \(x\) takich pudełek, a w każdym jest \(6\) piłeczek, to łącznie białych piłeczek będzie \(6x\).
Wiemy też, że w każdym opakowaniu pomarańczowych piłeczek są \(4\) sztuki. Skoro mamy \(x+5\) takich pudełek, a w każdym są \(4\) piłeczki, to łącznie pomarańczowych piłeczek będzie \(4\cdot(x+5)\).

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że piłeczek białych oraz pomarańczowych jest taka sama ilość, czyli możemy zapisać następujące równanie:
$$6x=4\cdot(x+5) \           ,\
6x=4x+20 \           ,\
2x=20 \           ,\
x=10$$

Krok 3. Obliczenie liczby białych i pomarańczowych piłeczek.
Skoro poprzez \(x\) oznaczyliśmy sobie liczbę pudełek z białymi piłeczkami to wiemy już, że takich pudełek jest łącznie \(10\). W każdym pudełku jest \(6\) piłeczek, czyli łącznie białych piłeczek jest \(60\).

Pudełek z pomarańczowymi piłeczkami mamy \(x+5\), czyli będzie to \(10+5=15\) pudełek. W każdym pudełku znajdują się \(4\) piłeczki, zatem łącznie będzie to \(15\cdot4=60\).

Krok 4. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Z poprzedniego kroku wiemy, że mamy \(60\) piłeczek białych oraz \(60\) pomarańczowych, zatem wszystkich piłeczek jest łącznie:
$$60+60=120$$

Krok 5. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Przed chwilą obliczyliśmy sobie, że pudełek z białymi piłeczkami jest \(10\), a pudełek z pomarańczowymi jest \(15\). Pudełek z białymi piłeczkami jest więc o \(5\) mniej niż z pomarańczowymi, zatem jest ich mniej o \(\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\), czyli o jedną trzecią.

Tak na marginesie - bardzo łatwo tutaj o pomyłkę. Nie możemy zapisać, że pudełek z białymi piłeczkami jest mniej o \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), czyli o połowę, bo naszym punktem odniesienia są pudełka z pomarańczowymi piłeczkami (i dlatego to \(15\) jest w mianowniku, a nie \(10\)).

Naszym zadaniem jest tak naprawdę obliczenie ile jest równe \(\frac{1,0\cdot10^{26}}{3,3\cdot10^{23}}\). Aby rozwiązać to działanie, to najprościej będzie zamienić sobie \(1,0\cdot10^{26}\) na \(10\cdot10^{25}\). Co nam da taka zamiana? Dzięki niej będziemy mogli skrócić liczbę \(10\) z liczbą \(3,3\) (w zaokrągleniu \(10:3,3\) będzie równe \(3\)) Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1,0\cdot10^{26}}{3,3\cdot10^{23}}=\frac{10\cdot10^{25}}{3,3\cdot10^{23}}\approx3\cdot10^{25-23}\approx3\cdot10^2\approx3\cdot100\approx300$$

Krok 1. Obliczenie czasu jazdy poszczególnych pociągów.
Korzystając z informacji zawartych w tabelce możemy powiedzieć, że:
\(1.\) pociąg pokonuje trasę w \(50\) minut.
\(2.\) pociąg pokonuje trasę w \(61\) minut.
\(3.\) pociąg pokonuje trasę w \(50\) minut.
\(4.\) pociąg pokonuje trasę w \(57\) minut.

W tym momencie moglibyśmy się wykazać sprytem i od razu wskazać prawidłową odpowiedź do tego zadania. W każdej z odpowiedzi mamy wymienione dwa numery pociągów, czyli zgodnie z logiką - muszą to być te dwa pociągi, które naszą trasę pokonały najszybciej. Już po tak prostej analizie możemy stwierdzić, że na pewno prawidłową odpowiedzią do tego zadania jest odpowiedź druga. Spróbujmy jednak obliczyć to sobie nieco bardziej matematycznie.

Krok 2. Obliczenie oczekiwanego czasu jazdy przy prędkości \(50\frac{km}{h}\).
Możemy oczywiście obliczyć prędkość jazdy każdego z pociągów i sprawdzić kiedy pociąg porusza się z prędkością większą niż \(50\frac{km}{h}\). Jest to jednak dość czasochłonne, zwłaszcza że bazując na czasach z pierwszego kroku trzeba jeszcze zamienić minuty na godziny, zatem będziemy mieć w działaniach dość "brzydkie" liczby.

Znacznie łatwiej jest obliczyć w jakim czasie pociąg pokona tę trasę z prędkością \(50\frac{km}{h}\), co pozwoli nam później porównać ten czas do czasu jazdy naszych czterech pociągów. Korzystając ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\) możemy zapisać, że:
$$v=\frac{s}{t} \quad\bigg/\cdot t \           ,\
s=v\cdot t \quad\bigg/:v \           ,\
t=\frac{s}{v}$$

Podstawiając teraz \(s=43km\) oraz \(v=50\frac{km}{h}\) otrzymamy:
$$t=\frac{43km}{50\frac{km}{h}} \           ,\
t=\frac{43}{50}h \           ,\
t=0,86h$$

Skoro godzina ma \(60\) minut, to:
$$t=0,86\cdot60min=51,6min$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wiemy już, że pociąg pokona trasę \(43km\) ze średnią prędkością \(50\frac{km}{h}\) w ciągu \(51,6\) minuty. My chcemy, by ta średnia prędkość była wyższa, czyli czas jazdy musi być krótszy niż \(51,6\) minuty. Z tego też względu pociągami, które pojadą szybciej są pociągi o numerach \(1\) oraz \(3\).

Tak prawdę mówiąc nie musimy liczyć pole powierzchni jako takiej. Wystarczy, że sprawnie obliczymy liczbę "kwadracików" każdej z podstaw oraz ścian bocznych. Ta figura, która tych "kwadracików" będzie miała najwięcej, będzie miała jednocześnie największe pole powierzchni.

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni pierwszej figury.
W podstawie dolnej i górnej pierwszej figury mamy po \(16\) kwadratów. W każdej z czterech ścian bocznych mamy \(4\) kwadraty. Pole powierzchni będzie więc równe:
$$P_{I}=2\cdot16+4\cdot4 \           ,\
P_{I}=32+16 \           ,\
P_{I}=48$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni drugiej figury.
W podstawie dolnej i górnej pierwszej figury mamy po \(8\) kwadratów. W każdej z czterech ścian bocznych mamy \(6\) kwadratów. Ale to nie koniec, bo mamy jeszcze kwadraty wewnątrz naszej bryły - jak się dobrze przyjrzymy, to doliczymy się, że tych wewnętrznych kwadratów jest \(8\) (po dwa na każdej z czterech wewnętrznych ścian). Pole powierzchni będzie więc równe:
$$P_{II}=2\cdot8+4\cdot6+8 \           ,\
P_{II}=16+24+8 \           ,\
P_{II}=48$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni drugiej figury.
W podstawie dolnej i górnej pierwszej figury mamy po \(16\) kwadratów. W każdej z czterech ścian bocznych mamy \(5\) kwadratów. I tu także mamy jeszcze kwadraty wewnątrz naszej figury, a jest ich dokładnie \(12\) (po trzy na każdej z czterech wewnętrznych ścian). Pole powierzchni będzie więc równe:
$$P_{III}=2\cdot16+4\cdot5+12 \           ,\
P_{III}=32+20+12 \           ,\
P_{III}=64$$

To oznacza, że \(P_{I}=P_{II}\lt P_{III}\).