Krok 1. Uproszczenie liczby \(x\) oraz całości wyrażenia.
Oczywiście możemy to zadanie rozwiązać w taki sposób, że od razu podstawimy do wyrażenia wartości \(x\) oraz \(y\), ale można też podejść do tego nieco sprytniej i zauważyć, że:
$$x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1 \           ,\
x=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}+1 \           ,\
x=\frac{2\sqrt{2}}{2}+1 \           ,\
x=\sqrt{2}+1$$

Uprościć możemy też nasze wyrażenie, wyraźnie widać że jest to po prostu wzór skróconego mnożenia:
$$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$$

Krok 2. Podstawienie liczb do wyrażenia.
Teraz możemy podstawić iksa i igreka do naszego wyrażenia:
$$(x-y)^2=\left(\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1)\right)^2=(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1)^2=(1+1)^2=2^2=4$$

Najprostszą metodą do określenia który z tych logarytmów jest największy będzie po prostu obliczenie wartości każdego z nich oddzielnie:
$$a=log_{\frac{1}{2}}8=log_{\frac{1}{2}}2^3=3\cdot log_{\frac{1}{2}}2=3\cdot(-1)=-3 \           ,\
b=log_{4}8=log_{4}2^3=3\cdot log_{4}2=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \           ,\
c=log_{4}\frac{1}{2}=log_{4}2^{-1}=-1\cdot log_{4}2=-1\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$$

Szeregując te liczby od największej do najmniejszej otrzymamy: \(b\gt c\gt a\).

Dana liczba będzie spełniać nierówność wtedy, kiedy po podstawieniu tej liczby otrzymamy prawidłową zależność. Musimy więc podstawić do nierówności po kolei każdą z odpowiedzi:
Odp. A. \(x=5\)
\((4-5)(5+3)(5+4)\gt0 \           ,\
-1\cdot8\cdot9\gt0 \           ,\
-72\gt0\)
Nierówność jest fałszywa.

Odp. B. \(x=16\)
\((4-16)(16+3)(16+4)\gt0 \           ,\
-12\cdot19\cdot20\gt0 \           ,\
-4560\gt0\)
Nierówność jest fałszywa.

Odp. C. \(x=-4\)
\((4-(-4)(-4+3)(-4+4)\gt0 \           ,\
8\cdot(-1)\cdot0\gt0 \           ,\
0\gt0\)
Nierówność jest fałszywa.

Odp. D. \(x=-2\)
\((4-(-2))(-2+3)(-2+4)\gt0 \           ,\
6\cdot1\cdot2\gt0 \           ,\
12\gt0\)
Nierówność jest prawdziwa.

To oznacza, że z proponowanych odpowiedzi tylko \(x=-2\) spełniała naszą nierówność.

\(x\) - cena komputera przed obniżkami
\(x-0,1x=0,9x\) - cena komputera po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,9x=0,81x\) - cena komputera po drugiej obniżce

Z treści zadania wynika, że po dwóch obniżkach komputer kosztował \(1944\) złotych, czyli:
$$0,81x=1944zł \           ,\
x=2400zł$$

To oznacza, że przed obniżkami komputer kosztował \(2400zł\).

Z rysunku (i samej formy zapisu przedziału) możemy odczytać, że \(-10\) do tego przedziału nie należy. Pierwszą liczbą całkowitą, która do tego przedziału należy jest \(-9\).

W tym momencie powinniśmy zauważyć, że na pewno suma liczb całkowitych od \(-9\) do \(9\) jest równa zero. Wynika to z tego, że po prostu skrajne wyrazy się zerują: \(-9+9=0, -8+8=0, -7+7=0\) itd.
$$-9+(-8)+(-7)+...+7+8+9=0$$

My szukamy sumy liczb całkowitych równej \(21\). Skoro więc suma od \(-9\) do \(9\) jest równa \(0\), to widzimy wyraźnie że dokładając kolejne liczby całkowite, czyli \(10\) oraz \(11\) otrzymamy poszukiwaną sumę równą \(21\). To oznacza, że ostatnią liczbą należącą do tego przedziału jest \(k=11\).

Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. W związku z tym:
$$2x+1\neq0 \           ,\
2x\neq-1 \           ,\
x\neq-\frac{1}{2}$$

To oznacza, że dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz \(-\frac{1}{2}\), co matematycznie możemy zapisać jako \(x\in\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}{2}\}\).

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika:
$$x-\frac{1}{2x+1}=0 \quad\bigg/\cdot(2x+1) \           ,\
x\cdot(2x+1)-1=0 \           ,\
2x^2+x-1=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem aby je rozwiązać musimy skorzystać z metody delty:
Współczynniki: \(a=2,\;b=1,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1-(-8)=1+8=9 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Żadne z otrzymanych rozwiązań nie wyklucza się z dziedziną, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-1\) oraz \(x=\frac{1}{2}\).

Musimy na kalkulatorze podzielić \(224\) przez \(1111\) i sprawdzić jaki będzie okres naszego ułamka dziesiętnego. Wykonując to dzielenie otrzymamy:
$$224:1111=0,20162016...=0,(2016)$$

Teraz musimy ustalić jaka cyfra będzie na dwudziestym miejscu po przecinku. Widzimy wyraźnie, że okres ułamka składa się z czterech liczb, dlatego czwartą, ósmą, dwunastą, szesnastą i w konsekwencji dwudziestą liczbą po przecinku będzie \(6\).

Wykonując działania na potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{8^{20}-2\cdot 4^{20}}{2^{20}\cdot 4^{10}}=\frac{(2^3)^{20}-2\cdot(2^2)^{20}}{2^{20}\cdot (2^2)^{10}}= \           ,\
\frac{2^{60}-2\cdot2^{40}}{2^{20}\cdot2^{20}}=\frac{2^{60}-2\cdot2^{40}}{2^{40}}= \           ,\
\frac{2^{40}\cdot(2^{20}-2)}{2^{40}}=2^{20}-2$$

Aby dowiedzieć się jaką wartość funkcja przyjmuje dla argumentu \(2\), wystarczy podstawić do wzoru funkcji \(x=2\). Otrzymamy wtedy:
$$f(x)=-2(x+2)^{-1}\cdot(x-3)^2 \           ,\
f(2)=-2(2+2)^{-1}\cdot(2-3)^2 \           ,\
f(2)=-2\cdot4^{-1}\cdot(-1)^2 \           ,\
f(2)=-2\cdot\frac{1}{4}\cdot1 \           ,\
f(2)=-\frac{2}{4} \           ,\
f(2)=-\frac{1}{2}$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku (o ile ten wierzchołek mieści się w tym przedziale). Z tego też względu na początku musimy ustalić współrzędne wierzchołka tej paraboli.

Funkcja jest podana w postaci kanonicznej, czyli takiej z której współrzędne wierzchołka są proste do odczytania. Dla wierzchołka o współrzędnych \(W=(p;q)\) funkcja przyjmuje postać:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Przyrównując to do wzoru podanego w treści zadania widzimy, że w tym przypadku \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2;4)\). To z kolei oznacza, że wierzchołek nie mieści się w naszym przedziale \(\langle3,5\rangle\), czyli w ogóle nie będziemy go rozpatrywać.

Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=3\) oraz \(x=5\).
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie na początku - największa wartość funkcji w danym przedziale musi być osiągnięta na krańcach tego przedziału, czyli albo dla \(x=3\) albo dla \(x=5\). Zatem podstawiając te argumenty do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(3)=-(3-2)^2+4=-1^2+4=-1+4=3 \           ,\
f(5)=-(5-2)^2+4=-3^2+4=-9+4=-5$$

To oznacza, że największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).

Aby funkcja nie miała miejsc zerowych to musi to być prosta równoległa do osi iksów, która będzie się znajdować nad lub pod tą osią. Będziemy więc chcieli otrzymać wzór funkcji typu np. \(y=3\) albo \(y=-4\), czyli będziemy chcieli otrzymać tak zwaną funkcję stałą. To z kolei oznacza, że współczynnik kierunkowy \(a\) musi być w tym przypadku równy \(0\). W funkcji liniowej z treści zadania \(a=1-m^2\), zatem:
$$1-m^2=0 \           ,\
m^2=1 \           ,\
m=1 \quad\lor\quad m=-1$$

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania i obydwa znajdują się w naszych odpowiedziach. To oznacza, że prawdopodobnie jedno z tych rozwiązań daje nam prostą idealnie pokrywającą się z osią iksów i to rozwiązanie będziemy musieli odrzucić. Podstawmy zatem \(m=1\) oraz \(m=-1\) i sprawdźmy, którą z tych odpowiedzi trzeba odrzucić.

