1. $r=\frac{a+b-c}2=\frac{6+8-10}2=2$ (albo $r=\frac Pp=\frac{24}{12}$).

Odpowiedź: $2$

1. Wysokość na podstawę $6$: $\sqrt{25-9}=4$, $P=12$.
2. $R=\frac{abc}{4P}=\frac{150}{48}=\frac{25}8$.

Odpowiedź: $\tfrac{25}{8}$

1. Ramię prostopadłe $=2r$, ramię ukośne $c$. Warunek: $12+6=2r+c \Rightarrow c=18-2r$.
2. Pitagoras: $c^2=(2r)^2+6^2 \Rightarrow (18-2r)^2=4r^2+36 \Rightarrow 324-72r=36 \Rightarrow r=4$.
3. Kontrola: $h=8$, $c=10$, $8+10=18$ ✓.

Odpowiedź: $r=4$

1. $|\angle C|=180^\circ-70^\circ=110^\circ$, $|\angle D|=180^\circ-95^\circ=85^\circ$.

Odpowiedź: $|\angle C|=110^\circ$, $|\angle D|=85^\circ$

1. Wysokość na bok $14$: $h^2=13^2-x^2=15^2-(14-x)^2 \Rightarrow x=5$, $h=12$, $P=84$ (albo wzór Herona: $\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84$).
2. $r=\frac{84}{21}=4$.
3. $R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{2730}{336}=\frac{65}8$.

Odpowiedź: $P=84$, $r=4$, $R=\tfrac{65}8$

1. $OA\perp PA$: $|PA|=\sqrt{169-25}=12$.
2. Cięciwa $AB$ jest prostopadła do $OP$; połowa cięciwy to wysokość trójkąta $OAP$ z $A$: $\frac{5\cdot12}{13}=\frac{60}{13}$.
3. $|AB|=\frac{120}{13}$.

Odpowiedź: $|PA|=12$, $|AB|=\tfrac{120}{13}$

1. $p=\frac{7+8+9}2=12$. Odcinek stycznej z wierzchołka $A$: $p-|BC|=12-7=5$.
2. Z wierzchołka $B$: $p-|CA|=12-8=4$. Kontrola: $5+4=9$ ✓.

Odpowiedź: $|AK|=5$, $|KB|=4$

1. Deltoid wpisany: kąty przy $B$ i $D$ są równe i sumują się do $180^\circ$, więc są proste. $|\angle BCD|=120^\circ$.
2. $\triangle ABD$ równoboczny: $|BD|=6$. W $\triangle BCD$: $36=x^2+x^2+x^2=3x^2 \Rightarrow x=2\sqrt3$.
3. $P=2\cdot\frac12\cdot6\cdot2\sqrt3=12\sqrt3$, $p=6+2\sqrt3$.
4. $r=\frac{12\sqrt3}{6+2\sqrt3}=\frac{12\sqrt3(6-2\sqrt3)}{24}=3\sqrt3-3$.

Odpowiedź: $|BC|=|CD|=2\sqrt3$, $r=3\sqrt3-3$

1. Środek okręgu opisanego to środek przeciwprostokątnej: $R=\frac c2$.
2. Odcinki stycznych: $c=(a-r)+(b-r) \Rightarrow r=\frac{a+b-c}2$.
3. $r+R=\frac{a+b-c}2+\frac c2=\frac{a+b}2$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $\triangle ABC$: $|AC|^2=9+25+15=49$, $|AC|=7$. $R=\frac{7}{2\sin120^\circ}=\frac{7\sqrt3}3$.
2. $|\angle ADC|=60^\circ$. $\triangle ACD$: $49=64+x^2-8x \Rightarrow x^2-8x+15=0 \Rightarrow x=3$ lub $x=5$.
3. Warunek $|AD|\gt |AB|=3$: $|AD|=5$.
4. $P=\frac12\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac12\cdot8\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{15\sqrt3}4+10\sqrt3=\frac{55\sqrt3}4$.

Odpowiedź: $|AC|=7$, $R=\tfrac{7\sqrt3}{3}$, $|AD|=5$, $P=\tfrac{55\sqrt3}{4}$

1. $180^\circ-70^\circ=110^\circ$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C liczy do $90^\circ$.

1. $(n-2)\cdot180^\circ$ dla $n=5$: $3\cdot180^\circ=540^\circ$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to czworokąt, C to sześciokąt, D to siedmiokąt.

1. W czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe: $|AB|+|CD|=|BC|+|DA|$.
2. $7+6=5+|DA|\Rightarrow|DA|=8$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A dodaje złe pary boków, B powtarza $|CD|$, D to suma trzech boków.

1. W czworokącie wpisanym w okrąg przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$.
2. $|\angle C|=180^\circ-70^\circ=110^\circ$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A przyjmuje równość kątów, B to dopełnienie do $90^\circ$, C podwaja kąt.

1. Warunek opisania: suma podstaw = suma ramion, więc $2c=10+4\Rightarrow c=7$.
2. Rzut ramienia na dłuższą podstawę: $\tfrac{10-4}{2}=3$, wysokość $h=\sqrt{49-9}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$.
3. Średnica okręgu wpisanego to wysokość: $r=\tfrac h2=\sqrt{10}$.

Odpowiedź: ramię $7$, promień $r=\sqrt{10}$