1. $\Delta=25-4m\gt 0 \iff m\lt \frac{25}4$.

Odpowiedź: $m\lt \tfrac{25}4$

1. $x_1+x_2=\frac62=3$, $x_1x_2=-\frac32$ ($\Delta=36+24\gt 0$).

Odpowiedź: $x_1+x_2=3$, $x_1x_2=-\tfrac32$

1. $\Delta=m^2-16\gt 0 \iff m\lt -4$ lub $m\gt 4$.
2. $x_1x_2=4\gt 0$ zawsze; $x_1+x_2=-m\gt 0 \iff m\lt 0$.
3. Część wspólna: $m\lt -4$.

Odpowiedź: $m\in(-\infty,-4)$

1. $\Delta=4m^2-4(m+2)\gt 0 \iff m^2-m-2\gt 0 \iff m\lt -1$ lub $m\gt 2$.
2. $x_1^2+x_2^2=4m^2-2(m+2)=4m^2-2m-4=8 \Rightarrow 2m^2-m-6=0$.
3. $m=2$ lub $m=-\frac32$. Dla $m=2$: $\Delta=0$ — odrzucamy. Odpowiedź: $m=-\frac32$.

Odpowiedź: $m=-\tfrac32$

1. $\frac\Delta4=(m-1)^2-m(m-2)=1\gt 0$ — zawsze dwa różne rozwiązania.
2. Ten sam znak: $x_1x_2=\frac{m}{m-2}\gt 0 \iff m\lt 0$ lub $m\gt 2$.

Odpowiedź: $m\in(-\infty,0)\cup(2,\infty)$

1. $\Delta=16-4(m-1)\gt 0 \iff m\lt 5$; pierwiastki niezerowe: $m\ne1$.
2. $\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{4}{m-1}\gt 2 \iff \frac{4-2(m-1)}{m-1}\gt 0 \iff \frac{6-2m}{m-1}\gt 0 \iff m\in(1,3)$.
3. Część wspólna z $m\lt 5$: $m\in(1,3)$.

Odpowiedź: $m\in(1,3)$

1. $\Delta=(m+1)^2-4m=(m-1)^2\gt 0 \iff m\ne1$.
2. Rozwiązania: $x=-1$ i $x=-m$ (albo $|x_1-x_2|=\sqrt\Delta=|m-1|$).
3. $|m-1|=2 \Rightarrow m=3$ lub $m=-1$.

Odpowiedź: $m=-1$ lub $m=3$

1. $\Delta=(m+2)^2-4m=m^2+4\gt 0$ — zawsze.
2. $x_1^3+x_2^3=s^3-3ps=(m+2)^3-3m(m+2)=(m+2)(m^2+m+4)$.
3. $(m+2)(m^2+m+4)=8 \iff m^3+3m^2+6m=0 \iff m(m^2+3m+6)=0$.
4. $m^2+3m+6$ nie ma pierwiastków ($\Delta=-15$), więc $m=0$ (kontrola: $x^2-2x=0$, $0+8=8$ ✓).

Odpowiedź: $m=0$

1. $a=1\gt 0$, więc warunek: $f(1)\lt 0$.
2. $f(1)=1-2m+m^2-1=m^2-2m\lt 0 \iff m\in(0,2)$.
3. (Kontrola: pierwiastki to $m-1$ i $m+1$; $m-1\lt 1\lt m+1 \iff 0\lt m\lt 2$.)

Odpowiedź: $m\in(0,2)$

1. $\frac\Delta4=(m+1)^2-(m^2+3)=2m-2\gt 0 \iff m\gt 1$.
2. Dodatnie: $x_1x_2=m^2+3\gt 0$ zawsze, $x_1+x_2=2(m+1)\gt 0 \iff m\gt -1$.
3. $x_1^2+x_2^2=4(m+1)^2-2(m^2+3)=2m^2+8m-2\lt 22 \iff m^2+4m-12\lt 0 \iff m\in(-6,2)$.
4. Część wspólna: $m\in(1,2)$.

Odpowiedź: $m\in(1,2)$

1. $\Delta=4-4m=0\Rightarrow m=1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B - błąd.

1. $\Delta=64-24>0$, więc pierwiastki istnieją.
2. Wzór Viète’a: $x_1+x_2=-\tfrac ba=\tfrac82=4$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A gubi minus we wzorze, C to iloczyn $\tfrac ca$, D nie dzieli przez $a$.

1. $\Delta=25+144>0$.
2. Wzór Viète’a: $x_1x_2=\tfrac ca=\tfrac{-12}{3}=-4$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A gubi znak, B to suma pierwiastków, D nie dzieli przez $a$.

1. Dwa różne pierwiastki: $\Delta>0$.
2. $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m\lt 9$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A odwraca nierówność, B dopuszcza pierwiastek podwójny, C to jeden pierwiastek.

1. Wzór Viète’a: $x_1x_2=12\Rightarrow x_2=4$.
2. $x_1+x_2=-b\Rightarrow 7=-b\Rightarrow b=-7$.
3. Sprawdzenie: $9-21+12=0$.

Odpowiedź: $b=-7$, drugi pierwiastek $x_2=4$