← Arkusze › Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - CKE 2018 — zadani

📋 Arkusz

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - CKE 2018 — zadania z rozwiązaniami

Próbna · Matematyka · 2018 · Egzamin próbny

21 zadań · 21 rozwiązań

📄 Szybka nawigacja

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

z rozwiązaniem bez rozwiązania

📁 Działy

Statystyka Odczytywanie danych statystycznych Proporcjonalność Proporcjonalność prosta Procenty Obliczenia procentowe — powtórzenie Podzielność liczb Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) Figury geometryczne Pola figur płaskich Liczby naturalne Zaokrąglanie liczb naturalnych Powtórzenie wiadomości ze szkoły podstawowej Pierwiastki Średnia arytmetyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Równania Rozwiązywanie równań z jedną niewiadomą Trygonometria Trójkąty prostokątne Układ współrzędnych Warunek prostopadłości prostych Graniastosłupy — pole powierzchni i objętość Ostrosłupy — pole powierzchni i objętość Sposoby rozwiązywania zadań Geometria przestrzenna Bryły — zadania Największy wspólny dzielnik (NWD) Diagramy i wykresy

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - CKE 2018 — zadania z rozwiązaniami

Próbna ·Matematyka ·2018 Egzamin próbny ·21 zadań

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - CKE 2018 — zadania z rozwiązaniami

Arkusz Próbna z matematyki 2018 (CKE) — pełne rozwiązania i odpowiedzi krok po kroku.

Zamknięte 1 pkt 📷 rysunek ✓ rozwiązanie

Statystyka Odczytywanie danych statystycznych

▼

🔗

Firma przesyłkowa korzysta z paczkomatów do samodzielnego nadawania i odbierania przesyłek przez klientów. Maksymalne wymiary prostopadłościennej paczki, którą można nadać za pośrednictwem tej firmy, wynoszą $38cm\times41cm\times64cm$, a masa przesyłki nie może być większa niż $25$ kg. W tabeli zapisano wymiary i masę czterech paczek.

Matematyka jest prosta

Które z tych paczek mogą być nadane przez paczkomat tej firmy?

A Tylko $1$, $2$ i $4$

B Tylko $2$ i $3$

C Tylko $3$

D Tylko $2$ i $4$

E Tylko $4$

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Odrzucenie paczek ze względu na wymiary.
Z zapisu $38cm\times41cm\times64cm$ wynika, że aby paczka mogła zostać nadana, to długości poszczególnych boków prostopadłościanu mogą mieć maksymalnie:
Pierwszy bok: $38cm$
Drugi bok: $41cm$
Trzeci bok: $64cm$

Z zaprezentowanych paczek tych warunków nie spełnia paczka pierwsza, bo jej trzeci bok ma długość $66cm$. To oznacza, że pierwszą paczkę musimy odrzucić i w dalszej części zadania interesować nas będą póki co jedynie paczki numer $2,3,4$.

Krok 2. Odrzucenie paczek ze względu na wagę.
Oprócz odpowiednich wymiarów nasze paczki muszą mieć jeszcze odpowiednią wagę. Maksymalna dopuszczalna waga wynosi $25kg$ i widzimy, że trzecia paczka jest zbyt ciężka, a to oznacza, że jej także nie możemy nadać przez paczkomat.

Krok 3. Wybór paczek, które możemy nadać przez paczkomat.
Po analizie wykonanej w kroku pierwszym i drugim możemy stwierdzić, że kryterium wymiarów oraz wagi spełniają jedynie paczki numer $2$ oraz $4$.

📁 Kategorie

Statystyka Odczytywanie danych statystycznych

Zamknięte 1 pkt 📷 rysunek ✓ rozwiązanie

Proporcjonalność Proporcjonalność prosta

▼

🔗

Poniżej zamieszczono fragment etykiety z jogurtu o masie $150g$.

Matematyka jest prosta

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Zjedzenie całego jogurtu dostarcza organizmowi około $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$ wapnia. Zjedzenie całego jogurtu dostarcza organizmowi $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$ razy więcej białka niż witaminy B2.

