PR14 Geometria analityczna: proste, punkty, pola — zadania maturalne z rozwiązaniami (poziom rozszerzony) — zadania i rozwiązania

PR14.1

Otwarte 2 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Geometria analityczna — zagadnienia uzupełniające Odległość punktu od prostej Geometria analityczna — zadania rozszerzone Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Oblicz odległość punktu $P=(3,4)$ od prostej $3x-4y+12=0$.

PR14.2

Otwarte 2 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Iloczyn skalarny wektorów Wektory — zastosowania Geometria analityczna — zagadnienia uzupełniające Odległość punktu od prostej Kąt między prostymi Geometria analityczna — zadania rozszerzone Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,0)$, $B=(4,1)$, $C=(1,3)$.

PR14.3

Otwarte 3 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Geometria analityczna — zagadnienia uzupełniające Odległość punktu od prostej Geometria analityczna — zadania rozszerzone Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Dana jest prosta $k:\ 2x-y+3=0$ i punkt $P=(4,1)$. Wyznacz równanie prostej $l$ prostopadłej do $k$ przechodzącej przez $P$, punkt przecięcia prostych $k$ i $l$ oraz odległość punktu $P$ od prostej $k$.

PR14.4

Otwarte 3 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Geometria analityczna — zagadnienia uzupełniające Odległość punktu od prostej Geometria analityczna — zadania rozszerzone Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Wyznacz współrzędne punktu $P^\prime$ symetrycznego do punktu $P=(5,0)$ względem prostej $y=x+1$.

PR14.5

Otwarte 3 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Geometria analityczna — zagadnienia uzupełniające Odległość punktu od prostej Geometria analityczna — zadania rozszerzone Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Prostokąt $ABCD$ ma wierzchołki $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(6,4)$, $D=(0,4)$. Punkt $M$ jest środkiem boku $BC$. Prosta $AM$ przecina przekątną $BD$ w punkcie $P$. Oblicz współrzędne punktu $P$ i pole trójkąta $ABP$.

PR14.6

Otwarte 3 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Geometria analityczna — zagadnienia uzupełniające Odległość punktu od prostej Geometria analityczna — zadania rozszerzone Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A=(-2,1)$, $B=(4,-1)$, $C=(2,5)$. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ oraz pole trójkąta.

PR14.7

Otwarte 4 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Iloczyn skalarny wektorów Wektory — zastosowania Geometria analityczna — zagadnienia uzupełniające Odległość punktu od prostej Kąt między prostymi Geometria analityczna — zadania rozszerzone Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Punkty $A=(-1,2)$ i $B=(5,4)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Wierzchołek $C$ leży na prostej $y=x-3$. Oblicz współrzędne punktu $C$ i pole trójkąta $ABC$.

PR14.8

Otwarte 4 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Iloczyn skalarny wektorów Wektory — zastosowania Geometria analityczna — zagadnienia uzupełniające Odległość punktu od prostej Kąt między prostymi Geometria analityczna — zadania rozszerzone Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Dane są punkty $A=(1,2)$ i $B=(4,6)$. Wyznacz współrzędne punktu $C$ takiego, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku $A$ i $|AC|=10$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.

PR14.9

Otwarte 2 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Iloczyn skalarny wektorów Wektory — zastosowania Geometria analityczna — zagadnienia uzupełniające Odległość punktu od prostej Kąt między prostymi Geometria analityczna — zadania rozszerzone Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Oblicz miarę kąta ostrego między prostymi $y=2x$ oraz $y=-3x+1$.

PR14.10

Otwarte 5 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Geometria analityczna — zagadnienia uzupełniające Odległość punktu od prostej Geometria analityczna — zadania rozszerzone Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A=(0,0)$, $B=(8,0)$, $C=(2,6)$. Wyznacz środek ciężkości $S$, środek okręgu opisanego $O$ i ortocentrum $H$ tego trójkąta. Wykaż, że punkty $S$, $O$, $H$ leżą na jednej prostej.

🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku

$S=\left(\frac{0+8+2}3,\frac{0+0+6}3\right)=\left(\frac{10}3,2\right)$.
$O$: symetralna $AB$ to $x=4$; symetralna $AC$: przez $(1,3)$, prostopadła do $[2,6]$: $y-3=-\frac13(x-1)$. Dla $x=4$: $y=2$. $O=(4,2)$.
$H$: wysokość z $C$ to $x=2$; wysokość z $A$ prostopadła do $BC$ ($a_{BC}=-1$): $y=x$. $H=(2,2)$.
Wszystkie trzy punkty mają $y=2$ — leżą na prostej $y=2$. $\blacksquare$

Odpowiedź: $S=\left(\tfrac{10}3,2\right)$, $O=(4,2)$, $H=(2,2)$ — prosta $y=2$

Schemat punktowania:

1 pkt — środek ciężkości,
2 pkt — równania dwóch symetralnych,
3 pkt — punkt $O$,
4 pkt — punkt $H$,
5 pkt — uzasadnienie współliniowości.

PR14.11

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Odległość punktu od prostej Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Długość odcinka o końcach $A=(-2,1)$ i $B=(4,9)$ jest równa

A $10$

B $14$

C $2\sqrt5$

D $100$

PR14.12

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Odległość punktu od prostej Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Punkt $S=(1,-2)$ jest środkiem odcinka $AB$, gdzie $A=(-3,4)$. Punkt $B$ ma współrzędne

A $(-1,1)$

B $(5,-8)$

C $(-7,10)$

D $(4,-6)$

PR14.13

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Odległość punktu od prostej Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Pole trójkąta o wierzchołkach $(0,0)$, $(4,0)$, $(0,3)$ jest równe

A $12$

B $7$

C $6$

D $3$

PR14.14

Zamknięte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Odległość punktu od prostej Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Współczynnik kierunkowy prostej $y=2x+1$ jest równy

A $1$

B $-2$

C $\tfrac12$

D $2$

PR14.15

Otwarte 1 pkt ✓ rozwiązanie

Odległość punktu od prostej Pole trójkąta w układzie współrzędnych Odległość punktu od prostej Pola trójkątów — różne wzory

▼

🔗

Oblicz długość odcinka o końcach $(1,1)$ i $(4,5)$.

PR14 Geometria analityczna: proste, punkty, pola — zadania maturalne z rozwiązaniami (poziom rozszerzony)

PR14 Geometria analityczna: proste, punkty, pola — zadania maturalne z rozwiązaniami (poziom rozszerzony)

Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.

Poznaj wszystkie funkcje LekcjeRazem

Organizacja pracy

Finanse

Komunikacja

Tablica i AI

Materiały i nauka

Panele i role

Więcej

PR14 Geometria analityczna: proste, punkty, pola — zadania maturalne z rozwiązaniami (poziom rozszerzony)

PR14 Geometria analityczna: proste, punkty, pola — zadania maturalne z rozwiązaniami (poziom rozszerzony)

Pierwszy miesiąc za 0 zł.Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.

Poznaj wszystkie funkcje LekcjeRazem

Organizacja pracy

Finanse

Komunikacja

Tablica i AI

Materiały i nauka

Panele i role

Więcej

Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.