Wyłączając czynnik przed znak pierwiastka otrzymamy:
$$\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}$$

Podnoszenie liczby do potęgi ujemnej możemy zastąpić potęgowaniem odwrotności tej liczby w następujący sposób:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-5}=\left(\frac{b}{a}\right)^{5}$$

I sposób:
Do rozwiązania tego logarytmu można podejść na kilka sposobów, ale najprościej będzie zapisać liczbę \(8\) jako wynik potęgowania \(2^3\), wtedy:
$$log_{\frac{1}{2}}8=log_{\frac{1}{2}}2^3=3log_{\frac{1}{2}}2$$

Musimy się teraz zastanowić ile to jest \(log_{\frac{1}{2}}2\). Jest to \(-1\), bo \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2\). W związku z tym:
$$3log_{\frac{1}{2}}2=3\cdot(-1)=-3$$

II sposób:
Możemy też skorzystać ze wzoru \(log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}\), wtedy otrzymamy:
$$log_{\frac{1}{2}}8=\frac{log_{2}8}{log_{2}\frac{1}{2}}=\frac{3}{-1}=-3$$

Najprościej to zadanie rozwiążemy podstawiając poszczególne odpowiedzi do równania. Tylko w przypadku podstawienia \(x=1\) otrzymamy równanie w którym lewa i prawa strona są sobie równe:
$$|4x-5|=x \           ,\
|4\cdot1-5|=1 \           ,\
|4-5|=1 \           ,\
|-1|=1 \           ,\
1=1 \           ,\
L=P$$

Jeżeli jednak chcielibyśmy to równanie rozwiązać samodzielnie to zgodnie z tym jak się rozwiązuje takie nierówności otrzymalibyśmy:
$$4x-5\ge0 \quad\lor\quad 4x-5\lt0 \           ,\
4x\ge5 \quad\lor\quad 4x\lt5 \           ,\
x\ge\frac{5}{4} \quad\lor\quad x\lt\frac{5}{4}$$

Kiedy liczba z której wyciągamy wartość bezwzględną jest dodatnia to po opuszczeniu nawiasów bezwzględności nie zmieniamy jej znaku np. \(|5|=5\). Kiedy liczba z której wyciągamy wartość bezwzględną jest ujemna, to po opuszczeniu nawiasów bezwzględności zmieniamy jej znak na przeciwny np. \(|-5|=5\). W związku z tym:

Gdy \(x\ge\frac{5}{4}\) to wartość w nawiasie jest większa lub równa zero, czyli opuszczając nawiasy bezwzględności nie zmieniamy znaku:
$$|4x-5|=x \           ,\
4x-5=x \           ,\
3x=5 \           ,\
x=\frac{5}{3}$$

Gdy \(x\lt\frac{5}{4}\) to wartość w nawiasie jest mniejsza od zera, czyli opuszczając nawiasy bezwzględności zmieniamy znak:
$$|4x-5|=x \           ,\
-(4x-5)=x \           ,\
-4x+5=x \           ,\
-5x=-5 \           ,\
x=1$$

W ten oto sposób obliczyliśmy, że to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\frac{5}{3}\) lub \(x=1\) i właśnie to drugie znalazło się w jednej z proponowanych odpowiedzi.

Krok 1. Obliczenie ceny towaru po obniżce.
Jeżeli za \(x\) przyjmiemy początkową cenę towaru, to po obniżce o \(20\%\) otrzymamy nową cenę równą \(80\%\cdot x=0,8x\).

Krok 2. Obliczenie ceny towaru po podwyżce.
Cena towaru teraz ulega podwyżce. Punktem wyjściowym jest jednak już nie \(x\), tylko \(0,8x\). Nowa cena jest więc równa: $$110\%\cdot0,8x=1,1\cdot0,8x=0,88x$$

Krok 3. Obliczenie o ile ostatecznie zmniejszyła się cena towaru.
Cena towaru zmalała o \(x-0,88x=0,12x\), więc zmalała o \(12\%\).

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) możemy zapisać, że:
$$x^2-100=x^2-10^2=(x-10)(x+10)$$

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Musimy uwzględnić fakt, że mianownik naszego równania jest różny od zera, bo w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero. W związku z tym:
$$x-5\neq0 \           ,\
x\neq5$$

W tym zadaniu jak się za chwilę okaże ten krok nie jest niezbędny, ale dobrze jest zawsze pamiętać o założeniach do równań wymiernych (czyli takich z iksem w mianowniku), bo czasem założenia mogą nam wykluczyć niektóre rozwiązania.