A $167mg$

B $250mg$

C $18,4$

D $18\;400$

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
W $100g$ jogurtu mamy $167mg$ wapnia. Nasz jogurt ma $150g$, zatem możemy ułożyć następującą proporcję:

Skoro w $100g$ jogurtu jest $167mg$ wapnia
To w $50g$ jogurtu jest $83,5mg$ wapnia
Więc w $150g$ jogurtu jest $250,5mg$ wapnia

To oznacza, że zjedzenie całego jogurtu dostarcza organizmowi około $250mg$ wapnia.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Chcąc policzyć ile razy więcej jest białka niż witaminy B2 nie musimy przeliczać poszczególnych wartości na $150g$ jogurtu. Wystarczy nam informacja jak to wygląda w przeliczeniu na $100g$.

W $100g$ jogurtu mamy $4,6g=4600mg$ białka oraz $0,25mg$ witaminy B2. To oznacza, że białka jest $4600mg:0,25mg=18400$ razy więcej niż witaminy B2.

📁 Kategorie

Proporcjonalność Proporcjonalność prosta

Otwarte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Procenty Obliczenia procentowe — powtórzenie

▼

🔗

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. $120\%$ liczby $180$ to tyle samo, co $180\%$ liczby $120$.
$20\%$ liczby $36$ to tyle samo, co $40\%$ liczby $18$.

$120\%$ liczby $180$ to tyle samo, co $180\%$ liczby $120$.

Prawda

Fałsz

$20\%$ liczby $36$ to tyle samo, co $40\%$ liczby $18$.

Prawda

Fałsz

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
$120\%$ możemy zamienić na ułamek dziesiętny $1,2$. Analogicznie $180\%$ możemy zamienić na ułamek dziesiętny $1,8$. W związku z tym:
$120\%$ liczby $180$ jest równe $1,2\cdot180=216$
$180\%$ liczby $120$ jest równe $1,8\cdot120=216$

Wyszły nam jednakowe wyniki, zatem pierwsze zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
$20\%$ możemy zamienić na ułamek dziesiętny $0,2$. Analogicznie $40\%$ możemy zamienić na ułamek dziesiętny $0,4$. W związku z tym:
$20\%$ liczby $36$ jest równe $0,2\cdot36=7,2$
$40\%$ liczby $18$ jest równe $0,4\cdot18=7,2$

Wyszły nam jednakowe wyniki, zatem drugie zdanie jest prawdą.

📁 Kategorie

Procenty Obliczenia procentowe — powtórzenie

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Podzielność liczb Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

▼

🔗

Liczba $x$ jest najmniejszą liczbą dodatnią podzielną przez $3$ i $4$, a liczba $y$ jest największą liczbą dwucyfrową podzielną przez $2$ i $9$. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $x$ i $y$ jest równa:

A $72$

B $108$

C $180$

D $216$

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wyznaczenie wartości liczby $x$.
Musimy ustalić jaka liczba jest najmniejszą liczbą podzielną jednocześnie przez $3$ i $4$. Taką liczbą jest oczywiście $12$. Jeśli tego nie dostrzegamy, to możemy wypisać sobie kilka początkowych wielokrotności liczb $3$ oraz $4$ i sprawdzić jaka liczba będzie pierwszą, która się powtórzy:
$$W_{3}=\{3,6,9,12...\} \ ,\
W_{4}=\{4,8,12...\}$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości liczby $y$.
Liczba $y$ jest największą liczbą dwucyfrową podzielną przez $2$ i $9$. Tutaj możemy wykazać się sprytem, bowiem największą liczbą dwucyfrową podzielną przez $9$ jest $99$, ale niestety $99$ nie jest podzielne przez $2$. W związku z tym kolejną liczbą do sprawdzenia byłaby liczba o $9$ mniejsza, czyli $90$ i ta z kolei jest podzielna zarówno przez $9$ jak i przez $2$, zatem to jest ta poszukiwana przez nas liczba.

Krok 3. Wyznaczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb $x$ oraz $y$.
Wiemy już, że $x=12$ oraz $y=90$. Naszym zadaniem jest teraz wyznaczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW). Oczywiście możemy to wyznaczyć ręcznie, wypisując sobie poszczególne wielokrotności i sprawdzając która z nich będzie NWW, ale ponownie możemy postąpić nieco sprytniej. Patrząc się na odpowiedzi moglibyśmy odrzucić liczby $72, 108$ oraz $216$, bo nie są to wielokrotności liczby $90$. Z tak prostej analizy została nam już tylko jedna odpowiedź i jest to $180$, która jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb $12$ oraz $90$.

