Krok 1. Określenie liczby możliwych kombinacji.
Rzucając dwa razy monetą możemy uzyskać następujące wyniki:
$$11, 12, 21, 22$$

Krok 2. Określenie która z liczb jest podzielna przez \(3\).
Spośród czterech możliwości tylko dwie są podzielne przez \(3\) i są to \(12\) oraz \(21\).

Krok 3. Określenie prawdopodobieństwa.
Skoro dwie z czterech liczb spełniają warunki naszego zadania, to prawdopodobieństwo będzie równe:
$$p=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Krok 1. Wyznaczenie wartości liczby \(a\).
Skorzystamy tutaj z informacji, że mediana liczb \(1, a, b\) jest równa \(3\). Mediana to wartość środkowa, a taką jest w tym przypadku nasza liczba \(a\). To oznacza, że \(a=3\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości liczby \(b\) oraz \(c\).
Tym razem skorzystamy z informacji, że mediana liczb \(a, b, c, 10\) jest równa \(5\). Pod \(a\) możemy już podstawić trójkę, co nam da:
$$3, b, c, 10$$

Z racji tego iż jest tutaj parzysta liczba wyrazów, to mediana będzie równa średniej arytmetycznej liczb \(b\) oraz \(c\). Jakie to mogłyby być liczby, jeżeli wiemy że są zapisane w kolejności od najmniejszej do największej?
Nie mogą to być dwie piątki, bo w treści zadania mamy podaną informację, że są to liczby różne. Nie może to też być \(3\) i \(7\), bo powtórzyłaby się trójka. Jedyną pasującą zatem opcją jest to, że \(b=4\) oraz \(c=6\), wtedy mediana będzie równa:
$$\frac{4+6}{2}=5$$

To oznacza, że poszukiwaną przez nas liczbą jest \(c=6\).

Przeanalizujmy każdą z liczb:
\(x\cdot y\) - mnożenie liczby dodatniej przez ujemną zawsze da liczbę ujemną.
\(x-y\) - mamy tutaj liczbę dodatnią odjąć liczbę ujemną, co możemy zamienić na dodawanie dwóch liczb dodatnich (np. \(2-(-3)=2+3\)). Wynik więc będzie na pewno dodatni.
\(\frac{x}{y}\) - dzielenie liczby dodatniej przez ujemną zawsze da liczbę ujemną.
\((y-x)^2\) - wartość w nawiasie jest na pewno ujemna (bo od ujemnej liczby odejmujemy dodatkowo liczbę dodatnią), a liczby ujemne podniesione do kwadratu dają liczby dodatnie.

To oznacza, że dwie z tych liczb są dodatnie.

Najprościej będzie sprawdzić jakie wartości osiąga funkcja dla najbardziej charakterystycznych punktów. Takimi charakterystycznymi punktami będą z pewnością przecięcia/zetknięcia się z osią iksów oraz igreków. Sprawdźmy zatem jaką wartość osiąga funkcja dla argumentu \(x=0\) oraz dla jakiego argumentu funkcja osiąga wartość \(y=0\).

Krok 1. Sprawdzenie wartości funkcji dla argumentu \(x=0\).
Podstawiając do wzoru \(x=0\) otrzymamy:
$$y=600-100\cdot0=600$$

Krok 2. Sprawdzenie dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość \(y=0\).
Podstawiając do wzoru \(y=0\) otrzymamy:
$$0=600-100\cdot x$$ $$0=600-100x$$ $$-600=-100x$$ $$x=6$$

Obliczone współrzędne znalazły się jedynie na pierwszym wykresie i to będzie prawidłowa odpowiedź.

Krok 1. Wyznaczenie najdłuższego boku.
Musimy ustalić która z podanych długości jest największa:
$$2\sqrt{3}\approx2\cdot1,73\approx3,46$$ $$3\sqrt{2}\approx3\cdot1,41\approx4,23$$ $$\sqrt{3}\approx1,73$$

Najdłuższa jest więc miara \(3\sqrt{2}\) i to będzie odcinek \(c\). Dwie pozostałe miary to odcinki \(a\) oraz \(b\) (w dowolnej już kolejności).

Krok 2. Obliczenie wartości \(a^2+b^2\).
Sprawdźmy zatem jaki wynik da nam suma kwadratów odcinków \(a\) oraz \(b\):
$$(2\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2=4\cdot3+3=12+3=15$$

Krok 3. Analiza otrzymanego wyniku.
Sumę kwadratów obliczoną w drugim kroku musimy przyrównać do kwadratu odcinka \(c\). Długość odcinka \(c\) podniesiona do kwadratu da nam wartość:
$$(3\sqrt{2})^2=9\cdot2=18$$

Z naszych obliczeń wynika \(a^2+b^2\lt c^2\), bo \(15\lt18\) zatem ten trójkąt jest rozwartokątny.

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(β\).


Promienie okręgu tworzą ze stycznymi kąt prosty. Nasz kąt beta jest więc jedynym nieznanym kątem w czworokącie/deltoidzie, zatem jego miara będzie równa:
$$360°-90°-90°-30°=150°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Kąt alfa wraz z kątem beta tworzą kąt pełny o mierze \(360°\). Skoro tak, to:
$$α=360°-150°$$ $$α=210°$$

Krok 1. Ustalenie miary kątów wewnętrznych sześciokąta.
Aby rozwiązać to zadanie musimy wiedzieć, że każdy kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę \(120°\). Skąd to wiemy? Najprościej będzie to zapamiętać w ten sposób, że począwszy od trójkąta mamy następującą zależność jeśli chodzi o sumę kątów wewnętrznych:
Trójkąt - \(180°\)
Czworokąt - \(360°\)
Pięciokąt - \(540°\)
Sześciokąt - \(720°\)
Krótko mówiąc, z każdym kolejnym dodatkowym kątem figura ma sumę kątów wewnętrznych o \(180°\) większą.

My wiemy, że nasz sześciokąt jest foremny, a to oznacza że miary jego kątów są identyczne. Zatem miara pojedynczego kąta będzie równa po prostu:
$$720°:6=120°$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Mając informacje z kroku pierwszego oraz z treści zadania zróbmy sobie mały rysunek pomocniczy, na którym przy okazji zaznaczymy poszukiwaną wysokość trapezu.


Kąt \(CDE\) ma na pewno miarę równą \(120°:2=60°\), bo prosta \(AD\) podzieliła nam jeden z kątów wewnętrznych na dwie równe części. Wysokość trójkąta pada zawsze pod kątem \(90°\), a to z kolei oznacza że nasz trójkąt \(CDE\) jest klasycznym trójkątem o mierze kątów \(30°, 60°, 90°\). Dzięki temu możemy sobie oznaczyć poszczególne długości przyprostokątnych jako \(a\), \(a\sqrt{3}\) oraz przeciwprostokątną jako \(2a\).

Krok 3. Wykorzystanie własności trójkąta i wyznaczenie wysokości trapezu.
Znamy długość boku \(CD\) i jest ona równa \(2cm\). Skoro tak, to zgodnie z własnościami trójkątów \(30°, 60°, 90°\) odcinek \(ED\) będzie dwukrotnie krótszy, czyli będzie miał długość \(a=1cm\), a interesujący nas odcinek \(EC\) będący wysokością trójkąta będzie mieć miarę \(a\sqrt{3}\), czyli \(1\cdot\sqrt{3}cm=\sqrt{3}cm\).