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać to równanie musimy wymnożyć obie strony przez wartość znajdującą się w mianowniku. Tutaj sytuacja jest o tyle prosta, że po prawej stronie mamy zero, co pozwoli nam bardzo szybko uprościć cały zapis:
$$\frac{x^2+25}{x-5}=0 \quad\bigg/\cdot(x-5) \           ,\
x^2+25=0 \           ,\
x^2=-25$$

Otrzymaliśmy równanie, które nie ma rozwiązań, bowiem nie istnieje żadna liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik ujemny. W związku z tym nie istnieje jakakolwiek liczba, która po podstawieniu do tego równania dałaby wynik równy \(0\).

Krok 1. Rozpisanie nierówności z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
To zadanie śmiało możemy obliczyć podstawiając do równania poszczególne odpowiedzi (i to będzie prawdopodobnie najszybszy sposób). Chcąc jednak rozwiązać je samodzielnie dobrze byłoby rozpisać tę nierówność korzystając z dwóch wzorów skróconego mnożenia:
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2 \           ,\
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

W związku z tym:
$$(3-x)(3+x)\gt(3-x)^2 \           ,\
9-x^2\gt9-6x+x^2 \           ,\
-x^2\gt-6x+x^2 \           ,\
-2x^2+6x\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz musimy obliczyć miejsca zerowe naszego wielomianu, czyli musimy przyrównać wyrażenie \(-2x^2+6x\) do zera. Najszybciej rozwiązalibyśmy to równanie sprowadzając całość do postaci iloczynowej:
$$-2x^2+6x=0 \quad\bigg/:-2 \           ,\
x^2-3x=0 \           ,\
x(x-3)=0$$

Mając tak zapisane równanie dość szybko wyszło nam, że miejscami zerowymi są \(x=0 \lor x=3\). Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy tej postaci iloczynowej, to możemy po prostu obliczyć to równanie korzystając z delty:

Współczynniki: \(a=-2,\;b=6,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot(-2)\cdot0=36-0=36 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6-6}{2\cdot(-2)}=\frac{-12}{-4}=3 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6+6}{2\cdot(-2)}=\frac{0}{-4}=0$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do dołu, bo współczynnik \(a\) jest ujemny. Zaznaczamy obliczone przed chwilą miejsca zerowe, pamiętając o tym by kółka były niezamalowane (bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\))


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas argumenty dla których nierówność przyjmuje wartości większe od zera, czyli \(x\in(0;3)\). Najmniejszą liczbą całkowitą w tym przedziale jest \(1\) (bo \(0\) nie wchodzi w skład rozwiązania).

Krok 1. Odczytanie współczynnika kierunkowego \(a\) i ustalenie, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca.
Ze wzoru funkcji wynika, że współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\). Skoro współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, to funkcja jest malejąca.

Krok 2. Ustalenie przez który punkt przechodzi funkcja liniowa.
Wszystkie wypisane punkty mają wartość współrzędnej iksowej równą \(x=0\), zatem podstawiając zero do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(0)=-\frac{1}{2}\cdot0+3 \           ,\
f(0)=0+3 \           ,\
f(0)=3$$

To oznacza, że funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0,3)\). Prawidłową odpowiedzią jest więc odpowiedź ostatnia.

Krok 1. Wyznaczenie rozwiązań równania.
Przedstawione w zadaniu równanie jest tak naprawdę równaniem kwadratowym zapisanym w postaci iloczynowej. To oznacza, że możemy bardzo szybko znaleźć jego rozwiązania, wystarczy że przyrównamy wartości w nawiasach do zera (bo postać iloczynowa ma to do siebie, że któryś z tych nawiasów musi nam zerować to równanie). W związku z tym:
$$x-5=0 \quad\lor\quad x+7=0 \           ,\
x=5 \quad\lor\quad x=-7$$

Otrzymaliśmy w ten sposób informację, że nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x_{1}=5\) oraz \(x_{2}=-7\).