📁 Kategorie

Podzielność liczb Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

Otwarte 1 pkt 📷 rysunek ✓ rozwiązanie

Figury geometryczne Pola figur płaskich

▼

🔗

Na rysunku przedstawiono fragment podłogi pokrytej kaflami w kształcie kwadratów o boku długości $60cm$ i kaflami w kształcie jednakowych prostokątów (patrz rysunek I). Na podłodze tej położono prostokątny dywan (patrz rysunek II).

Matematyka jest prosta

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Dywan ma powierzchnię większą niż powierzchnia $4$ kwadratowych kafli.
Dywan ma wymiary $90cm\times120cm$.

Dywan ma powierzchnię większą niż powierzchnia $4$ kwadratowych kafli.

Prawda

Fałsz

Dywan ma wymiary $90cm\times120cm$.

Prawda

Fałsz

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Musimy sprawdzić ile kafli znalazło się pod dywanem. Warto w tym celu sporządzić sobie rysunek pomocniczy, na którym zaznaczymy zajęte kafelki:
Matematyka jest prosta

Sumując wszystkie części kafli wyjdzie nam, że dywan zajął $3,75$ kafla, zatem zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Licząc po kaflach nasz dywan ma szerokość $1,5$ kafla oraz długość $2,5$ kafla. Skoro każdy kafel ma bok o długości $60cm$, to znaczy że:
Szerokość dywanu jest równa $1,5\cdot60cm=90cm$
Długość dywanu jest równa $2,5\cdot60cm=150cm$

To oznacza, że drugie zdanie jest nieprawdą.

📁 Kategorie

Figury geometryczne Pola figur płaskich

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Proporcjonalność Proporcjonalność prosta

▼

🔗

Prędkość rozchodzenia się impulsu elektrycznego u człowieka wynosi około $2$ metrów na sekundę. U roślin impuls elektryczny może rozchodzić się z prędkością około $60$ centymetrów na minutę. Ile razy prędkość rozchodzenia się impulsu elektrycznego u człowieka jest większa od prędkości rozchodzenia się impulsu elektrycznego u roślin?

A W przybliżeniu $2$ razy

B W przybliżeniu $20$ razy

C W przybliżeniu $200$ razy

D W przybliżeniu $2000$ razy

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Do obliczenia prędkości skorzystamy ze wzoru $v=\frac{s}{t}$. Długość drogi oraz czasu rozchodzenia się impulsu zarówno dla człowieka jak i rośliny mamy podane w treści zadania, zatem bez problemu wyliczymy obydwie te prędkości. Jednak zanim zaczniemy liczyć, to dobrze byłoby sobie ujednolicić pewne jednostki, tak aby u człowieka i u roślin otrzymać jednakową jednostkę prędkości - będzie nam wtedy znacznie łatwiej wykonać końcowe porównanie. To jaką jednostkę sobie wybierzemy jest już zupełnie dowolne, ale najprościej będzie chyba sprowadzić długość do centymetrów, a czas do sekund. W związku z tym:
Człowiek: $s=2m=200cm$ oraz $t=1s$
Roślina: $s=60cm$ oraz $t=1min=60s$

Teraz możemy przejść do obliczeń:
Człowiek: $v=\frac{200cm}{1s}=200\frac{cm}{s}$
Roślina: $v=\frac{60cm}{60s}=1\frac{cm}{s}$

To oznacza, że prędkość rozchodzenia się tego impulsu u człowieka jest $200$ razy większa niż u roślin.

📁 Kategorie

Proporcjonalność Proporcjonalność prosta

Otwarte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Liczby naturalne Zaokrąglanie liczb naturalnych

▼

🔗

Monika poprawnie zaokrągliła liczbę $3465$ do pełnych setek i otrzymała liczbę $x$, a Paweł poprawnie zaokrąglił liczbę $3495$ do pełnych tysięcy i otrzymał liczbę $y$. Czy liczby $x$ i $y$ są równe?

Wybierz odpowiedź Tak albo Nie i jej uzasadnienie. A) początkowa liczba Moniki jest mniejsza od początkowej liczby Pawła.
B) cyfra tysięcy każdej z początkowych liczb jest taka sama.
C) otrzymane zaokrąglenia różnią się o $500$.

