LekcjeRazem

Krok 1. Układ współrzędnych.

\(A=(0,0)\), \(B=(2,0)\), \(C=(2,2)\), \(D=(0,2)\)

Z warunku \(|CE|=x\) (punkt \(E\) na boku \(BC\)): \(E=(2,\;2-x)\)

Z warunku \(|DF|=x\) (punkt \(F\) na boku \(CD\)): \(F=(x,\;2)\)

Punkty są różne od wierzchołków, więc \(x\in(0,2)\).

Krok 2. Pole trójkąta \(AEF\) jako dopełnienie.

Od pola kwadratu odejmujemy pola trzech trójkątów prostokątnych:

\(P_{ABE}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot(2-x)=2-x\)

\(P_{ECF}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot(2-x)=x-\frac{x^2}{2}\)

\(P_{ADF}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot x=x\)

\(P(x)=4-(2-x)-\left(x-\frac{x^2}{2}\right)-x=\frac{1}{2}x^2-x+2\)

Krok 3. Najmniejsza wartość.

Funkcja \(P\) jest funkcją kwadratową o współczynniku \(\frac{1}{2}\gt 0\), więc przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku:

\(x_w=\frac{1}{2\cdot\frac{1}{2}}=1\)

Liczba \(1\) należy do przedziału \((0,2)\) ✓

\(P(1)=\frac{1}{2}-1+2=\frac{3}{2}\)

Odpowiedź: pole trójkąta \(AEF\) jest najmniejsze dla \(x=1\) i wynosi \(\frac{3}{2}\).