Krok 2. Wyznaczenie sumy rozwiązań.
W treści zadania proszą nas o podanie wyniku sumy \(x_{1}+x_{2}\), zatem:
$$x_{1}+x_{2}=5+(-7)=5-7=-2$$

Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Funkcja ta przyjmuje wartości od \(-4\) do \(-1\) (dolny fragment wykresu) oraz wartości od \(1\) do \(3\) (góry fragment wykresu).

Musimy jeszcze tylko ustalić jakie nawiasy będziemy przy każdej z tych wartości granicznych. W przypadku dolnej części wykresu obydwa nawiasy muszą być domknięte, bo mamy zamalowane kropki. W przypadku górnej części wykresu okazuje się, że wartość równa \(1\) jest tak naprawdę przez naszą funkcję nieprzyjmowana, bo dla argumentu \(x=-2\) mamy kropkę niezamalowaną, dlatego tu pojawi się nawias otwarty. Wartość równa \(3\) jest przyjmowana przez funkcję, więc tutaj nawias też będzie domknięty. To oznacza, że zbiorem wartości tej funkcji jest:
$$y\in\langle-4,-1\rangle\cup(1,3\rangle$$

Skorzystamy ze wzorów redukcyjnych, które znajdziemy w tablicach maturalnych. Z nich możemy odczytać, że:
$$cosα=sin(90°-α)$$
To znaczy, że:
$$cos41°=sin(90°-41°)=sin49°$$

Udało nam się w ten sposób pokazać, że \(cos41°\) jest równy dokładnie tyle samo co \(sin49°\). Skoro tak, to w miejscu gdzie w równaniu pojawi nam się wartość \(sin49°\) będziemy mogli podstawić wartość \(cos41°\). To sprawi, że cały zapis bardzo nam się uprości:
$$\require{cancel}\frac{cos41°+sin49°}{cos41°}=\frac{cos41°+cos41°}{cos41°}=\frac{2\cdot \cancel{cos41°}}{\cancel{cos41°}}=2$$

Różnicę ciągu arytmetycznego możemy odczytać wprost ze wzoru (to będzie ta liczba stojąca przed \(n\), czyli w tym przypadku \(r=2\)). Jeżeli jednak nie pamiętamy o tej własności ciągów arytmetycznych, to możemy różnicę ciągu wyznaczyć obliczając dwa następujące po sobie wyrazy (np. pierwszy i drugi).

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Podstawiając \(n=1\) obliczymy wartość pierwszego wyrazu, a podstawiając \(n=2\) obliczymy wartość drugiego wyrazu, zatem:
$$a_{1}=2\cdot1-1=2-1=1 \           ,\
a_{2}=2\cdot2-1=4-1=3$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnica ciągu będzie różnicą między dwoma sąsiednimi wyrazami, zatem:
$$r=a_{2}-a_{1} \           ,\
r=3-1 \           ,\
r=2$$

I sposób:
Jedną z ważniejszych własności ciągu geometrycznego jest to, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi równość: \({a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}\). Wykorzystując tę zależność możemy bez problemu obliczyć wartość poszukiwanego pierwszego wyrazu:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \           ,\
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=a_{1}\cdot(-1) \           ,\
\frac{2}{4}=-a_{1} \           ,\
a=-\frac{1}{2}$$

II sposób:
Jeśli nie pamiętamy o zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to możemy obliczyć najpierw wartość ilorazu ciągu geometrycznego, a następnie wartość pierwszego wyrazu.

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Znamy wartość drugiego i trzeciego wyrazu, zatem możemy zapisać, że:
$$a_{3}=a_{2}\cdot q \           ,\
-1=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot q \quad\cdot\frac{2}{\sqrt{2}} \           ,\
q=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Pierwszy wyraz ciągu obliczymy dzięki znajomości wartości drugiego wyrazu oraz ilorazu ciągu:
$$a_{2}=a_{1}\cdot q \           ,\
\frac{\sqrt{2}}{2}=a_{1}\cdot(-\sqrt{2}) \quad\bigg/:(-\sqrt{2}) \           ,\
a_{1}=-\frac{1}{2}$$

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przed dwa punkty \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) wyraża się wzorem:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$

Znamy współrzędne obydwu punktów, zatem możemy podstawić odpowiednie liczby, obliczając w ten sposób poszukiwany współczynnik kierunkowy \(a\):
$$a=\frac{-2-2}{4-(-2)}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$$