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Ustalenie wartości liczb $x$ oraz $y$.
Skoro Monika zaokrągliła liczbę $3465$ do pełnych setek, to zgodnie z zasadami zaokrąglania musiała ją zaokrąglić w górę, zatem z takiego zaokrąglenia otrzymała liczbę $x=3500$.
Skoro Paweł zaokrąglił liczbę $3495$ do pełnych tysięcy, to zgodnie z zasadami zaokrąglania musiał ją zaokrąglić w dół, przez co otrzymał on liczbę $y=3000$.

Krok 2. Wybór właściwej odpowiedzi.
Z naszej analizy wynika, że otrzymane przez Monikę i Pawła liczby nie są równe, a otrzymane zaokrąglenia różnią się o $3500-3000=500$. Z tego też względu prawidłową odpowiedzią jest "Nie, ponieważ otrzymane zaokrąglenia różnią się o $500$".

📁 Kategorie

Liczby naturalne Zaokrąglanie liczb naturalnych

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Powtórzenie wiadomości ze szkoły podstawowej Pierwiastki

▼

🔗

Dana jest liczba $a=3\sqrt{2}-4$.

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba o $2$ większa od liczby $a$ jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$: Liczba $2$ razy większa od liczby $a$ jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$:

A $5\sqrt{2}-4$

B $3\sqrt{2}-2$

C $6\sqrt{4}-8$

D $6\sqrt{2}-8$

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Chcąc obliczyć jaka liczba jest o $2$ większa od liczby $3\sqrt{2}-4$ musimy wykonać następujące działanie:
$$3\sqrt{2}-4+2=3\sqrt{2}-2$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Chcąc obliczyć jaka liczba jest $2$ razy większa od liczby $3\sqrt{2}-4$ musimy wykonać następujące działanie:
$$2\cdot(3\sqrt{2}-4)=6\sqrt{2}-8$$

📁 Kategorie

Powtórzenie wiadomości ze szkoły podstawowej Pierwiastki

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Statystyka Średnia arytmetyczna

▼

🔗

Państwo Nowakowie mają trzy córki i jednego syna. Średnia wieku wszystkich dzieci państwa Nowaków jest równa $10$ lat, a średnia wieku wszystkich córek jest równa $8$ lat. Ile lat ma syn państwa Nowaków?

A $9$

B $11$

C $12$

D $16$

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Obliczenie łącznej liczby lat wszystkich dzieci.
Z treści zadania wynika, że średnia wieku wszystkich dzieci państwa Nowaków jest równa $10$ lat. Skoro Nowakowie mają czwórkę dzieci (trzy córki i jednego syna) to te dzieci mają łącznie:
$$4\cdot10lat=40lat$$

Krok 2. Obliczenie łącznej liczby lat córek.
Wiemy też, że Nowakowie mają trzy córki, a średnia ich wieku jest równa $8$, zatem wszystkie trzy córki mają łącznie:
$$3\cdot8lat=24lata$$

Krok 3. Obliczenie wieku syna.
Skoro czwórka dzieci ma łącznie $40$ lat, a trzy córki mają razem $24$ lata, to syn państwa Nowaków ma:
$$40lat-24lata=16lat$$

📁 Kategorie

Statystyka Średnia arytmetyczna

Otwarte 1 pkt 📷 rysunek ✓ rozwiązanie

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

▼

🔗

Do gry planszowej używane są dwa bączki o kształtach przedstawionych na rysunkach. Każdy bączek po zatrzymaniu na jednym boku wielokąta wskazuje liczbę umieszczoną na jego tarczy. Na rysunku $I$ bączek ma kształt pięciokąta foremnego z zaznaczonymi liczbami od $1$ do $5$. Na rysunku $II$ bączek ma kształt sześciokąta foremnego z zaznaczonymi liczbami od $1$ do $6$.

Matematyka jest prosta

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby większej niż $3$ na bączku z rysunku $I$ jest większe niż $\frac{1}{2}$.
Uzyskanie nieparzystej liczby na bączku z rysunku $I$ jest tak samo prawdopodobne, jak uzyskanie nieparzystej liczby na bączku z rysunku $II$.

Prawdopodobieństwo otrzymania liczby większej niż $3$ na bączku z rysunku $I$ jest większe niż $\frac{1}{2}$.