Dla \(m=1\):
$$y=(1-1^2)x+1-1 \           ,\
y=(1-1)x+0 \           ,\
y=0x+0 \           ,\
y=0$$

Otrzymaliśmy prostą \(y=0\), która pokrywa się z osią iksów. To rozwiązanie musimy więc odrzucić, bo ta prosta ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Dla \(m=-1\):
$$y=(1-(-1)^2)x+(-1)-1 \           ,\
y=(1-1)x-1-1 \           ,\
y=0x-2 \           ,\
y=-2$$

Tym razem otrzymaliśmy prostą równoległą do osi iksów, która znajduje się pod tą osią. To jest rozwiązanie przez nas poszukiwane, zatem możemy powiedzieć że funkcja \(f(x)\) nie ma miejsc zerowych dla \(m=-1\).

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Funkcja podana jest w postaci iloczynowej, zatem bardzo szybko wyznaczymy z niej miejsca zerowe, przyrównując wartości z nawiasów do zera:
$$x-1=0 \quad\lor\quad 3-x=0 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad x=3$$

To oznacza, że prawidłową odpowiedzią będzie albo C, albo D.

Krok 2. Wyznaczenie kierunku ułożenia ramion paraboli.
Cała trudność tego zadania opiera się na tym by określić, czy ramiona tej paraboli są skierowane do góry, czy do dołu. O tym jak są ułożone ramiona decyduje współczynnik kierunkowy \(a\). Zazwyczaj w postaci iloczynowej znak współczynnika kierunkowego \(a\) jest dość prosty do określenia w pamięci, natomiast tutaj można nabrać sporych wątpliwości, bo nie dość że przed nawiasami mamy minusa, to jeszcze w drugim nawiasie przed samym iksem znajduje się minus. Dlatego najlepiej jest po prostu wymnożyć przez siebie te nawiasy i sprawdzić co znajdzie się bezpośrednio przed \(x^2\).
$$-(x-1)(3-x)=-(3x-x^2-3+x)=-3x+x^2+3-x=x^2-4x+3$$

To oznacza, że współczynnik kierunkowy \(a=1\), czyli ramiona paraboli muszą być skierowane do góry. W związku z tym prawidłowa jest odpowiedź D.

Wiedząc, że \(q=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) możemy równanie z treści zadania rozpisać w następujący sposób:
$$3a_{2}=2a_{3} \quad\bigg/:a_{2} \           ,\
3=\frac{2a_{3}}{a_{2}} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2} \           ,\
\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{3}{2} \           ,\
q=\frac{3}{2}$$

Różnicę ciągu arytmetycznego możemy odczytać wprost ze wzoru - to będzie liczba znajdująca się przed \(n\). Jeżeli jednak nie pamiętamy o tej własności ciągów, to możemy po prostu obliczyć wartość np. pierwszego oraz drugiego wyrazu (podstawiając \(n=1\) oraz \(n=2\)) i z nich wyznaczyć różnicę:
$$a_{1}=16-\frac{1}{2}\cdot1=16-\frac{1}{2}=15\frac{1}{2} \           ,\
a_{2}=16-\frac{1}{2}\cdot2=16-1=15$$

Teraz znając wartości dwóch wyrazów możemy bez przeszkód obliczyć różnicę ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1} \           ,\
r=15-15\frac{1}{2} \           ,\
r=-\frac{1}{2}$$

Z tablic matematycznych możemy odczytać, że \(tg40°\approx0,8391\). W związku z tym:
$$1-tg40°=1-0,8391=0,1609$$

To oznacza, że otrzymany wynik jest większy od \(0,1\), ale mniejszy od \(0,5\).