Prawda

Fałsz

Uzyskanie nieparzystej liczby na bączku z rysunku $I$ jest tak samo prawdopodobne, jak uzyskanie nieparzystej liczby na bączku z rysunku $II$.

Prawda

Fałsz

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Na pierwszym bączku mamy pięć różnych liczb: $1,2,3,4,5$. Nas interesuje wylosowanie liczby większej niż $3$, czyli interesują nas dwa wyniki: $4$ oraz $5$. Skoro interesują nas dwa wyniki z pięciu możliwych, to prawdopodobieństwo wylosowania liczby większej niż $3$ jest równe $\frac{2}{5}$. To oznacza, że to prawdopodobieństwo jest mniejsze niż $\frac{1}{2}$, czyli pierwsze zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Na pierwszym bączku mamy pięć liczb, a trzy z nich to liczby nieparzyste. W związku z tym prawdopodobieństwo wylosowania liczby nieparzystej jest równe $\frac{3}{5}$.
Na drugim bączku mamy sześć liczb, a trzy z nich to liczby nieparzyste. W związku z tym prawdopodobieństwo wylosowania liczby nieparzystej jest równe $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

To oznacza, że prawdopodobieństwa są różne, czyli drugie zdanie jest fałszem.

📁 Kategorie

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Równania Rozwiązywanie równań z jedną niewiadomą

▼

🔗

O liczbie $x$ wiemy, że $\frac{1}{3}$ tej liczby jest o $\frac{3}{4}$ większa od $\frac{1}{6}$ tej liczby. Które równanie pozwoli wyznaczyć liczbę $x$?

A $\frac{2}{3}x=\frac{1}{6}x+\frac{3}{4}$

B $\frac{1}{3}x+\frac{3}{4}=\frac{5}{6}x$

C $\frac{1}{3}x=\frac{1}{6}x+\frac{3}{4}$

D $\frac{1}{3}x+\frac{3}{4}=\frac{1}{6}x$

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Spróbujmy uprościć sobie informacje, które zawarte są w treści zadania. Z zadania wynika, że $\frac{1}{3}$ liczby $x$ jest o $\frac{3}{4}$ większe od $\frac{1}{6}$ liczby $x$. Możemy więc powiedzieć, że $\frac{1}{3}x$ to tyle samo co $\frac{1}{6}x+\frac{3}{4}$ i takie też równanie znalazło się w trzeciej odpowiedzi.

📁 Kategorie

Równania Rozwiązywanie równań z jedną niewiadomą

Otwarte 1 pkt 📷 rysunek ✓ rozwiązanie

Trygonometria Trójkąty prostokątne

▼

🔗

W trójkącie $ABC$ największą miarę ma kąt przy wierzchołku $C$. Miara kąta przy wierzchołku $A$ jest równa $48°$, a miara kąta przy wierzchołku $B$ jest równa różnicy miary kąta przy wierzchołku $C$ oraz miary kąta przy wierzchołku $A$.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $48°$.
Trójkąt $ABC$ jest prostokątny.

Kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $48°$.

Prawda

Fałsz

Trójkąt $ABC$ jest prostokątny.

Prawda

Fałsz

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby ocenić prawdziwość obydwu zdań najprościej będzie sporządzić rysunek pomocniczy, na którym zamieścimy informacje z treści zadania:
Matematyka jest prosta

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Na podstawie rysunku spróbujmy obliczyć miary poszczególnych kątów. Wiedząc, że suma miar kątów w trójkącie jest równa $180°$ możemy zapisać, że:
$$48°+α+β=180° \           ,\
48°+α+α-48°=180° \           ,\
2α=180° \           ,\
α=90°$$

W pierwszym pytaniu mamy stwierdzić jaka jest miara kąta przy wierzchołku $B$, a będzie ona równa zgodnie z rysunkiem:
$$β=α-48° \           ,\
β=90°-48° \           ,\
β=42°$$

Pierwsze zdanie jest więc fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W obliczeń wykonanych w drugim kroku wyszło nam, że kąt przy wierzchołku $C$ ma miarę $90°$, zatem prawdą jest, że ten trójkąt jest prostokątny.

📁 Kategorie

Trygonometria Trójkąty prostokątne

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Figury geometryczne Układ współrzędnych

▼

🔗

W układzie współrzędnych zaznaczono dwa punkty: $A=(-8,-4)$ i $P=(-2, 2)$. Punkt $P$ jest środkiem odcinka $AB$. Jakie współrzędne ma punkt $B$?

A $(4,8)$

B $(-10,-2)$

C $(-10,8)$

D $(4,-2)$

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów na współrzędne środka odcinka:
$$P=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne punktu $A$ oraz $P$, więc będziemy w stanie wyznaczyć brakujące współrzędne punktu $B$. Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową:
$$x_{P}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \           ,\
-2=\frac{-8+x_{B}}{2} \           ,\
-4=-8+x_{B} \           ,\
x_{B}=4 \           ,\
\quad \           ,\
y_{P}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \           ,\
2=\frac{-4+y_{B}}{2} \           ,\
4=-4+y_{B} \           ,\
y_{B}=8$$

To oznacza, że nasz punkt $B$ ma współrzędne $(4,8)$.

📁 Kategorie

Figury geometryczne Układ współrzędnych

Zamknięte 1 pkt 📷 rysunek ✓ rozwiązanie

Warunek prostopadłości prostych

▼

🔗

Cztery jednakowe drewniane elementy, każdy w kształcie prostopadłościanu o wymiarach $2cm\times2cm\times9cm$, przyklejono do metalowej płytki w sposób pokazany na rysunku $I$.

Matematyka jest prosta

W ten sposób przygotowano formę, którą wypełniono masą gipsową, i tak otrzymano gipsowy odlew w kształcie prostopadłościanu, pokazany na rysunku $II$.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Objętość drewna, z którego zbudowano formę, jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$: Objętość gipsowego odlewu jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$:

A $144cm^3$

B $36cm^3$

C $162cm^3$

D $98cm^3$

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Każdy prostopadłościan, którego użyliśmy do zbudowania formy ma wymiary $2cm\times2cm\times9cm$, zatem objętość każdego takiego elementu wynosi:
$$V=abc \ ,\
V=2cm\cdot2cm\cdot9cm \ ,\
V=36cm^3$$

Z racji tego, iż do konstrukcji użyliśmy czterech takich elementów, to objętość drewna z którego zbudowano formę jest równa:
$$V=4\cdot36cm^3=144cm^3$$

Krok 2. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Musimy wyznaczyć wymiary naszego odlewu gipsowego. Z wysokością nie ma problemu, widzimy wyraźnie że będzie to $2cm$, ale potrzebna nam jest jeszcze długość i szerokość tego odlewu. Najprościej będzie wyznaczyć te wartości na rysunku pomocniczym:
Matematyka jest prosta

Skoro odlew ma wymiary $7cm\times7cm\times2cm$, to jego objętość będzie równa:
$$V=7cm\cdot7cm\cdot2cm=98cm^3$$

📁 Kategorie

Warunek prostopadłości prostych

Otwarte 1 pkt 📷 rysunek ✓ rozwiązanie

Graniastosłupy — pole powierzchni i objętość Ostrosłupy — pole powierzchni i objętość

▼

🔗

Na rysunkach przedstawiono ostrosłup prawidłowy i graniastosłup prawidłowy. Wszystkie krawędzie obu brył są jednakowej długości.

Matematyka jest prosta

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest większa niż suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa.
Całkowite pole powierzchni ostrosłupa jest większe niż całkowite pole powierzchni graniastosłupa.

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - CKE 2018 — zadania z rozwiązaniami

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - CKE 2018 — zadania z rozwiązaniami

\(120\%\) liczby \(180\) to tyle samo, co \(180\%\) liczby \(120\).

\(20\%\) liczby \(36\) to tyle samo, co \(40\%\) liczby \(18\).

Dywan ma powierzchnię większą niż powierzchnia \(4\) kwadratowych kafli.

Dywan ma wymiary \(90cm\times120cm\).

Prawdopodobieństwo otrzymania liczby większej niż \(3\) na bączku z rysunku \(I\) jest większe niż \(\frac{1}{2}\).

Uzyskanie nieparzystej liczby na bączku z rysunku \(I\) jest tak samo prawdopodobne, jak uzyskanie nieparzystej liczby na bączku z rysunku \(II\).

Kąt przy wierzchołku \(B\) ma miarę \(48°\).

Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.

Suma długości